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第四章 随机变量的数字特征
4.2 方差
内容简介: 在一些实际问题中, 只需知道随机变量的某些特征, 随机变量的数学期望、方差以及各阶矩. 本节讨论随机变量的方差以及其性质, 利用其理论解决实际问题.
第四章 随机变量的数字特征
4.2 方差
4.2.1 提出问题
1. 射手的平均射中环数相等,如何
推断他们的射击水平
4.2.2 预备知识
1.数学期望定义与计算公式, 独立性及其充要条件.
2.六种重要的分布, 指示函数.
2. 如何判断两台机床工作的精度, 或者工作的稳定性 一批灯泡的质量如何认定
4.2.3 问题分析
引例 有一批灯泡, 知其平均寿命是E(X)=1000(小时). 仅由这一指标我们还不能判定这批灯泡的质量好坏. 事实上, 有可能其中绝大部分灯泡的寿命都在950～1050小时; 也有可能其中约有一半是高质量的, 它们的寿命大约有1300小时. 另一半却是质量
很差的, 其寿命大约只有700小时. 为 了评 定这批灯泡质量的好坏, 还需进 一步考察灯泡寿命X与其均值E(X)=1000的偏离程度. 若偏离程度较小, 表示质量比较稳定. 从这个意义上来说, 我们认为质量较好. 由此可见, 研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.
容易看到E{|X-E(X)|}能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值而导致运算不方便. 为运算方便起见 , 通常是用量E{[X-E(X)]2} 来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度的.
用怎样的量来度量这个偏离程度呢
4.2.4 建立理论
定义1 设X是一个随机变量, 若
E{[X-E(X)]2}存在, 则称 E{[X-E(X)]2} 为X的
方差, 记为D(X)或Var(X). 即
D(X)=Var(X)=E{[X-E(X)]2}. (2.1)
在应用上, 还引入与随机变量X具有相同
量纲的量 , 记为 , 称为标准差或
均方差.
讲评 方差的实际意义是：随机变量
X的方差表达了X的取值与其数学
期望的偏离程度. 若X取值比较集中, 则D(X)较小; 反之, 若X取值比较分散, 则D(X)较大. 因此, D(X)是刻画X取值分散程度的一个量.
由定义知, 方差实际上就是随机变量X
的函数g(X)=(X- E(X))2的数学期望.
(1) 若X是离散型随机变量, 分布律为
P{X=xk}=pk, k=1, 2,…,
则
关于离散型随机变量和连续型随机
变量方差的具体计算公式如下所述.
定理1 在相应方差存在的条件下,
(2) 若X是连续型随机变量, 其概率密度
为f(x), 则
(3) 方差常用下面公式进行计算：
D(X)=E(X 2)-[E(X)]2. (2.4)
D(X)=E{[X-E(X)]2}=E{X 2-2 XE(X)+[E(X)]2}
= E(X 2) - 2E(X)E(X)+[E(X)]2
= E(X 2) - [E(X)]2.
证 结论 (1)和(2)由方差定义及函数期望计算公式即得. 关于结论(3),
4.2.5 理论应用
例4.2.1 深入解读第二节例4.1.1:
进一步分析该投资者如何投资为好呢
从平均收益看, 投资房产收益大, 可比投资商业多收益0.1万元.
我们再来计算它们各自的方差：
解
D(X)=(11-4)21×0.2+(3-4)2×0.7+(-3-4)2×0.1=15.4,
D(Y)=(6-3.9)2×0.2+(4-3.9)2×0.7+(-1-3.9)2×0.1=3.29
各自的标准差:
因为标准差(方差也一样)越大, 则说明收益的波动越大, 从而投资
风险也在增加. 所以从标准差看, 投资房产的风险比投资商业的风险大一倍多.
若收益与风险综合权衡, 该投资者还是应该选择投资商业为好. 虽然平均收益少0.1万元, 但风险要小一半以上.
X
Y 0 1 p.j
1
2
pi. 1
试计算 E(X), E(X2), E(XY)和D(X).
例4.2.2 继续解读例3.3.1: 设二维随机变量(X, Y ) 的分布律为
由X和Y的联合分布律得到
解
所以，
例4.2.3 继续解读例4.1.3：已知
随机变量的概率密度为
再求X和Y的方差D(X )及D(Y ).
已知X的数学期望为
解
所以
由x与y的对称性得到
4.2.4′理论研究
定理2 随机变量的方差具有以下性 质(设随机变量期望及方差均存在):
(2) 设C, a, b为常数, 则
D(CX)=C2D(X), 且D(aX+b)=a2D(X), (2.6)
设C为常数, 则
D(C)=0 . (2.5)
(3) 若X与Y相互独立, 则
D(X±Y)=D(X)+D(Y) . (2.7)
(4) 设X1,X2,…,Xn是相互独立的n个
随机变量, C1, C2,…, Cn是n个常数, 则
(5) D(X)=0 的充分必要条件是存在常数C,
使X以概率1取常数C, 即
P{X=C}=1,
这里C=E(X).
证 结论(5)证略. 下面证明
结论(1), (2), (3)和(4).
(1) 由数学期望的性质, 有
D(C)=E[C-E(C)]2=E(C-C)2=E(0)=0.
(2) 由方差的计算公式,
D(CX)=E(C2X 2)-[E(CX)]2
= C2E(X2)-C2[E(X)]2= C2D(X).
第二个等式留给读者自证.
(3) D(X±Y)= E[(X±Y)-E(X±Y)]2
= E[(X-E(X)±(Y-E(Y)]2
= E[(X-E(X)] 2 +E[(Y-E(Y)]2
±2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
=D(X)+D(Y)±2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.
由于X与Y相互独立, 故X-E(X) 与Y-E(Y)也相互独立. 从而
E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
= E[X-E(X)] E [Y-E(Y)]
=0 ,
于是，
D(X±Y)=D(X)+D(Y).
结合结论(2), (3), 可以推知结论(4).
讲评
(1) D(2-3X)=9D(X), 不是 D(2-3X)=-3D(X).
(2) X与Y不相互独立(即任意的随机变量)时,
D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2Cov(X, Y).
例4.2.4 设随机变量X的数学 期望E(X)和方差D(X)均存在, 且D(X)>0, 定义一个新随机变量X * 为
(2.9) 求证E(X *)=0, D(X *)=1.
通常称X *为X的标准化随机变量.
证
讲评 这里X不一定是正态随机变量. 对正态随机变量X～N(μ, σ2), 则标准化随机变量
几种重要分布的数学期望与方差
(1) 0-1分布
设随机变量X～B(1, p), 则
E(X)=p, D(X)=pq.
这里q=1-p.
证
由于X的分布率为
故知X2的分布率也是
4.2.5′ 理论应用
X 0 1
P q p
X2 0 1
P q p
E(X)=0·q+1·p=p,
E(X 2)=0·q+1·p=p.
从而
D(X)=E(X 2)-[E(X)]2= p-p2=p(1-p)=pq.
于是
二项分布可看成n个独立的0-1分布
之和, 即设Xi～B(1, p)(i=1,2,…, n)且相互独立, 得到
(2) 二项分布
设随机变量X～B(n, p), 则
E(X)=np, D(X)=npq.
证
因此，
(3) 泊松分布
设随机变量X～P(λ), 则
E(X)=D(X)=λ.
证
又由于
从而
D(X)=E(X 2)-[E(X)]2
=λ2 +λ-λ2 =λ.
(4) 均匀分布
设随机变量X～U(a,b), 则
E(X)= D(X)= .
证
由于X的概率密度 , 得
又
从而
(5) 指数分布
证 X的概率密度为
设随机变量X～E(λ), 则
E(X) = , D(X)=
有
由于
我们得到
讲评
(1) 由期望和方差关系可知，只需
确定一个参数λ即可完全确定指数分布.
(2) 指数分布的一个重要性质是“无记忆
性”, 即当元件运行了时间t后如果仍正常, 则
从t时刻开始其寿命同新的一样. 用式子表示
就是
P{X>t+τ|X>t}=P{X>τ}.
(3) 概率密度为
的数学期望E(X) = , D(X)=
一般地, 对任何正整数n, 有
Γ(n+1)=n! .
(4) 关于Γ函数, 有如下性质:
(i)
(ii) 递推公式Γ(s+1)=sΓ(s) (s>0) .
(iiii)
Γ(1)= Γ(2)= 1.
(iii)
(5) 正态分布
设随机变量X～N (μ,σ2), 则
E(X)= μ, D(X)=σ2.
证 由正态分布的定义知,
又
例4.2.5 设随机变量X,Y,Z相互独立, 且
已知X～N(2, 4), Y～E(2), Z～U(-1, 2).
(1) 设W=2X + 3XYZ–Z +5, 求E(W);
(2) 设U=3X-2Y+Z-4, 求D(U).
可见, 正态分布的参数μ与σ2恰是其随
机变量的数学期望与方差.
由于D(X)=4, D(Y)= , D(Z)= ,
且X, Y,Z 相互独立, 从而
=2×2+3×2× +5 = 10.
E(X)= 2, E(Y)= , E(Z)= ,
且X, Y, Z相互独立, 故得
E(W)= 2E(X) + 3E(X)E(Y)E(Z)-E(Z) + 5
(2)
D(U)=9D(X)+4D(Y)+D(Z) =9×4+4×
解
由本节讨论知
(1)
讲评
(1) 在随机变量独立的条件下,乘
积的数学期望等于数学期望乘积;和差的方差
等于方差之和.
(2) 易犯错误D(3X-2Y)=3D(X)-2D(Y).
4.2.6 内容小结
方差D(X)=E{[X-E(X)]2}描述随机
变量X与它的数学期望E(X)的偏离程度,
我们常用公式
D(X)=E(X2)-[E(X)]2
计算方差, 注意E(X2)和 [E(X)]2的区别. 计算协
方差常用公式
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).

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