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第四章 随机变量的数字特征
4.1 数学期望
内容摘要: 利用与算术平均类比的方法,
我们提出了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望的概念, 研究了数学期望的运算性质, 探讨了随机变量函数的期望计算问题, 并对期望概念、期望性质、随机变量函数关系和实际问题等分别进行了应用.
第四章 随机变量的数字特征
4.1 数学期望
问题1： 气象分析中常考察某一
时段的雨量、湿度和日照等气象要素
的平均值和极端值以判定气象情况, 而不必掌握每一个气象变量的分布函数. 在这些用来作为显示随机变量分布特征的数字中, 最重要的就是随机变量的数学期望、方差以及各阶矩.
4.1.1 提出问题
算术平均
考90分成绩的有10人，考80分的有20人，考60分的有13人. 问：这33人的平均考试成绩
是多少分？
4.1.2 预备知识
4.1.3 问题分析
数学期望的概念
引例 现考查一批5万只的灯泡. 为了评估灯泡的使用寿命(设每只灯泡的寿命是一个随机变量X (单位:小时)), 现从中随机抽取100只.测试结果如下:
频率
16
26
32
20
6
灯泡数(频数)
1250
1200
1150
1100
1050
寿命(小时)
可求得这100只灯泡的平均寿命为
可见，这100只灯泡的平均寿命为 1163小时. 可以认为，这5万只灯泡的寿命是1163小时. 这里，我们注意取值和取该值频率的乘积相加求和关系.
1. 离散型随机变量的数学期望
定义1 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X= }= , k=1,2,3,… 若级数 绝对收敛, 则称数项级数 的和为离散型随机变量X 的数学期望, 记为E(X). 即
4.1.4 提出概念
在实际试验中所得到的随机变量
观察值的算术平均与数学期望值有密
切联系. 设在n次独立试验中, 随机变
量X 取xk的频数为nk , 频率 , 则可以计算出X观察值的算术平均值为
此式实际上是一种加权算术平均，
把它与(1.1)式比较, 它与X 的理论分布
的数学期望E(X)的计算方法是相似的, 只是用频率代替了概率. 随着试验次数n的增加, 频率fn(xk)会越来越接近于概率pk(此性质参见第五章伯努利大数定律), 故 的取值也会愈接近E(X). 因此, 我们也把数学期望E(X)称为X的均值.
2. 连续型随机变量的数学期望
类似于(1.1)式, 我们可以由此给出
连续型随机变量的数学期望的定义.
定义2 设连续型随机变量X的概率密度函数为f (x), 若积分 绝对收敛, 则称积分 的值为连续型随机变量X的数学期望, 记为E(X). 即
E(X)= . (1.3)
数学期望简称期望, 又称为均值.
例4.1.1 甲某人有一笔资金，可投入两个项目：房产和商业，其收益都与市场状态有关.若把未来市场划分为好、中、差三个等级，其发生的概率分别为0.2，0.7和0.1. 通过调查，该投资者认为投资房产的收益X(单位：万元)和投资商业的收益Y(单位：万元)的分布分别为
4.1.5 应用一
X 11 3 -3
P 0.2 0.7 0.1
Y 6 4 -1
P 0.2 0.7 0.1
请问该投资者如何投资为好
我们先考察数学期望(平均收益)：
解
E(X)=11×0.2+3×0.7+(-3)×0.1=4.0(万元),
E(Y)=6×0.2+4×0.7+(-1)×0.1=3.9(万元).
可见，从平均收益看，投资房产收益大，可比投资商业多收益0.1 万元.
随机变量函数的数学期望
定理1 设Y是随机变量X的函数Y = g(X) (g是连续函数).
(1) 设X是离散型随机变量, 它的分布律为
P{X=xk}=pk, k =1,2,3,…,
若 绝对收敛, 则有
E(Y)=E [g(X)]= . (1.4)
4.1.6 理论研究
(2) 设X是连续型随机变量, 它的概率
密度f(x), 若 绝对收敛, 则有
E (Y)=E [g(X)]= . (1.5)
证明略.
定理的重要意义在于, 当我们求随机变量函数的期望E(Y) 时, 不必算出Y的分布律或概率密度, 而只需利用X的分布律或概率密度就可以了, 定理的证明略. 换定义中的x 为g(x), 得到g(X)的数学期望计算公式.
上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量函数的情况.
讲评
定理2 设Z是二维随机变量(X, Y)的
函数Z=g(X, Y), 其中g 是二元连续函数.
(1) 设(X, Y)是离散型随机变量, 其分布
律为P{X=xi, Y=yj}=pij, i, j =1, 2, 3,…,
则当级数 绝对收敛时, 有
(1.6)
(2) 设(X, Y)是连续型随机变量, 其
密度函数为f (x, y), 则当积分
绝对收敛时, 有
(1.7)
★例4.1.2 继续解读例3.2.2和例3.3.2：
设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
求 (1) 随机变量X和Y的数学期望E(X )和E(Y )；
4.1.7应用二
(2)
(1) 随机变量X的数学期望
解
E(X2).
由x,y 的对称性, 知随机变量Y 的
数学期望E(Y)=0.
（2）
★例4.1.3 已知随机变量的概率密度为
求E(X), E(Y), E(X 2)和E(XY).
解
因为
所以，
同理, 由x与y的对称性得到
(1) 设C是常数,则有E(C)=C.
(2) 设X是一个随机变量, C是常数, 则有
E(CX)=CE(X).
(3) 设X, Y是两个随机变量, 则有
E(X+Y)= E(X)+ E(Y).
这一性质可以推广到任意有限个随机变
量之和的情况.
4.1.8 研究性质
(4) 设X,Y是相互独立的随机变量, 则有
E(XY)= E(X)E(Y).
这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况.
证
结论(1)和(2)由读者自己证明.
我们以连续型随机变量为例来证(3)和(4).
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x, y),其边缘概率密度为fX(x), fY(y). 由(1.7)式
所以结论(3) 得证.
所以结论(4) 得证.
因为X和Y相互独立,
(2) X 与Y不独立时, 有关系式
E(XY)=E(X)E(Y) + Cov(X, Y)
= E(X)E(Y) + E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.
关于X与Y的协方差Cov(X, Y)将在4.3节讲到.
讲评
(1) 对于线性关系有
E(aX+b)=aE(X)+b,
E(aX+BY+c)=aE(X)+bE(Y)+c.
例4.1.4 一民航送客车载有20位
旅客自机场开出, 旅客有10个车站
可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X表示停车的次数, 求E(X) (设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).
解 引入随机变量
4.1.9 应用三
P{Xi=0}= , P{Xi=1}=1- , i=1,2,…,10.
E(Xi)=0·P{Xi=0}+1·P{Xi=1}=1- , i=1, 2,…, 10.
易知停车次数满足
X = X1 + X2 +…+ X10.
现在来求E(X).
依题意, 任一旅客在第i 站不下车的概率为 , 利用独立性得到20位旅客都不在第i 站下车的概率为 , 而在第i 站有人下车的概率为1- , 也就是
由此得到数学期望：
E(X) =E(X1 + X2 +…+ X10)
= E(X1) + E(X2)+…+ E(X10)
=10[1- ]=8.784(次).
讲评 本题是将X分解成若干个独立同服从 0-1分布的随机变量之和, 然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望的, 这种处理方法具有一定的普遍意义.
例4.1.5 工程队完成某项工程的时间
X~N(100, 16)(单位: 天). 甲方规定: 若该工程在100天内完成, 发奖金10000元; 若在100天至112天内完成, 只发奖金1000元; 若完工时间超过112天, 则罚款5000元. 求该工程队完成此项工程时获奖的数学期望.
解 得奖金10000元的概率为
得奖金1000元的概率为
被罚款5000元的概率为
故工程队获得奖金的数学期望为
10000×0.5+1000×0.4987-5000×0.00135
≈5492(元).
★例4.1.6 市场上对某种产品每年的
需求量为X(吨), 它服从[2000, 4000]上的
均匀分布. 已知每出售1吨产品可赚3 万元; 若售不出去, 则每吨需付仓库保管费1万元. 试问每年应生产该产品多少吨, 才能使平均收益最大 并求最大平均收益.
于是有
解 设每年应生产该商品y 吨. 依据题意，
有 2000≤y≤4000，则每年的收益
已知
得到每年的平均收益
对E(R)= (-y2 + 7000y -4×106)求导,
令 ,
知, 当y=3500吨时最大平均
收益
讲评
(1) 此题型可以称为“获利问题”；
(2) 解题关键在于建立分段函数关系式；
(3) 解题难点在于计算随机变量函数的数学 期望E(R)的表达式并求导.
例4.1.7 某汽车起点站分别于每小时
10分、30分和55分钟发车. 若乘客
不知发车的时间, 在每小时内的任一时刻随机到达车站, 求乘客等车的平均时间.
分析 发车时间是确定的. 汽车到站是
随机的. 乘客不知发车的具体时间, 也是随
机到达车站. 求乘客等待发车的数学期望.
解 设乘客到达车站的时刻为X(单位:分). 则X~U[0, 60]. 设乘客等候时间为Y,
依题意得
所以，
(1) 此题型可以称为“等候问题”；
(2) 解题关键在于建立分段函数关系式；
(3) 解题难点在于计算随机变量函数的数学期望E(Y).
讲评
例4.1.8 据统计: 65岁的人在30年内
正常死亡的概率为0.98, 因意外死亡的
概率为0.02. 保险公司开办老人意外事故死亡保险, 参保者仅需交纳保险费1000元. 若30年内因意外事故死亡, 公司赔偿a元. 问：
(1) 如何确定赔偿额度a, 才能使保险公司期望获得收益
(2) 若有10000人投保, 公司期望总获收益是多少
解 设Xi表示公司从第i个投保人处获得的
收益, i=1,2,…,10000, 则的分布律为
0.02
0.98
P
1000-a
1000
Xi
(1) 由于公司不能亏本, 故应有
从而得到赔偿额度满足1000(2) 公司期望总收益为
若公司每笔赔偿40000元，则公司总收益
的期望值为200万元.
讲评
(1) 此题型可以称为“保险问题”;
(2) 解题关键在于建立含有参数的分布律.
4.1.10 内容小结
1. 数学期望E(X)描述随机变量X取值
的平均大小, 通常人们用算术平均来近似计算数学期望.
2. 要掌握数学期望的性质, 并会计算离散型随机变量、连续型随机变量和随机变量函数的数学期望.
3. 要掌握随机变量函数的数学期 望的计算公式和两种计算方法(联合分 布或者边缘分布法).
4. 要掌握涉及数学期望的生产、生活实
际问题的求解思想: 建立函数关系, 利用已
知的概率分布.
题型有: 购货( 生产) 量的多少和最大利润问题; 候车(飞机, 电梯)时间; 保险问题.
5. 存在问题：如果两个选手比赛的
平均成绩相同, 也就是数学期望相等,
如何来考量这两位选手的水平呢 人们可以进一步看他们的成绩的稳定程度. 这是下一次课要学习的问题.

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