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3.3 随机变量的独立性
第三章 多维随机变量及其分布
内容简介:随机变量的独立性是研究两个或几个随机变量之间的影响关系. 独立性是概率论与数理统计中的一个很重要的概念，同时也是非常实用的方法, 它是由随机事件的相互独立性引申而来的. 我们重点学习如何判定独立性.
第三章 多维随机变量及其分布
3.3 随机变量的独立性
3.3.1 提出问题
(1) 联合分布函数和边缘分布函数
在X与Y独立的情况下关系如何？一般情况下关系如何
(2) 离散型随机变量与连续型随机变量独立的充要条件是什么？
3.3.2 预备知识
1.事件的独立性,联合分布律与联合概率密度,边缘分布律与边缘概律密度；
2.充分必要条件, n重积分及其反常积
表示.
分
3.3.3 建立理论与方法应用
随机变量的独立性是概率论与数理统计中的一个很重要的概念,它是由随机事件的相互独立性引申而来的.我们知道,两个事件A与B是相互独立的,当且仅当它们满足
P(AB)=P(A)P(B).
由此, 可引出两个随机变量的相互独立性.
设X,Y为两个随机变量,于是{X≤x},
{Y≤y}为两个随机事件, 则两事件{X≤x},{Y≤y}相互独立,相当于下式成立 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x} P{Y≤y}, 或写成分布函数形 F(x,y)=FX(x)FY(y).
定义1 设X,Y是两个随机变量, 其联合分布函数为F(x, y). 若 F(x, y)= FX(x)FY(y), 则称随机变量X与Y相互独立.
具体地, 对离散型与连续型随机变量的
独立性,可分别用分布律与概率密度描述.
定理1 (1)离散型随机变量X与Y相互独立
的充要条件是对于(X, Y)的所有可能取值(xi, yj),
有 P{X= xi,Y= yj}= P{X= xi}P{Y= yj}, (3.1)
其中i j=1,2,….
(2) 连续型随机变量X与Y相互独立的充要条件是 f (x, y)=fX (x)fY(y) (3.2)
几乎处处成立.
例3.3.1 设随机变量(X, Y)的分布律及边缘
分布律如下表：
X
Y 0 1 p.j
1
2
pi.
问X与Y是否相互独立？
P{X=1, Y=1}= = P{X=1}P{Y=1},
P{X=0, Y=1}= = P{X=0}P{Y=1},
解 因为
P{X=0, Y=2}= = P{X=0}P{Y=2},
因此 X, Y是相互独立的.
P{X=1, Y=2}= = P{X=1}P{Y=2},
讲评 此题是离散型随机变量的独立性问题.
例3.3.2 继续解读例3.2.2：设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
问连续型随机变量X与Y是否相互独立
解 由例3.2.2已知关于Y的边缘概率密度为
由x和y的对称性，得到关于X的边缘概率密度为
fX (x) fY (y)≠f(x,y).
可见, 得到以下的关系:
因此, X与Y不相互独立.
讲评 此题是连续型随机变量的独立性问题. 在第四章的不相关问题中还要用此题.
例3.3.3 设(X,Y)是二维正态随机变量,
它的概率密度为
试证X与Y相互独立的充要条件是ρ = 0.
证 由例3.1.6知道,边缘概率密度fX(x)和fY(y)的乘积为
反之, 如果X和Y相互独立,由于f (x,y),
fX(x), fY(y)都是连续函数, 故对于所有的x和y有
特别地, 令x =μ1, y =μ2, 由上述等式得到
从而ρ = 0.
因此, 如果ρ = 0, 则对于所有的
实数x和y, 有 f (x, y)=fX(x)fY(y), 即
X和Y相互独立.
f (x,y)=fX(x)fY(y).
随机变量的独立性往往由实际问题确定. 在独立的情况下, 边缘分布唯一确定联合分布, 这样就将多维随机变量的问题转化为一维随机变量的问题. 所以独立性是非常值得重视的概念之一.
定理2 对于二维正态随机变量(X, Y), X与
Y相互独立的充要条件是参数ρ = 0.
综上所述, 得到以下的重要结论:
讲评:
关于多个随机变量的有关理论, 可
由二维随机变量的一些概念推广得到.
n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数定义
为 F(x1, x2,…, xn)=P{ X1≤x1, X2≤x2, …, Xn≤xn},
其中x1, x2,…, xn为任意实数.
若存在非负函数f (x1, x2,…, xn), 使得对于任意实数x1, x2,…, xn有如下的关系:
2. n维随机变量的相关理论
则称f (x1, x2,…, xn)为连续型随机变量(X1, X2,…, Xn)的概率密度.
设(X1, X2,…, Xn)的分布函数F(x1, x2,…, xn)为已知, 则(X1, X2,…, Xn)的k(1≤k≤n)维边缘
分布函数就随之确定.
例如(X1, X2,…, Xn)关于X1和关于(X1, X2)
的边缘分布函数分别为
=
F(x1, x2,…,xn)
又若f(x1, x2,…, xn)是(X1, X2,…, Xn)的
概率密度, 则(X1, X2,…, Xn)关于X1和关于
(X1, X2)的边缘概率密度分别为
定义2 若对于所有的实数x1,x2,…, xn有
则称随机变量X1, X2,…, Xn是相互独立的.
对于可列无穷多个随机变量X1, X2, …, Xn, …, 若其中任何有限多个随机变量都是
相互独立的, 则称随机变量序列X1, X2, …, Xn, …相互独立.
以下定理在数理统计中很重要.
定义3 若对于所有的 x1, x2,…, xm; y1, y2,…, yn有
F(x1,x2,…, xm, y1, y2,…, yn)
= F1(x1,x2,…, xm)F2(y1, y2,…, yn) (3.8).
其中F1,F2,F依次为随机变量(X1,X2,…,Xm),
(Y1, Y2,…, Yn)和(X1, X2,…, Xm, Y1, Y2,…, Yn)
的分布函数, 则称随机变量(X1, X2,…, Xm)和
(Y1, Y2,…, Yn)是相互独立的.
证明略.
例如 ,若(X1, X2)和(Y1, Y2, Y3)独立，则X1 与Y2独立， X1+2X2与3Y1-Y2+5Y3独立.
设(X1, X2,…, Xm)和(Y1, Y2,…, Yn)相互独立, 则
(1) Xi (i =1, 2, …, m)和Yj (j =1, 2, …, n)相互独立.
(2) 又若h, g是连续函数, 则
h (X1,X2,…,Xm)和g (Y1, Y2,…, Yn)也相互独立.
定理3
3.3.4 小结与思考
本次课主要学习了:
(1) 关于X和Y的相互独立性以及随机向量(X1,X2)与(Y1,Y2)的独立性概念.
(2) 要掌握关于离散型随机变量与连续型
随机变量独立的充要条件.
思考题
(1) 联合分布函数和边缘分布函数
在X与Y独立的情况下关系如何 一般情况下关系如何
(2) 离散型随机变量与连续型随机变量相
互独立的充要条件是什么？

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