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第二章 随机变量及其分布
习题课（上）
习题课分为上、下两部分. 在上部分中, 我们归纳了第二章的概念、理论与方法等内容，并对关键而又容易出错的地方作了讲评. 在“例题分类解析”部分，讲解了：1. 离散型随机变量的分布律的计算问题；2. 根据概率分布求解概率的问题.
在下部分中, 在“例题分类解析”部分，讲解了：3. 连续型随机变量概率密度及其分布问题；4. 关于正态分布的应用问题；5. 随机变量的分布函数问题；6. 随机变量函数的概率分布问题. 三、学习与研究方法.
习题课（上）内容简介：
在第一章中, 我们研究了随机试验
的结果及其结果出现的可能性大小等问题, 也就是研究了事件及其概率问题. 为了充分利用数学工具研究事件及其概率, 在本章开始引入了随机变量这一基本概念. 任何事件A都可以通过随机变量X来描述, 因此, 研究事件及其概率问题就转化为研究随机变量的概率分布问题.
章内容简介：
对于离散型随机变量X, 首先, 我们研究了X的概率分布, 即X取什么值以及取
这些值的概率大小, 其中重点研究了三种常用的离散型随机变量服从的两点分布、二项分布和泊松分布. 其次,换另外一个角度, 给出了随机变量的分布函数定义及其求法. 再次, 考虑了离散型随机变量X的函数g(X)的概率分布问题.
对于连续型随机变量X, 同离散型随机
变量X并行研究, 先后讨论了概率密度
函数、分布函数和随机变量的函数的概率分布问题, 其中重点研究了三种常用的连续型随机变量的分布——均匀分布、指数分布和正态分布.
本章重点：
1. 离散型随机变量的概率分布及其性质;
2. 随机变量的分布函数及其性质;
本章难点：
1. 离散型随机变量分布律的有关计算;
2. 连续型随机变量的概率密度的有关计算;
3. 随机变量的分布函数的有关运算;
4. 随机变量函数的概率分布.
3. 连续型随机变量的概率密度及其性质;
4. 随机变量函数的分布.
　　
一、主要内容归纳
1. 离散型随机变量的分布律
设随机变量X一切可能的取值为x1, x2,…,
xk,…,且X取各个值的概率为
则称X是离散型随机变量, 称上式为随机变量X的概率函数或概率分布, 亦简称分布律.
性质:
这两条性质常用来判断一个数列{pk}是否是某个离散型随机变量的概率分布, 或者确定概率分布中的待定参数. 只有pk同时满足上述两条性质, 数列{pk}才能成为某个离散 型随机变量的分布律.
(1) pk≥0,k=1,2,…;
讲评
2. 伯努利概型
.
P{X=k}= pkqn-k, k=0,1,2,…,n.
一般地, 设在一次试验中我们只
考虑两个互逆的结果: A或 设我们重复地进行n次独立试验,每次试验事件A出现的概率都是p, 发生的概率则是q=1-p. 这样的n次独立重复试验称作n重伯努利试验, 简称伯努利试验或伯努利概型.
n重伯努利试验是一种很重要的
数学模型. 它有广泛的应用, 是研究与应用
最多的模型之一.
讲评
3. 分布函数
设X是一个随机变量(包括离散型及非离 散型). x是任意实数, 定义
F(x)= P{X≤x}, -∞ < x < +∞.
分布函数的性质：
(1) 0≤F(x)≤1；
(2) F(x)单调不减, 即当x1(3) F(-∞)=
, F(+∞)=
称F(x)为随机变量X的分布函数, 有时也记为FX (x).
由分布函数的定义知, 若F(x)是X的分
布函数, 则有
P{a< X≤b}=F(b)-F(a).
(4) F(x)右连续, 即对任意实数x, 有F(x+0)=F(x)；
(5) 对每个x0, 都有P{X=x0}=F(x0)-F(x0-0).
定义中的{X≤x}表示事件“随机变量X取值不大于x”, 所以随机变量的分布
函数F(x)是以事件{X≤x}的概率定义的函数, 它的定义域为
讲评
, 其值域为[0,1].
4. 连续型随机变量的概率密度
F(x)=P{X≤x}=
则称X为连续型随机变量, 其中函数f(x)称为X的概率密度函数, 简称为概率密度或密度.
对于随机变量X , 如果存在一个非负
可积函数f(x), 使得对于任意的实数x, 有
概率密度
具有以下性质：
(1)
≥0, x∈(-∞, +∞)；
(2)
(3)
P{a(4) 若
在点x处连续, 则有
(5) 对连续型随机变量x，总有
性质(1)和(2)是连续型随机变量的
概率密度f(x) 必须具有的特性，常用来检查某一函数是否是连续型随机变量的概率密度.性质(3)和(4)是由概率密度的定义导出的性质. 性质(3)和(4)表明：随机变量X落在区间 (a,b] 内的概率等于曲线 y=f(x) 与x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.性质(5)表明：对于连续型随机变量X, 总有
讲评
这与离散型随机变量是不同的.
5. 几种重要的随机变量的分布
(1) 0-1分布或两点分布
设随机变量X只可能取0与1两个值, 0P{a= P{a≤ X < b}.
P{X=k}=pk(1-p)1-k, k=0, 1,
则称随机变量X服从0-1分布.
0-1分布的分布律也可写成
X 0 1
P 1-p p
(2) 二项分布
在n重伯努利试验中, 事件A恰好发生k次的概率为
其中p为事件A在每次试验中出现的概率, q为A不出现的概率, q=1-p.称随机变量X服从二项分布.
P{X=k}=
(3) 泊松分布
若随机变量的分布率为
通常记为
X～B(n，p).
(4) 均匀分布
若连续型随机变量X的概率密度为
其中λ>0,则称随机变量X服从参数为λ 的
泊松分布
记为
则称X在区间(a, b)上服从均匀分布.
其中 a,b为参数, 且a在区间(a, b)上服从均匀分布的随机变量X的分布函数为
记为
(5) 指数分布
若连续型随机变量X的概率密度为
则称 X 服从参数为λ的指数分布, 记X~E(λ), 其中λ>0是常数.
服从参数为λ的指数分布的随机变量X的分布函数为
(6) 正态分布
若随机变量X 的概率密度为
), 其中μ和σ(σ >0)都是常数.
则称X服从参数为μ和
的正态分布, 记为
X～N(
时, 得到的正态分布N(0, 1)称为标准正态分布. 服从标准正态分布的随机变量X 的概率密度和分布函数通常用
和Φ(x)表示.
当
的正态分布的随机
变量X
的分布函数是
服从参数为μ和σ2
应熟练掌握以上6种重要的随机
变量的分布，要掌握它们的分布律或概率密度, 对标准正态分布的概率密度与分布函数要高度重视. 6种分布在解决实际问题中都有着广泛的应用. 也是经常考查的重点内容之一.
讲评
Φ(x)=
二、 例题分类解析
离散型随机变量的分布律的计算问题
为随机
变量X的
例1
分布律的充要条件是( ).
(A)θ>0且0<λ<1.
(B) θ=1－λ且0<λ<1.
(C)
且λ<1.
(D)
且θ>0.
本题涉及到离散型随机变量分布律的性质和定义.
分析
解
由归一性,
解得
由非负性
≥0得
所以应选（D）.
该题目考查离散型随机变量的
分布律的两个性质及级数求和公式.
讲评
修改等比数列为等差数列，易于计算级数和的形式；依据离散型随机
变量的分布律的前两条性质可用来检查某一函数(或数列)是否是某离散型随机变量的分布律.
扩展
例2 一批零件中有9个正品和3个次品. 安装设备时从中任取一个, 若是次品不再放回, 继续任取一个, 直到取到正品为止. 求在取到正品以前已取得次品数的分布律.
设取到正品前已取到的次品数为X, 由题意知X的可能取值为0,1,2,3.事件{X=k}表示前k-1次取到次品, 第k次取到正品(1≤k≤4). 设事件
}(k=1，
={第k次取到正品
解
2,3,4), 则
P{X=0}=
P{X=1}=
本题涉及到求离散型随机变量
分布律的问题. 求分布律时可用前面
所学古典概型、条件概率、独立性、全概率公式等有关知识.
分析
P{X=2}=
P{X=3}=
于是次品数的分布律为
P
3
2
1
0
X
一般地, 随机变量的可能取值由
实际题意可以直接写出, 关键是第二步
计算X取每个可能值的概率. 对于本题, 我们将求P{X=k}的问题转化为求各种有关随机事件
的概率, 这是一种常用的方法. 当
然, 对较简单的题目可不必转化而直接计算.
讲评
离散型随机变量的分布律的求解
扩展
步骤如下:
(1) 确定随机变量的所有可能取值;
(2) 计算出每个值的相应的概率;
(3) 按规范形式写出分布律.
例3 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3, 当A发生超过3次时,指示灯发出信号. 求进行7次独立试验, 事件A发生的次数X的分布律, 并计算指示灯发出信号的概率.
本试验是7重伯努利试验, 随机变量
X应
分析
服从二项分布.
随机变量X服从参数为n=7与p=0.3的二项分布, 其分布律为
解
P{X=k}=
指示灯发出信号的概率
=0.0772+0.0250+0.0036+0.0005
=0.106 3.
伯努利概型对试验结果没有
等可能的要求, 应满足: (1) 每次试验条
件相同；(2) 每次试验只有两个互逆结果A
或
讲评
, 且P(A)=p；(3) 各次试验相互独立.
(1) 伯努利概型是一种很重要的数学模型. 它有广泛的应用, 是研究最多的模型之一.
扩展
则P{X=k}表示在n次独立重复试验中A恰好发生k次的概率; P{X≤k}表示A发生的次数不超过k次的概率; P{X>k}表示A发生的次
(2) 若
数大于k次的概率.
例4 某自动生产线在调整之后出现次品的概率为5‰, 生产过程中一旦出现
次品, 便立即进行调整.求在两次调整之间生产的正品数X的分布律.
若随机变量X取k, 表示第k次试验首次成功(或失败), 而前面k-1次试验失败
(或成功), 则随机变量X服从几何分布.
分析
由题设知事件{X=k}表示共试验了k+1次, 第k+1次出现了次品, 前面k次
都是正品. 于是X的分布律为
解
P{X=k}=0.005
本题旨在考查学生对几何分布的理解与应用. 注意0.995k中的k次方.
讲评
本题若考虑不周, 直接套用几何分布公式得
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P{X=k}=0.005
则是错误的.
例5 一批产品共100个, 其中有5个次品95个正品. 一次任意取出10个产品, 求其中
次品数X的分布律.
本题是典型的超几何分布的问题.
分析
随机变量X服从参数n=10, M=5, N=100的超几何分布, 其分布律
解
P{X=k}=
在N件产品中抽取n件(这里指不放回抽样), 所有可能的取法共有 种,
每一种取法为一基本事件. 因在m件次品中取k件次品所有可能的取法有 种. 在N-m 件正品中取n-k件正品的所有可能的取法有 种, 由乘法原理知, 在N件产品种任取n件, 其中恰有k件次品的取法共有 种, 于是所求的概率为
n
N
C
讲评
(k=0,1,…,m).
读者一定要熟练掌握上述超几何分布及
其概率计算.
本题是不放回抽样问题，X服从超几何分布. 本题若是采用放回抽样, 则X服从二项分布, 即
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比较超几何分布与二项分布的逻辑联系与区别，请读者比较一下.
2. 根据概率分布求概率的问题
P{-2≤X ＜2}, P{X＜3|X＝0}, P{X≥1|X≠3}.
求
例6 已知离散型随机变量X的分布律为
X -2 0 1 3 6
P 0.3 0.2 0.1 0.2 0.2
本题涉及到利用概率分布求概率的问题. 由于分布律或分布函数全面地给出了离散型随机变量取值的概率特征, 所以可通过它们求得事件的概率. 这里涉及区间和条件概率的计算问题，参见例7.
分析
解
由分布律得
=0.3+0.2+0.1=0.6.
由条件概率公式得
P{X＜3|X＝0}=
=1.
P{-2≤X ＜2} =P{X=-2}+P{X=0}+P{X=1}
利用离散型随机变量分布律求概率和条件概率的方法是概率论中最基本的方法之一.
讲评
P{X≥1|X≠3}
=0.375.
扩展
(1) 应注意: 对于离散型随机变量X,
P{-2 ＜ X ＜2}与P{-2≤X ＜2}
是不同的.
P{-2 ＜ X ＜2}=P{X=0}+P{X=1}=0.3.
例如:
(2) 关于随机变量情形下的条件概率
计算问题与随机事件的条件概率计算本质
上原理相同, 但是不可用随机事件条件概率计算的“缩减样本空间”的解题方法. 例如, 计算随机变量X的条件概率P{X≥1|X≠3}: 如果认为在X≠3条件下,事件{X≥1}={X=1}∪{X=6}, 且事件{X=1}与{X=6}互不相容, 由概率加法公式, 得到
P{X≥1|X≠3}=
产生上述解题错误的原因在于: 借用求解随机事件条件概率计算的“缩减样本空间”的方法, 用条件{X≠3}压缩“样本空间”后, 剩余事件{X=-2},{X=0}, {X=1}, {X=6}的概率之和不等于1! 正确的解法就是用条件概率定义与积事件定义:
见本题计算知, 实际上P{X≥1|X≠3}=0.375.
P{X≥1|X≠3}= P ({X=1}∪{X=6})= P{X=1}
+ P{X=6}=0.1+0.2=0.3 .
例7 设离散型随机变量的分布函数为
求P{X=2}, P{1≤X≤4}, P{X<5|X≠1}.
这是通过分布函数计算概率问题. 参见例6用分布律计算概率.
P{X<5|X≠1}=
分析
解
方法1
利用分布函数的定义计算
P{X=2}=F(2)-F(2-0)=0.59-0.35=0.24,
P{1≤X≤4}=F(4) -F(1) –[F(1) -F(1-0)]
=0.59-0=0.59,
P{X=2}= 0.24，P{1≤X≤4}=P{X=1}+P{X=2}=0.35+0.24
= 0.59,
方法2
由分布函数可得到X的分布律
X 1 2 5
P 0.35 0.24 0.41
于是
P{X<5|X≠1} =
(1) 比较两个解法，可见方法2简单，
逻辑关系明了.
(2) 对于离散型随机变量X, 已知分布函数
求分布律的计算公式是
, k=1,2,…
讲评
一点x0处的概率计算问题:
无论X是离散型随机变量, 还是连续型
随机变量, 对每个x0, 都成立P{X=x0}=F(x0)-
(x0-0). 特别地, 当X是离散型随机变量时, 必须用P{X=x0}=F(x0)-F(x0-0). 见本题计算P{X=2}.当X是连续型随机变量时, P{X=x0}=0.
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