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3.4 两个随机变量函数的分布
第三章 多维随机变量及其分布
内容简介: 已经讨论过一个随机变量函数的分布问题, 本节讨论两个随机变量函数的概率分布. 两个随机变量函数的概率分布有许多的实际应用, 其各个例题的处理方法具有代表性.
第三章 多维随机变量及其分布
3.4 两个随机变量函数的分布
3.4.1 提出问题
(1) 设X和Y是两个相互独立的随机变量, 它们都服从标准正态分布 , Z = 2X + Y 概率
分布怎样
(2) 设X和Y是两个相互独立的随机变量, 它们的极大随机变量、极小随机变量的概率分布怎样 ？
3.4.2 预备知识
1. 一个随机变量函数的概率分布问题，二维随机变量的分布函数与概率密度的关系；
2. 随机事件和的概率加法公式，随机变量独立的充分必要条件，反常二重积分计算，卷积公式 .
3.4.3 方法应用
在2.5节中, 已经讨论过一个随机变量函数的分布问题, 本节讨论两个随机变量函数的分布, 我们只就下面几个具体的函数关系来讨论, 其中的处理方法具有普遍的代表性.
例3.4.1 设离散型随机变量(X,Y)的分布律为
求随机变量Z = X + Y的分布律.
解 Z = X + Y的可能取值为0, 1, 2和3.
1. 随机变量和的分布: Z = X + Y
(1) 离散型随机变量情形
X
Y 0 1 2
0 1/4 1/6 1/8
1 1/4 1/8 1/12
P{Z=0}=P{X=0, Y=0}=1/4,
因此, Z = X + Y的表格形式的分布律为
Z=X+Y 0 1 2 3
PZ 1/4 5/12 1/4 1/12
P{Z=1}=P{X=1, Y=0}+P{ X=0, Y=1}=1/4+1/6=5/12,
P{Z=2}=P{X=2, Y=0}+ P{ X=1, Y=1}=1/8+1/8=1/4,
P{Z=3}=P{X=2, Y=1}=1/12.
Z取各值的概率分别为
对于非负整数i, {Z=i}={X+Y=i}可按下列方式分解为若干个两两互不相容的事件之和:
证 Z = X + Y的可能取值为0, 1, 2, ….
例3.4.2 设X, Y是相互独立的随机变量, 其分布律分别为
P{X=k}=p(k), k=0,1,2,…,
P{Y=r}=q(r), r=0,1,2,….
证明随机变量Z=X+Y的分布律为
P{Z=i}=
P{X=k, Y=i-k}=P{ X=k}P{ Y=i-k}
=p(k)q(i-k), k=0,1,2,…, i.
又由X, Y的独立性(3.3.1)式知 ,
{Z=i}={X+Y=i}
={X=0, Y=i}∪{X=1, Y=i-1}∪
…∪{X=i, Y=0}.
因此,
讲评 例3.4.1和例3.4.2这种解决
问题的方法具有一般性. 用类似的方
法同样可以求随机变量差X-Y, 随机变量积XY, 极大随机变量max{X,Y}和极小随机变量min{X,Y}等的分布律.
(2) 连续型随机变量情形
设(X, Y)的概率密度为f (x, y),则Z = X + Y的分布函数为(参见图3-5)
固定z和y, 对上述积分
作变量变换,
图3-5 积分区域G: x+y≤z
令x= u-y, 得
于是
由概率密度的定义, 即得Z=X+Y的概率密度
由X, Y的对称性, fZ (z)又可写成
(4.1)和(4.2)式是两个随机变量和Z=X+Y的概率密度的一般计算公式.
特别地,当X和Y相互独立时,设(X,Y)关于
X,Y的边缘概率密度分别为fX (x),fY (y),
则(3.4.1)和(3.4.2)式化为
这两个公式称为卷积公式, 记为f X * f Y, 即
例3.4.3 设X和Y是两个相互独立的随机变量, 它们都服从标准正态分布N(0,1),
其概率密度为
,-∞,-∞求Z = X + Y的概率密度.
解
由(3.4.4)式知
定理1 设X, Y相互独立且X ~ N( , ),
Y ~ N( , ), 则Z = X + Y仍服从正态分布, 且
有 Z ~ N( + , + ).
对于一般正态分布N( , )和N( , ), 用同样的处理方法也有类似结论.
即Z = X + Y服从N (0, 2)分布.
证明方法同例3.4.3, 此处略.
这个结论还能推广到n个独立正态随机
变量之和的情况, 即若Xi ~ N(μi, σi2)
(i=1, 2,…, n), 且它们相互独立, 则它们的和Z = X1+ X2 +…+ Xn仍然服从正态分布, 且
更一般地, 可以证明有限个相互独立的
正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布. 即
其中ci为常数, i=1, 2,…, n.
例如，根据上述结论可知，
★例3.4.4 (05考研数(三)) 设二维
随机变量(X, Y)的概率密度为
求：(1) (X, Y)的边缘概率密度fX(x), fY(y);
(2) Z=2X-Y的概率密度fZ(z);
(3)
解 (1) 当0所以
同理，当0所以
(2) 先求Z=2X-Y的分布函数：
当z<0时，
当0≤z<2时,考虑 2x－y≤z 和f(x, y)≠0的定义范围, 得到
图3－6.
图3－6
积分区域和f(x,y)≠0的区域
当z≥2时，
所以, 分布函数为
因此, 概率密度为
(3)
因为
又由于
所以, 所求概率为
(1) 此题是2005年考研数(三)大题，也是常考题型；
(2) 此题是求解随机变量线性函数Z=2X-Y的概率密度，是本科知识求“和函数Z=X+Y的概率密度”的推广，用的是方法和学习能力；
(3) 此题解法综合，全体同学应熟练掌握其解法.
讲评
2. 极大随机变量和极小随机变量
的分布
设X,Y是两个相互独立的随机变量, 它们
的分布函数分别为FX (x)和FY (y). 现在来求
极大随机变量M=max{X,Y}及极小随机变量N=min{X,Y}的分布函数.
由于M=max{X,Y}不大于z等价于X和Y都不大于z, 故有 P{M≤z}=P{X≤z, Y≤z}.
又由于X和Y相互独立, 得到M=
max{X,Y}的分布函数为 Fmax(z)=P{M≤z} =P{X≤z,Y≤z}
=P{X≤z}P{Y≤z}.
即 Fmax(z)=FX(z) FY(z). (4.7)
类似地, 可得N=min{X,Y}的分布函数为
Fmin(z)= P{N≤z}=1- P{N > z}=1-P{X > z, Y > z}
=1-P{X > z}P{Y > z}.
即 Fmin(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]. (4.8)
以上结果容易推广到n个相互独立的随
机变量的情况.
设X1 , X2 ,…, Xn是n个相互独立的随机
变量. 它们的分布函数分别为
(i=1, 2,…, n), 则M=max{X1 , X2 ,…, Xn}及
N= min{X1 , X2 ,…, Xn}的分布函数为
Fmax(z)=
Fmin(z)=1-
特别地, 当X1,X2 ,…, Xn相互独立且具有
相同分布函数F(x)时, 有
Fmax(z)=[F(z)]n, (4.11)
Fmin(z)=1-[1-F(z)]n. (4.12)
例3.4.5 设X1,X2,…,Xn是相互独立的n个随机变量，若Y=min{X1,X2,…,Xn}. 试在以下情况下求Y的分布. 求；
(1) Xi～Fi(x),i=1,2,…,n;
(2) Xi同分布，即Xi～F(x), i=1,2,…,n;
(3) Xi为连续型随机变量，且Xi同分布，即Xi的密度函数p(x),i=1,2,…,n;
(4) Xi～E(λ), i=1,2,…,n.
解
(1) Y = min{X1,X2,…,Xn}的分布函数为
FY(y) =P{min{X1,X2,…,Xn}≤y}
= 1-P{ max{X1,X2,…,Xn} > y}
= 1-P{ X1 > y,X2 > y,…,Xn > y}
= 1-P{X1 > y}P{X2 > y}…P{Xn > y}
(2) 将Xi的共同分布函数F(x)代入上
式得
FY(y)=1-[1-F(y)]n.
(3) Y的分布函数见上式，概率密度可对上式关于y求导，得到
(4) 将E (λ)的分布函数和概率密度代入问题(2),(3), 得
可以看出，min{X1,X2,…,Xn}仍服从指数分布，参数为 . 这个结果在例7.2.3要用到.
3.4.4 内容小结与思考
本次课主要介绍了
(1) 两个随机变量X, Y的和函数Z=X+Y的
分布函数及概率密度问题.
(3) 对于极大和极小随机变量M, N, 考虑了它们独立时的分布函数.
(2) 得到两个独立的服从正态分布的随机
变量X, Y的和Z=X+Y仍服从正态分布, 且
Z~N( + , + ).

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