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3.2 条件分布
第三章 多维随机变量及其分布
内容简介:
考察二维随机变量(X,Y)时, 常常需要考虑已知其中一个随机变量取得某值的条件下, 求另一个随机变量取值的概率. 为此, 我们由随机事件的条件概率很自然地引出条件概率分布的概念.
第三章 多维随机变量及其分布
3.2 条件分布
3.2.1 提出问题
随机事件有条件概率问题，怎样研究随机变量的条件分布问题？
不同的工作时间，会有不同的工作效率.多大的工作时间才会有最大的工作效率呢？
3.2.2 预备知识
1.事件的条件概率计算公式，拉格朗
日中值公式，概率密度与分布函数关系；
2.事件的独立性，联合分布率与联合
概率密度，边缘分布率与边缘概率密度.
分析定义：
设A, B为随机试验E的两个事件, 且P(A)>0, 则称
P(B|A)=
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件
概率.
3.2.3 建立理论与方法应用
1. 离散型随机变量的条件分布律
设(X, Y )是一个二维离散型随机变量, 其
分布律为
(X, Y)关于X和Y的边缘分布律分别为
我们由事件的条件概率给出随机变量的
条件概率分布的概念.
定义1 对于固定的j, 若
, 则称
为在Y = yj条件下随机变量X的条件分布律.
对于固定的i,若
, 则称
为在X = xi条件下随机变量Y的条件分布律.
例3.2.1 设某工厂每天工作时间X
可分为6小时、8小时、10小时和12小
时, 工人的工作效率Y 可以按50%、70%、90%分为三类. 已知(X, Y )的概率分布如下：
X
Y 6 8 10 12
0.5 0.014 0.036 0.058 0.072
0.7 0.036 0.216 0.180 0.043
0.9 0.072 0.180 0.079 0.014
如果以工作效
率不低于70%的概
率越大越好作为评
判标准,问每天工作
时间以几个小时为
最好？
解 先求 (X, Y)的边缘分布律:
X 6 8 10 12
pi· 0.122 0.432 0.317 0.129
下面分别考虑X等于6,8,10,12时Y的条件分布, 即
计算可得
Y 0.5 0.7 0.9
P{Y=yi|X=6} 0.115 0.295 0.590
P{Y=yi|X=8} 0.083 0.500 0.417
P{Y=yi|X=10} 0.183 0.568 0.249
P{Y=yi|X=12} 0.558 0.333 0.109
从表中可以看出P{Y≥0.7│X=xi}的值中, 当xi=8时, 概率
=1-0.083=0.917
最大, 即每天工作8小时, 工作效率达到最优.
2.连续型随机变量的条件分布
对二维连续型随机变量,我们也想定义分布函数P{X≤x|Y=y},但是, 由于P{Y=y}=0, 故不能像离散型随机变量那样简单地定义了.自然想到:设A为某一事件,Y为随机变量, 其分布函数为FY(y), 设P{ y < Y≤y +ε}>0 (ε>0), 则由条件概率公式可知
如果当ε→0+时上式极限存在, 则称
此极限为事件A在条件Y= y下发生的
条件概率, 即
设 X为随机变量, 取事件A为{X≤x}, 则称
为随机变量X在条件Y= y下的条件
分布函数, 记作
设(X,Y)为二维连续型随机变量,分布函
数为F(x, y), 其概率密度为f (x, y)且连续,
则
由拉格朗日中值定理, 可知
Y= y下X的条件概率密度,
记为
则上式就是在给定条件Y= y下, 随机变量X的
条件分布函数. 而 称为在给定条件
同样, 可得出
得到X=x下Y的条件概率密度
即
综上所述, 我们得到常用的关系:
(1)
(2)
(3)
我们得到全概率公式和贝叶斯公式:
(1)
(2)
例3.2.2 设G是平面上的有界区域, 其面积为A. 若二维随机变量(X, Y)具有概率密度
则称(X, Y)在G上服从均匀分布. 现设二维
随机变量(X, Y)在圆域x2 + y2≤1上服从均匀
分布. 求条件概率密度fX|Y(x|y).
因此，边缘概率密度为
由题设, 随机变量(X, Y)具有概率密度
解
于是，当-1< y <1时, 有条件概率密度
即
当y = 0和y = 时, fX|Y ( x | y )的图形
分别如图3-5, 图3-6所示.
图3-5 例3.2.2中y=0时的条件概率密度
图3-6 例3.2.2中y= 时的条件概率密度
(1) 二维随机变量(X,Y)在G上服从
均匀分布, 其概率密度为
它和一维随机变量X在(a, b)上服从均匀分布的概率密度
在本质上是一致的, 可以推广到三维或更高维情形.
讲评
(2) 对于-1思考题 (1) 条件概率密度还服从均匀分布吗？
(2) 边缘概率密度还服从均匀分布吗？
(3) 常错写
而不是 错的原因是fX|Y(x|y)是表示Y=y下的条件概率密度, 即FX|Y(x|y)与Y的取值有关.
例3.2.3 深入对比例3.1.3离散型随机变量
的类似问题. 设随机变量X在区间(0, 1)
上随机地取值, 当观察到X=x (0解
由题意, X具有概率密度
对于任意给定的值x(0< x <1), 在X=x的
条件下, Y的条件概率密度为
由(3.2.7)式得到X和Y的联合概率密度为
因此, 关于Y的概率密度为
讲评
(1) f(x, y)=fX(x)fY|X(y|x)中0< x(2) 此题由条件概率密度和边缘概率密度的乘积求得联合概率密度，进而计算另一个
边缘概率密度.
(1) 条件分布函数与条件概率密
度关系如何
(2) 关于X和Y的联合概率密度与
条件概率密度的关系如何
本次课主要介绍了：
(1) 离散型随机变量的条件分布律及
其求法；
(2) 连续型随机变量的条件分布函数
与条件概率密度及其二者关系，求解了应
用问题.
3.2.4 小结与思考
思考题

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