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3.1 二维随机变量及其边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
内容简介: 在很多随机现象中, 进行一次随机试验通常需要同时考察几个随机变量. 一般来说, 这些随机变量之间存在着某种联系, 因而既需要单独研究每个随机变量, 又需要把它们作为一个整体来研究.
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量及其边缘分布
3.1 提出问题
发射一枚炮弹, 需要同时研究弹着
点的横坐标和纵坐标; 考察某地区学龄前儿童的发育情况时，要同时考察身高和体重等多个因素. 怎样来研究这几个随机因素呢？
3.2 预备知识
1.差事件概率计算；
2.二元函数，反常二重积分, 二重积分及其几何意义，二重积分计算，分段函数的二重积分计算.
在很多随机现象中, 进行一个随机
试验通常需要同时考察几个随机变量. 例如, 发射一枚炮弹, 需要同时研究弹着点的几个坐标; 研究市场供给模型时, 需要同时考虑商品供给量、消费者收入和市场价格三个因素等等.
一般来说, 这些随机变量之间又存在着某种联系, 因而既需要单独研究每个随机变量, 又需要把它们作为一个整体(即向量)来研究.
3.3 提出概念
定义1
设E是一个随机试验, 它的样本空间是Ω={ω}, X1=X1(ω), X2=X2(ω),…, Xn = Xn (ω)是定义在Ω上的随机变量, 由它们构成的一个n维随机向量（X1,X2,…, Xn)叫做 n维随机向量或n维随机变量.
例3.1.1 设靶心为直角坐标系原点, 弹着点离靶心距离不超过1的随机事件可表示为
{(X, Y) │ X2+Y2≤1}.
例3.1.2 同时抛一枚5分硬币和一枚
2分硬币,设

í
ì
=
0,
1,
2分硬币正面朝上,
Y

í
ì
=
0, 5分硬币反面朝上.
1, 5分硬币正面朝上,
X
2分硬币反面朝上.
则(X,Y)是一个二维随机变量，描述了掷5分硬币和2分硬币的各种可能结果 .
对于n维随机向量, 其中每一个
分量是一个一维随机变量, 我们可以
单独地研究它. 除此以外, 各分量之间又有相互联系, 在许多问题中, 这种相互联系是更重要的.
我们着重研究二维情形, 其中大部分结果可以推广到任意n维情形.
1. 二维随机变量的分布函数及其边缘
分布函数
类似于一维随机变量的分布函数, 可以定义二维随机变量的“分布函数”.
F(x, y)= P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{X≤x, Y≤y} (1.1)
定义2 设(X, Y)是二维随机变量, 对任意实数x, y, 二元函数
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数, 或称为
随机变量X和Y的联合分布函数.
如果将二维随机变量(X, Y)看成是
平面上随机点的坐标, 那么分布函数
F(x, y)=P{X≤x, Y≤y} (其中(x, y)∈R2)表示随机点(X, Y)落在以点(x, y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率. 见图3-1.
图3-1 {X≤x,Y≤y}的几何意义
依照上述几何解释和概率的可加性, 对随机点(X, Y)落入矩形区域I: x1P{(X, Y)∈I}= F(x2, y2)-F(x1, y2)-F(x2, y1)
+F(x1, y1) (1.2)
其几何关系见图3-2.
图3-2 {(X, Y)∈I}的几何意义
(1) F(x, y)是变量x和 y的不减函数, 即对于任意固定的y, 当x2>x1时, F(x2, y)≥F(x1, y); 对于任意固定的x, 当y2> y1时, F(x, y2)≥F(x, y1).
(2) F(x, y)对每个变量右连续, 即
F(x, y)= F(x+0, y), F(x, y) = F(x, y+0),
也就是F(x, y)关于x右连续, 关于y也右连续.
二维随机变量联合分布函数有
与一维随机变量分布函数类似的性质：
(3) 0≤F(x, y)≤1, 且对于任意固定的y,
F(-∞, y)=0, 对于任意固定的x,
F(x, -∞)=0, F(-∞, -∞)=0, F(+∞,+∞)=1.
上面四个式子可以从几何上加以说明. 例如,在图3-1中将无穷矩形的右边界向左无限平移(即x→-∞), 则{随机点(X,Y)落在这个矩形内}这一事件趋于不可能事件, 因此其概率趋于0, 即有F(-∞, y)=0; 又如当x→+∞, y→+∞时, 图3-1中的无穷矩形扩展到全平面, {随机点(X, Y)落在全平面}这一事件趋于必然事件, 故其概率趋于1, 即F(+∞,+∞)=1.
(4) 对于任意(x1, y1),(x2, y2), x1< y1, x2< y2,
有F(x2, y2) -F(x1, y2)- F(x2, y1) + F(x1,y1)≥0.
我们再来探讨随机变量X,Y各自的分布函
数与联合分布函数之间的关系.
设F(x, y)为随机变量X和Y的联合分布函数. 我们称
FX (x)=P{X≤x}= P{X≤x, -∞=F(x, +∞) (x∈R) (1.3)
定义3
为关于随机变量X的边缘分布函数.
同理, 称
FY (y)= F(+∞, y), (y∈R) (1.4)
为关于随机变量Y的边缘分布函数.
二者关系： 有了二维分布函数F(x, y), 也就唯一确定了边缘分布函数FX (x)和FY (y).
思考题 反之如何呢？
设(X, Y)为二维离散型随机变量, 其所有可能取值(xi, yj), i, j=1, 2,….
令 pij=P{X=xi,Y=yj}, i,j=1, 2,…, (3.1.5)则称上式为(X, Y)的分布律, 或称为X和Y的联合分布律.
定义4 若二维随机变量(X, Y)所有可能取的值是有限对或可列无限多对,则
称(X,Y)为离散型二维随机变量.
2. 二维离散型随机变量的联合分布律
与边缘分布律
表3-1 离散型随机变量(X, Y)的概率分布
X
Y x1 x2 … Xi …
y1 p11 p21 … Pi1 …
y2 p12 p22 … Pi2 …
yj p1j p2j … Pij …
(X, Y)的分布律也可用表格形式给出：
例3.1.3 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值, 另一个
随机变量Y在1~X中等可能取一整数值.试求二维随机变量(X,Y)的分布律.
解 由概率乘法公式容易求得(X,Y)的分布律. 由题意知, {X=i,Y=j}的取值情况是:i=1,2,3,4, j取不大于i的正整数. 于是得到
所以(X, Y)的分布律为
P{X=i, Y=j}=P{X=i} P{Y=j|X=i} = , i=1,2,3,4, j≤i.
X
Y 1 2 3 4
1
2 0
3 0 0
4 0 0 0
二维离散型随机变量(X, Y)的分布函数F(x, y)与分布律的关系是：
F(x, y)=P{X≤x,Y≤y}
二维离散型随机变量的分布律有下列性质：
(1) 0≤pij≤1, i, j=1, 2, ….
分别称pi· , i=1, 2,…和p·j , j =1, 2,… 为(X, Y)关于X和Y的边缘分布律. 这里pi·表示对第二个足标j求和, P·j表示对第一个足标i求和.
二维离散型随机变量(X, Y)的分布律及其边缘分布律可用表格表示如下：
表3-2 离散型随机变量(X,Y)的联合分布与边缘分布
表中最后一行表示(X, Y)关于X的边缘分布律, 最后一列表示(X, Y)关于Y的边缘分布律.
1
…
pi·
…
p2·
p1·
pi·
…
…
p·j
…
pij
…
p2j
p1j
yj
…
…
p·2
…
pi2
…
p22
p21
y2
p·1
…
pi1
…
p21
p11
y1
p·j
…
xi
…
x2
x1
X
Y
例3.1.4 继续求例3.1.3问题的关于X和Y边缘分布律.
解 依上述定义，得到二维随机变量
(X, Y)的关于X和Y的边缘分布律, 如下表所示（见下页）.
通过下述边缘分布，可以验证：
(1) 这里P{X=i}= = , i=1,2,3,4, 说明“随机变量X在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地 取一个值”.
(2) 这里P{Y=2}= = ,与例3.1.3利用全概率公式计算得到的相符.
X
Y 1 2 3 4 P{Y=j}=p·j
1
2 0
3 0 0
4 0 0 0
P{X=i}=pi· 1
3. 二维连续型随机变量的概率密度及
其边缘概率密度
与一维连续型随机变量的定义类似, 我
们给出二维连续型随机变量的定义如下：
通常将边缘分布律写在联合分布律
表格的边缘上, 如上表所示. 这就
是“边缘分布律”这个名词的由来.
定义5 对于二维随机变量(X, Y)的分布函数F(x, y), 如果存在非负可积的
函数f (x, y), 使得对于任意实数x和y, 有
则称(X, Y)是二维连续型随机变量, 函数f (x, y)称为(X, Y)的概率密度, 或称为随机变量X和Y的联合概率密度.
按定义, 概率密度f (x, y)具有以下性质：
(1) f (x, y)≥0.
(3) 设G是xOy平面上的区域,点(X, Y)
落在的概率为
(4) 若f (x, y)在点(x, y)处连续, 则有
(2)
图3-3 概率密度f(x, y)及概率P{(X, Y)∈G}
在几何上, z= f (x, y)的图形表示空间曲面Σ. 由性质(2),(3)可知, 介于曲面Σ和xOy平面的空间区域的体积为1,
P{(X, Y)∈G}的值等于以G为底, 以曲面
z = f (x, y)为顶面的曲顶柱体体积.见图3-3.
与二维离散型随机变量相似, 二维
连续型随机变量也有边缘概率密度的概念.
对于连续型随机变量(X,Y ), 设它的概率密度为f(x, y). 由于
同理可知, Y也是连续型随机变量, 其相应的概率密度为
分别称f X (x), f Y (y)为二维随机变量(X, Y)关于X和关于Y的边缘概率密度.
从而可知, X是连续型随机变量, 且其相应的概率密度为
例3.1.5 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
(1) 确定常数A;
(2) 求(X, Y)的分布函数;
(3) 求关于X和Y的边缘概率密度f X (x), f Y (y);
(4) 计算概率P{X<1, Y<2};
(5) 计算概率P{X +Y<1}.
解 (1) 由联合概率密度的性质(1.10), 应有
故得 A = 4.
(2) 由概率密度的定义知, 分布函数
我们来分块计算分布函数F(x, y)：
当x≤0或y≤0时, f(x, y)= 0,
故 F(x, y)= 0.
当x > 0且y > 0时,
所以
(3) 上面已求得F(x, y), 故可先由(3.1.13),
(3.1.14)式求得边缘分布函数, 再对边缘分布函数求导计算出边缘概率密度.
X的边缘分布函数为
所以，关于X的边缘概率密度为
同理, 关于Y的边缘概率密度为
(4) P{X < 1, Y < 2}=F(1, 2)=(1-e-2) (1-e-4).
(5) 由(3.1.11)式,
讲评
(1) 我们也可以利用(3.1.13)式与 (3.1.14)式直接从f(x, y)积分求得关于 X和关于Y的边缘概率密度.
(2) 也可以通过P{X<1,Y<2}=
求得.
(3) 此例题知识全面，方法综合, 要熟练掌握，应引起读者重视.
例3.1.6 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
我们称(X, Y)服从参数为μ1,μ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布, 记为
(X, Y)~N (μ1, μ2,σ12,σ22, ρ).
试求它的边缘概率密度.
解
因为
由于
于是
令
则有
即得到
同理,
讲评 (1)可见,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且都不依赖于参数ρ, 亦即对于给定μ1,μ2,σ1,σ2,不同的ρ对
(2) 由随机变量X和Y的联合分布F(x,y)可以唯一确定关于X和关于Y的边缘分布FX (x)和FY (y), 反之则未必.
应不同的二维正态分布, 但它们的边缘
分布却都是一样的. 这一事实表明:
单由关于X和关于Y的边缘分布(或边缘概率密度), 一般来说是不能确定随机变量X和Y的联合分布(或联合概率密度)的.
本次课主要介绍了：
(1) 二维随机变量的概念和联合分布函 数的定义和性质；
(2) 离散型二维随机变量的分布律及其边缘分律；
(3) 连续型二维随机变量的概率密度及其边缘概率密度.
3.1.4 内容小结与思考
(1) 二维随机变量与一维随机变量有何联系？
(2) 边缘分布与联合分布有何联系？
(3) 联合概率密度与边缘概率密度有何联系
思考题

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