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第三章 多维随机变量及其分布
习题课 （上）
习题课分为上、下两部分. 在上部分中, 我们归纳第三章的概念、理论与方法等内容，并对关键而又容易出错的地方作讲评. 在“例题分类解析”部分，讲解了：1. 二维随机变量及其分布的概念及性质；2. 二维离散型随机变量的分布律；3. 二维连续型随机变量的分布函数；4.边缘分布律与条件分布律.
习题课（上）内容简介：
在下部分中, 在“例题分类解析”部
分，讲解了：5. 随机变量落入平面区域内的概率计算；6. 两个随机变量的独立性的判定；7. 两个随机变量函数的概率分布. 三、学习与研究方法.
本章重点：
1. 二维随机变量分布函数的概念和性质；
2. 边缘分布的概念；
3. 条件分布的概念；
4. 随机变量的独立性；
5. 简单随机变量函数的概率分布.
本章难点：
1. 二维连续型随机变量的概率计算；
2. 连续型随机变量边缘概率密度的计算；
3. 随机变量的独立性的判定和应用问题；
4. 简单随机变量函数的概率分布的计算.
一、 主要内容归纳
1. 分布函数F(x,y)及其性质
表3-1 二维随机变量(X, Y)的分布函数F(x,y)及其性质
设 (X, Y)是二维随机变量, 对任意实数x, y,
二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}称为二维随机变量(X, Y)的分布函数, 或称为随机变量X和Y的联合分布函数.
分布函数F(x,y)具有性质：
(1) 0≤F(x,y)≤1;
(2) F(x,y)是x或y的不减函数，并且
(3) F(x,y)关于x右连续, 关于y右连续, 即
F(x,y)= F(x+0, y), F(x,y)=F(x, y+0);
(4)
并不是所有的二元函数都可以成为某个二维随机变量的分布函数,它必须要满足上表中的(1)～(4)条性质. 反过来我们也常利用这四条性质来确定分布函数中的某些待定参数.
讲评:
2. 二维离散型随机变量及其性质
若一个二维离散型随机变量的分布律不能满足性质(2), 那么这个分布律的计算显然是错误的.
讲评
二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律为
性质: (1) ≥0; (2 )
分布函数:
表3-2 二维离散型随机变量及其性质
表3-3 二维连续型随机变量及其性质
设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y).
性质: (1) f(x,y)≥0;
(2)
(3) , (x,y)为f(x,y)的连续点;
(4)
分布函数:
3. 二维连续型随机变量及其性质
二维连续型随机变量的性质(2)常用
来确定概率密度中的待定参数, 而据性质(3)在已知联合分布函数时通过求偏导可求得联合概率密度. 性质(4)常用于计算点(X,Y)落在给定平面区域G中的概率, 本质上这是一个二重积分计算问题, 但须仔细处理有效的积分区域和概率密度f(x,y)的分段表达式.
讲评
4. 二维随机变量的边缘分布
离散型随机变量
二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律为
二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布律为
二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数为
二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数为
表3-4边缘分布
二维随机变量(X,Y)关于X的边缘概率密度为
二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘概率密度为
二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数为
二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数为
连续型随机变量
对于离散型随机变量而言, 边
缘分布律的计算是十分容易的 , 只需将联合分布律表格中的数据横向或纵向相加写在相应的边框上. 对于连续型随机变量, 很多时候需要将联合概率密度f(x,y)的定义域进行划分后再积分, 求得其边缘分布函数多为分段函数.
讲评
5. 二维随机变量的条件分布
表3-5 条件分布
离
散
随
机
变
量
二维随机变量(X,Y)在条件 下X的条件
分布律为
二维随机变量(X,Y)在条件 下Y的条件
分布律为
xi
X
=
二维随机变量(X,Y)在条件Y=y下X的条件概率
密度为
条件分布函数为
二维随机变量(X,Y)在条件X=x下Y的条件概率
密度为
条件分布函数为
连
续
型
随
机
变
量
为了求得条件分布律或条件概
率密度必须事先求得相应的边缘分布律或边缘概率密度.
讲评
6. 随机变量的独立性
3-6 随机变量的独立性
随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是:f(x, y)=fX(x) fY(y)在平面上几乎处处成立,其中f(x, y), fX(x), fY(y)分别是(X, Y)的概率密度和边缘密度.
连续型随机变量
随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是:
对于(X, Y)的所有可能取值(xi, yj)均成立.
离散型随机变量
若对任意的数x, y, 满足F(x, y)=Fx(x) FY(y), 则称随机变量X与Y相互独立. 其中F(x, y), FX(x), FY(y)分别是(X,Y)的分布函数及边缘分布函数.
定义
随机变量的独立性是一个
非常重要的概念. 在实际的应用中, 对
离散型随机变量我们
只要验证
讲评
连续型随机变量只要验证f(x, y)=fX(x) fY(y) 在平面上几乎处处成立. 这样处理往往比利用独立性定义更简便.
对于(X,Y)的所有可能取值
都成立.对
表3-7 常见两个随机变量函数的分布
设X, Y为连续型随机变量, Z=X+Y的分布函数为
≤ ≤ Z }
设X, Y为离散型随机变量, Z=X+Y的分布律为
或
Z=X+Y
7. 简单随机变量函数的分布
N的分布函数为 ，其中X, Y相互独立.
N=min
{X, Y}
M的分布函数为 其中X, Y相互独立.
M=max
{X, Y}
Z=X+Y的概率密度为
若X, Y相互独立, 则有
这里罗列了三种常见的函数
的分布 . Z=X+Y的概率密度公式(*)
和(**)要非常熟悉. 对于随机变量X, Y, 若已知它们的分布函数, 则M=max{X, Y}和N=min{X, Y}的分布函数将易于求得. 这三种分布, 在研究元件的可靠性分析中, 常分别用于描述元件备用联接、并联和串联时的系统寿命.
讲评
8. 重要结论
表3-8 重要结论
1. 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布, 而且都不依赖于参数ρ.
2. 一般地, 单由关于X和Y的边缘分布不能唯一确定X和Y的联合分布.
3. 对于二维正态随机变量(X, Y), X和Y相互独立的充要条件是参数ρ=0.
4. 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.
这些结论要非常熟悉.
讲评
9. 重要二维分布及其性质
表3-9 重要二维分布及其性质
二维随机变量(X, Y)的概率密度为
其中SG表示平面区域G的面积.
均
匀
分
布
二维随机变量(X, Y)的概率密度
其中 . 记作
二维正态分布的性质:
1.
2.
正
态
分
布
均匀分布和正态分布是两个
常见的分布,尤其对于二维正态分布的
性质要熟悉.
讲评
二、例题分类解析
1. 二维随机变量及其分布的概念和性质
例1 设二维随机变量(X, Y)的分布函数为
求: (1) 常数A, B, C; (2) (X, Y)的概率密度.
(X, Y)的分布函数中的待定常数
可以利用分布函数的性质来确定; 已知分布函数求概率密度, 常通过计算偏导求得.
分析
解
(1) 由分布函数的性质有
令x=0, y=0, 由此解得
故有
(2) (X, Y)的概率密度为
本题考查了分布函数的性质在确定其表达式中待定参数的应用, 考查了分布函数和概率密度之间的运算关系.
讲评
求分布函数表达式中的待定常数
是一个常见问题. 此例的解法具有通用性.
讲评
2. 二维离散型随机变量的分布律
设某班车起点站上客人数X服从
参数为 的泊松分布,每位乘客中途
下车的概率为p(0互独立. 以Y表示在中途下车的人数. 求:(1)
在发车时有n个乘客的条件下, 中途有m人
下车的概率;
例2
由于乘客下车与否相互独立,
所以第一个问题可看成是一个n重伯努利试验问题涉 及到条件概率; 第二个问题中的两个随机变量都是离散型的, 同时涉及到概率乘法公式
(2) 二维随机变量(X, Y)的概率分布.
分析
(1)
解
0≤m≤n, n=0,1,2,….
(2) 二维随机变量(X, Y)的概率分布为
≤m≤n, n=0,1,2,….
本题考查了多个知识点, 包括n重伯努利试验、泊松分布及条件概率、概率乘法公式、二维离散型随机变量的分布律；考查了n重伯努利试验、泊松分布及条件概率概率乘法公式在随机变量描述随机事件情形下的应用.
讲评
本题两个随机变量都是离散型的.对于一个随机变量是离散型的,另
一个是连续型的, 或者两个随机变量都是连续型的问题,也会涉及到概率乘法公式和条件概率问题, 其解法类似.
扩展
例3 甲、乙两人独立地各进行两次射击.假设甲的命中率为0.2,乙的命中率为0.5,以X和Y分别表示甲和乙的命中次数.试求X和Y的联合概率分布.
分析
X服从参数为n=2, p=0.2的二项分布, Y服从 参数为n=2, p=0.5的二项分布. 它们的概率分布分别为
解
由于X和Y相互独立, 所以
此题目用到二项分布.
由于X和Y的独立,得到
可知X和Y的联合概率分布为
Y 0 1 2
P{Y=j} 0.25 0.5 0.25
X 0 1 2
P{X=i} 0.64 0.32 0.04
本题考查了二项分布和随机变量的独立性概念.
Y
X 0 1 2
0 0.16 0.32 0.16
1 0.08 0.16 0.08
2 0.01 0.02 0.01
讲评
在X和Y相互独立的情况下, 本题中X和Y服从的二项分布可换成其它分布.
扩展
3. 连续型随机变量的分布函数
例4 已知随机变量X和Y的联合
概率密度为
求X和Y的联合分布函数F(x, y).
分析
本题涉及联合分布函数为分段形
式的计算, 即计算二重积分
解
根据定义X和Y的联合分布函数
(2) 当x>1且y>1时, 有
(3) 当0≤x≤1且0≤y≤1时, 有
≤x, Y≤y}=
(1) 当x<0或y<0时, 有
在计算中应注意区域的划分和f(x,y)的
分段表达式.
(4)当0≤x≤1且 y>1时,有
(5)当x>1且0≤y≤1时,有
故X和Y的联合分布函数为
二维连续型随机变量的联合分布
函数的计算, 本质上就是计算二重积分
块区域取非零值, 因此积分结果是一个分段函数.
.由于被积函数仅在有限
讲评
此题目解法具有通用性, 要求读者熟练掌握其解法; 为了提高此类问题的计算速度和准确性, 应该通过画草图的方式辅助确定积分限. 请读者画出f(x, y)≠0的区域, 分析各种情况的积分限.
扩展
4. 边缘分布律和条件分布律
例5 设随机变量X和Y相互独立, 下表列出了二维随机变量(X, Y)的分布律及其关于X和Y的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中空白处.
1
x2
x1
y3
y2
y1
Y X
据此再利用独立性和边缘分布律的性质可依次填充所缺数值.
分析
在上表中很容易得到
解
所以有
首先, 由于
在此基础上利用X和Y的独立性, 有
于是
再次, 利用X和Y的独立性, 有
于是
最后, 利用X和Y的独立性, 有
因此得到下表
y3
y2
y1
x1
Y
X
1
x2
对于离散型随机变量, 其分布律中适当部分数据确定后, 事实上其它的数据也就被唯一地确定下来. 如本例中, 考虑一下最少需要几个数据来唯一确定整个概率分布
扩展
本题考查了随机变量独立性的
概念和边缘分布的性质以及对立事件的概率公式等知识.
讲评
例6 设二维随机变量(X,Y)在圆域x2+y2≤1上服从均匀分布. 求:
(1) 关于X和Y的边缘概率密度;
(2) 条件概率密度.
分析
由于(X, Y)服从均匀分布, 所以
解
由题设知, (X, Y)的联合概率密度为
(1) 当x<-1或x>1时, 由于f(x,y)=0, 所以
当-1≤x≤1时,
于是关于X的边缘概率密度为
利用对称性, 可得关于Y的边缘概率密度为
(2) 因为
, 注意到当
时, f(x, y)才不为零,
时, 有
因此, 当
类似地, 可以求得在条件“X=x”下,当-1本题考查了连续型随机变量的边缘概率密度和条件概率密度的概念和计算.
讲评
即在条件“Y=y”下, 当-1密度为
连续型随机变量的边缘概
率密度和条件概率密度计算大多需要分
段讨论. 但计算过程大同小异. 本题可拓展到考虑(X, Y)在其它区域上服从均匀分布,如环形区域；也可拓展到考虑(X, Y)服从正态分布
等.
扩展

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