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第一章 随机事件与概率
1.3 古典概率与几何概率
内容简介: 通过分析古代较早时候的博弈对决思想,提出了古典概型数学模型,证明了等可能概型的概率计算公式. 重点解决了随机抽样概型、随机取数概型、分房概型等常见的概率计算问题，对有放回抽样和无放回抽样给出了对比分析. 本节的理论和解题方法对于学习概率论知识具有重要的指导意义.
第一章 随机事件与概率
1.3 古典概率与几何概率
1.3.1 提出问题
1.随机事件出现的机会均等，如何
计算它们的发生可能性——概率——的大小？
2.产品抽样、抓阄是否有先后顺序、分配任务等现实问题的概率怎样分析？
1.3.2 预备知识
1.排列组合计算公式，乘法原理，加法原理.
2.样本空间，样本点计数，基本事件计数.
在古代较早的时候,人们利用研究
对象的物理或几何性质所具有的对称性确定了计算概率的一种方法.
例如, 在例 1.2.1 抛掷硬币试验中, 令ω1表示“出现正面”, ω2表示“出现反面”, 则样本空间Ω={ω1,ω2}中有两个样本点, ω1和ω2发生的可能性是相等的,因而可以规定P({ω1})= P({ω2})=0.5, 即“出现正面”和“出现反面”的概率各占一半.
1.3.3 问题分析
定义1
(2) 每个基本事件 的发生是等可能的.
,
如果随机试验E满足下述条件：
(1) 试验结果的个数是有限的.
则称这个试验为等可能概型. 它在概率论发展初期是主要的研究对象, 所以也称为古典概型.
在古典概型中, 任一随机事件A包含的基本事件数k与样本空间Ω中包含基本事件总数n的比值, 等于随机事件A的概率P(A), 即
(3.1)式就是事件A的古典概率公式.
定理
1.3.4 建立理论
证 不妨设事件A所包含的k个基本事件为{ω1}，{ω2} ，…，{ωk}，由等可能性
知, P({ω1})= P({ω2}) = … =P({ωk})=1 / n，又由于基本事件{ω1}， {ω2}，…， {ωk}两两互不相容,由有限加法公式得到:
.
讲评 对于古典概型应注意以下几点：
(1) 古典概型是学习概率统计的基础, 因此它是非常重要的概率模型.
.
(2) 判断是否古典概型的关键是
等可能性, 而有限性较容易看出；就是事件A包含的基本事件个数不要重复计算或者漏掉；事件间的关系及运算亦要熟悉。
.
(3) 计算古典概型概率时,首先要
判断有限性和等可能性是否满足；其次要弄清楚样本空间是怎样构成的. 对于复杂问题只要求基本事件的总数n, 同时求出所讨论事件A包含的基本事件数k, 再利用公式(3.1)计算出P(A).
例1.3.1 有100件产品, 其中有10件是
次品, 其余为合格品. 任取5件. 计算:
(1) 5件都是合格品的概率；
(2) 至少有一件是次品的概率.
解 设A表示事件{5件产品都是合格品}, 则 表示{5件产品中至少有一件是次品}.
1.3.5 方法应用
可以分为两种情形：
(1) 第一次取出产品后考察“是否合格”, 然后放回, 搅拌后再抽取第二件产品, 继续考察“是否合格”, 依此进行下去，这种抽取方式称为放回抽样.放回抽样通常采取“一次性抽取”5件产品的方式；
(2) 第一次取出产品后考察“是否合格”, 不作放回处理, 接着再抽取第二件产品, 继续考察“是否合格”, 依此进行下去，这种抽取方式称为不放回抽样.
(1) 放回抽样的情况：
从100件产品中一件一件地任取 5件的所有可能取法有1005种, 即基 本事件总数n=1005.
取5个都是合格品的所有可能取法有905种, 即A包含的基本事件数为k=905,
所以
P(A) =
若认为从100件产品中一次性地任取5件，则所有可能取法有 种, 即基本事件总数 n= .
5件都是合格品的所有可能取法有 种, 即A包含的基本事件数为k= ,
P(A) =
所以
由对立事件概率公式(1.3.8)得到，事件{至少有一件是次品}的概率为
P( )=1－P(A)=1－
(2) 不放回抽样的情况：
在100件产品中顺次取出5件产品的
所有可能取法有 种, 故基本事件总数n= .
同理,A包含的基本事件数 k=
.
所以,抽取到5件合格品的概率为
P(A)=
事件{至少有一件是次品}的概率
=1－P(A)=1－
可见，放回抽样与不放回抽样的事件概率不相同.
讲评 分析例1.3.1：
① 我们应该理解抽样的两种方式——“放回抽样”和“不放回抽样”；
② 理解“第一件合格品, 第二件又是合格品”和“抽到两件合格品”的“有序”和“无序”的排列与组合问题；
③ 样本空间Ω和事件A的“有序”取法与“无序”取法必须保持一致.
例1.3.2 一袋中装有N个小球, 其中m个
是红球, 剩下的为白球. 从袋中任取出
n(n≤N)个小球, 问其中恰有k(k≤m)个红球的概率是多少？
分析袋中装有2种颜色球, 其中m个红球, 剩下N- m个为白球. 从袋中任取出n(n≤N)个
小球, 求恰有k(k≤m)个红球的概率, 没有顺序, 用组合知识.
设X表示“取得的n个球中红球的数量”, 则{恰有k个红球}的事件可表示为{X=k},因此所求概率 为
解 这个模型不要求摸球的顺序,
应用组合式计算. 所有可能的取法共有 种.
（3.2）
像这样X取值的概率情况称为超几何
分布. 上式常称为超几何分布的概率公式. 显然, X可能的取值为0, 1,…, m.
讲评 例1.4.1和例1.4.2通常称为古典概型中的摸球问题.特点是:样本空间由两部分或两部分以上的成份组成,考虑基本事件发生的先后顺序，用乘法原理.
由以上举出的例题可知, 古典概型大体可以概 括为三大类问题：
(1) 摸球问题(产品的随机抽样问题)；
(2) 分房问题;
(3) 随机取数问题.
1.4.4 建立理论2——几何概率
在概率论的发展初期, 人们就认识到,
仅假定样本空间为有限集是不够的, 有时需要处理有无穷多个样本点的情形. 我们先看下面一个例子
引例 用计算机在[0, 2]区间上任意打出一个随机数X, 求X小于1.2的概率.
我们认为“随机数x在区间[0,2]上任何
一处出现的机会均等”, 其概率应只与
区间[0,1.2]的长度有关, 概率应该为区间[0,1.2]长度与区间[0,2]长度之比，即概率应该等于 .
描述这些随机试验的样本空间Ω ,
都是欧氏空间的一个区间或者区域,
其样本点具有“等可能分布”的性质. 设区域A Ω ,如果样本点落入A中, 我们就说事件A发生了. 这样可作以下定义.
定义2 设Ω为欧氏空间的一个
区域, 以m(Ω)表示Ω的度量(一维为
长度, 二维为面积, 三维为体积等).
A Ω是Ω中一个可以度量的子集,
定义
P(A)=
（3.3）
为事件A发生的概率, 称其为几何概率. 有些书也称为几何型概率.
例1.3.3 某货运码头仅能容一船卸货, 而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小 时和2小时. 设甲、乙两船在24小时内随时可能到达, 求它们中任何一船都不需要等待码头空出的概率.
解 设x,y分别为甲、乙两船的到达时刻(单位:小时). 则(x,y)为一个样本点, 从而样本空间
Ω={(x,y)|0≤x≤24,0≤y≤24}.
又设A为所求事件, 则由题意易知
A={(x,y)∈Ω | x-y＞2或y-x＞1}.
1.3.5 几何概率
如图中阴影部分所示.
于是所求概率为
例1.3.4 从区间[0, 1]中任取三个随机数,
求三数之和不大于1的概率.
解 设x,y,z分别表示此三个数, 则易知样本空间
Ω ={(x,y,z)|0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1}.
这是三维空间中一个棱长为1的正方体. 设A表示{三数之和不大于1}, 则有
A={(x,y,z)∈ Ω | x+y+z≤1, x≥0, y≥0, z≥0}.
讲评 例3.3是二维空间, 度量用面积计算; 例3.4是三维空间, 度量用体积计算.
A中样本点组成如图中锥体O-BCD
于是有
1.3.6 内容小结与思考
本次课学习了概率的定义及其性质,
重点研究了古典概型及其概率计算问题. 为了利用古典概型的定义来计算概率. 首先应确定试验的基本事件的总数n, 再确定随机事件A所包含的基本事件数k, 则后者与前者之比, 即为所求的概率 P(A)= .
在基本理论方面, 对概率加法公式、概率减法公式和对立事件概率公式要学会综合应用.
在基本方法方面, 分析事件A的对立事件
用 计算A发生的概率,
在处理有关“至少”或“至多”问题时常常用到.
在古典概型的概率计算中, 对摸球问题, 也叫随机取样问题必须熟练掌握, 特别是超几何分布公式更是常用.

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