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第三章 多维随机变量及其分布
习题课 （下）
习题课分为上、下两部分.
在上部分中, 我们归纳了第三章的概念、理论与方法等内容，并对关键而又容易出错的地方作了讲评. 在“例题分类解析”部分,讲解了：1. 二维随机变量及其分布的概念及性质；2. 二维离散型随机变量的分布律；3. 二维连续型随机变量的分布函数；4. 边缘分布律与条件分布律.
习题课（下）内容简介：
在下部分中, 在“例题分类解析”部分，讲解：5. 随机变量落入平面区域
内的概率计算；6. 两个随机变量的独立性的判定；7. 两个随机变量函数的概率分布.
三、学习与研究方法
5. 随机变量落入平面区域内的概率
例7 已知随机变量X和Y的联合概率密度为
求P{X分析
本题涉及由概率密度求概率的计算公式
解
由概率密度求概率的计算公式, 可得
本题考查随机变量关系式的概率的
计算. 随机变量关系式X在积分区域x0,y>0的交集上计算关于概率密度的二重积分
讲评
扩展
计算
质上就是考虑在适当的区域上关于概率密度的二重积分.这里适当的区域是指X与Y的关系式确定的区域和Df的交集,其中Df表示f(x,y)取非零值的区域.
这类概率,本
用此题的方法计算概率P{2X+1P{X+Y<1}.
7. 两个随机变量的独立性的例子
例8 设(X, Y)的分布律为
问当α, β取何值时, X与Y相互独立
β
α
(2,3)
(2,2)
(2,1)
(1,3)
(1,2)
(1,1)
(X, Y)
Pij
练习:
分析:
首先, 由分布律求得边缘分布律
解
1
β+
α+
p.j
+α+β
β
α
2
1
pi.
3
2
1
Y
X
对所有的i, j都要成立. 因此又涉及计算边缘
分布律.
离散型随机变量的独立性需要考虑
充要条件
故可得方程组
解得
pij= pi. p.j (i=1,2; j=1,2,3).
由于边缘分布满足
相互独立的等价条件为
, 又X, Y
本题考查了离散型随机变量的独立性和边缘分布律的性质.
讲评
经检验,当
j=1,2,3均有pij= pi. p.j成立.因此当
X与Y相互独立.
时,X
时,对于所有的i=1,2;
扩展
的概念. 强调指出: 这里检验是必须的, 因为α,β仅根据两个方程解得.对于离散型随机
变量,其独立性就意味着
随机变量的独立性是一个非常重要
要对所有的i, j都要成立.
例9 一电子仪器由两个部件构成, X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时), 已知X和Y的联合分布函数为
由于题设给出的是联合分布函数, 所以 独立性只需检验
因此，需要计算X和Y的分布函数.
是否成立.
问X和Y是否独立
(2) 求两个部件的寿命都超过100
小时的概率α.
分析
解
(1) X和Y的分布函数分别为
由于F(x,y)=FX(x)FY(y), 所以X 和Y 相互独立 .
(2)
本题考查了连续型随机变量的独
立性的判定和对立事件的概率计算问题.
讲评
判定连续型随机变量的
独立性可采用检验分布函数关系式
F(x,y)=FX(x)FY(y)
是否成立, 也可以采用检验概率密度关系式
f(x,y)=fX(x)fY(y)
是否成立. 本例也可考虑先计算联合概率密度f(x,y), 而后计算边缘概率密度的方法解决.
扩展
例10 设相互独立的两个随机变量X和Y
具有同一分布律, 且X的分布律为
P
X
1
0
求随机变量Z=max{X, Y}的分布律 .
8. 两个随机变量函数的分布
这是一个离散型随机变量函数的
分布律的问题. Z的可能取值为0,1,然后
再分析Z取这些值的概率.
分析
解
由题设知, Z 的可能取值为0, 1 .
Y}=0, 即意味着X=0,Y=0. 又由于X 和
Y 相互独立, 所以
Z=max{X,
由对立条件的概率得出
故Z=max{X, Y}的分布律为
离散型随机变量Z=max{X,Y}的分布律和连续型相比要容易计算得多.主要是分析Z 的可能取值,然后再分析Z取这些值的概率
讲评
P
1
0
Z
本题可拓展到考虑Z=min{X, Y},
Z=max{2X, Y+1}等的关系式的分布率.
扩展
均匀 分布，试求Z=X+Y的概率密度 ( 计算结果用标准正态分布函数
(Z)表示).
例11 设随机变量X与Y相互独立, X服从
正态分布
, Y服从区间
上的
Z=X+Y的分布是一种非常
重要的分布. 因X与Y相互独立, 故可使
用卷积公式直接计算其概率密度. 本题目还
需熟悉均匀分布和正态分布的概率密度.
分析
解
由题意知,X的概率密度为
Y的概率密度为
由卷积公式知, Z的概率密度为
作变量代换
，可得
讲评
本题考查了公式
本题可拓展到Y服从其它
连续型分布, 如另一个正态分布, 或者
指数分布; 也可拓展求形如 Z=2X-Y的
概率密度.
扩展
例12 设X与Y相互独立, 且服从参数为
的指数分布,求:(1)U=max{X,Y}的概率密度;(2) V=min{X,Y}的概率密度 .
直接利用表3-7中公式计算即可.
分析
X和Y的概率密度和分布函数分别为
解
(1) 由于X与Y相互独立, U=max{X,Y}的分布
求导, 可得U的概率密度
函数为
U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的分布是两类重要的分布. 要非常熟悉表3-7中罗列的结果.
讲评
(2) 由于X与Y相互独立, V=min{X,Y}的分布函
求导, 可得V的概率密度为
数为
本题可拓展U=max{X,Y,Z},V=min{X,Y,Z}的分布,
其中X,Y,Z分别服从参数为 的指数分布;
本题也可拓展为改变条件再求U, V 的概率密度, 例如条件改为X服从均匀分布, Y 服从正态分布.
扩展
例13 假设一电路装有三个同种
电气元件, 其工作状态相互独立, 且无
故障工作时间都服从参数为λ>0的指数分布. 当三个元件都无故障时电路正常工作, 否则整个电路不能正常工作. 试求电路正常工作的时间T 的概率分布.
记Xi (i=1,2,3)表示第i个元件无故
障工作时间, 则T=min{X1,X2,X3}. 实际上可以看作三个元件串联时构成的电路系统.
分析
记Xi(i=1,2,3)表示第i个元件无故障
工作的时间, 则X1,X2,X3相互独立同分布, 其分布函数为
解
设T的分布函数为G(t). 由于T=min{X1,X2,X3},
当t>0时,
≤t}
当t≤0时, G(t)= 0;
所以
Z=min{X1,X2}是一类重要分布. 此例是这个基本型的推广. 其解题思路是一样的. 结论“T服从参数为3λ的指数分布”中的“3”是元件的个数.
故
即T服从参数为3λ的指数分布.
讲评
本问题可拓展到求T=
min{X1,X2,…,Xn}(n≥3)的分布，此时
你能立即答出T服从的分布吗？
扩展
求随机变量Z=X+2Y的分布函数.
例14 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
(1) 当z≤0时， , F(z)=0;
因联合概率密度已知, 只需
按分布函数的定义计算即可.
分析
解
Z的分布函数为
≤z}=
≤
(2) 当z>0时 ,
故
所用解题方法完全类同
Z=X+Y的知识 . 本题考查随机变量
函数的分布的计算. 当z>0时, 积分区域是
如图3-1的三角形区域.
讲评
图3-1 例14积分区域
扩展
的分布. 也可拓展到求随
机变量Z=X+2Y的概率密度，这只需完成分布函数F(z)对z求导即可. 比较例15题型.
本题可拓展到求更一般形如
例15 设随机变量X, Y 相互独立, 其概率
密度分别为
由于随机变量X, Y相互独立, 所以
(X, Y)的概率密度为
求随机变量
的概率密度.
由于随机变量X, Y相互独立,
所以X, Y的联合概率密度易得. 这就变
成了求随机变量函数的分布问题. 见例14题型.
分析
解
Z的分布函数为
≤
≤
下面来计算这个二重积分.
(1) 当
≤0时,即z≤0时(参见图3-2(a)),FZ(z)=0.
(2) 当0≤
≤1, 即0≤z≤2时(参见图3-2 (b)),
(3) 当
, 即z>2时(参见图3-2 (c)),
图3-2 例15积分区域
因此
所以Z的概率密度为
即
本题考查随机变量函数的分布.
与例14相比,本题的计算略显复杂.具体解题方法参见例7和例14.本题解法具有通用性,
要求读者熟练掌握.
讲评
本质上随机变量函数的
分布就是随机变量落在给定区域的
概率的计算问题此类问题的计算大多需要细致的讨论. 这需要一定的训练和积累. 画出f(x, y)不为零的区域草图, 可以帮助我们分析和确定二重积分的上下积分限.
扩展
关于一维与多维问题, 这是一个基础与提高的关系, 是由简单到复杂的拓广与提升过程.通常, 一维所研究的问题是简单的基础的问题,而类似的多维问题是对一维问题的扩充与加深.
三、学习与研究方法
对于一维随机变量, 我们研究了分布函数、分布律和概率密度问题. 在二维随机变量理论中, 我们除了研究(联合)分布函数、(联合)分布律、(联合)概率密度外, 又建立了边缘分布、边缘概率密度、条件分布和随机变量的独立性理论.
一维与多维问题

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