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第四章 随机变量的数字特征
习题课（上）
习题课分为上、下两部分. 在
上部分中, 我们归纳第四章的概念、理论与方法等内容, 并对关键而又容易出错的地方作出讲评. 在“例题分类解析”部分, 讲解: 1. 直接按定义计算随机变量的数学期望; 2. 利用数学期望的性质及常见分布的期望进行计算. 3. 直接按定义计算随机变量的方差; 4.利用方差的性质及常见分布的数字特征进行计算;
习题课（上）内容简介：
5. 对较复杂的随机变量进行分解, 化为
简单随机变量之和进行计算.
在下部分中, 在“例题分类解析”部分, 讲解: 6. 一维随机变量函数的数字特征; 7. 二维随机变量及其函数的数字特征; 8. 相关性与独立性问题; 9. 有关数字特征的证明问题. 介绍学习与研究方法.
所谓随机变量的数字特征是指联系
于分布函数的某些数, 它们反映随机变量的某方面的特征. 找到这些特征, 往往分布函数(或概率分布, 概率密度函数)随之就确定了. 不过在许多实际问题中, 我们并不需要完全知道分布函数, 只需要知道随机变量的某些数字特征就够了. 随机变量的数字特征在理论和实际中均具有重要作用.
内容简介
在本章中, 首先, 给出了数学期望的
定义, 介绍了关于随机变量函数的数学
期望的定理, 然后讨论了数学期望的性质. 其次, 给出了方差的定义, 讨论了方差的性质. 最后, 定义了相关系数、协方差和矩.
本章重点:
1. 数学期望的概念和性质;
2. 方差的概念和性质;
3. 相关系数的概念和计算.
本章难点:
1. 随机变量函数的数学期望的计算;
2. 方差的计算;
3. 随机变量的相关性和独立性的关系.
4.1 主要内容归纳
1. 一维随机变量的数学期望
表4-1 一维随机变量的数学期望
若X的概率密度为 则
(2) 若随机变量函数为
则
连续型随机变 量
若X的分布律为
则
(2) 若随机变量函数为
则
离散型随机变 量
(1) (为常数);
(2)
(3)
(4)
(5) 若X与Y相互独立, 则
数
学
期
望
性
质
讲评
要注意掌握上面随机变量函数
的数学期望的计算公式
作用在于: 当我们求函数期望
这个公式的
时,不必求函数
的分布律或概率密度. 此外,
要特别注意
性质(5)的独立性前提条件.
2. 一维随机变量的方差
表4-2 一维随机变量的方差
连续型
离散型
若X的概率密度为
则
若X的分布律为
则
(1)
(2) (C为常数);
(3)
(4)
(5) 若X与Y相互独立, 则 .
方差性 质
讲评
在实际计算方差时, 常利用公式
X与Y 相互独立仅是
的充分条件.
3. 二维随机变量的数学期望与方差
表4-3 二维随机变量的数学期望与方差
设 的联合分布律为
则
(2) 二维离散型随机变量 的函数
的数学期望等于
数
学
期
望
离
散
型
随
机
变
量
(1)设 的概率密度为 , 则
(2) 二维随机变量函数 的数学期望
等于
数学期望
连续型随机变量
方差
方差
讲评
4. 协方差和相关系数
表4-4 协方差和相关系数
的计算, 本质上就是二重积分的计算, 要特别注意积分限的确定和积分表达式的正确书写.
二维连续型随机变量数学期望和方差
(1) -1≤ ≤ 1;
(2) 若 X,Y 相互独立，则
(3) 以概率 1与X线性相关, 即存在常数 a,b,使
相
关
系
数
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
协方差
注意区别随机变量的独立性和不相关性.
讲评
5. 矩和协方差矩阵
X的k阶原点矩
X的k阶中心矩
连
续
型
X的k阶原点矩
X的k阶中心矩
离
散
型
矩
表4-5 矩和协方差矩阵
（X,Y）的协方差矩阵
其中
协方差矩阵
讲评
事实上, 随机变量X的数学期望E(X)就
是X的一阶原点矩, , 方差D(X)就是X的二阶
中心矩,而协方差
是随机变量X和
随机变量Y二阶混合中心矩.
6. 常用分布的数学期望和方差
表4-6 常用分布的数学期望和方差
泊松分布
二项分布
两点分布
方差
期望
分布律或概率密度
分布
均匀分布
正态分布
几何分布
指数分布
(1) 上述分布的数学期望和方差
是我们计算随机变量函数的数字特征的
基础, 一定要非常熟悉.
讲评
(2) 注意指数分布的概率密度也有形式
这种形式的数学期望和方差分别为θ, θ2. 审
题时要分清概率密度形式. 一般说, 随机变量
服从
参数θ为的指数分布, 其概率密度是指表4-6
中的形式.
7. 重要结论和常用公式
表4-7 重要结论和期望、方差计算时常用公式
(1)
特别地, 当X与Y独立时
(2)
(3) X与Y独立 但反过来不成立.
(4) 若 服从二维正态分布, 则X与Y独立 X与
Y不相关.
重
要
结
论
在计算离散型随机变量函数的数字
特征时, 往往会涉及数项级数的求和问题. 当然
讲评
(1)
(2)
(3)
-函数的性质:
其中
(5)
常
用
公
式
上面我们仅给出了常用的情形. 必要时通过考虑适当的幂级数并利用幂级数的
分析性质求得所需数项级数之和.
4.2 例题分类解析
1. 直接按定义计算随机变量的数学期望
例4.1 设随机变量X的概率密度为
, 求
因此只需按照数学期望的定义计算即可.
这里随机变量X的概率密度已知,
分析
解
由定义
讲评
注意被积函数的奇偶性, 这样可节省计算时间.
类似上面的积分在计算时一定
扩展
分结果应该非常熟悉. 因为由此易得
对类似
这样的积
这将有助于提高我们的计算速度和准确性.
例4.2 已知随机变量X的分布函数为
求
我们由此求得其概率密度, 进而得到数学期望.
分析
这里给出的是随机变量的分布函数
解
随机变量X的概率密度为
由此
讲评
解决此类问题, 切忌将表达式写成
要知道
只在
成立, 一定要避免
此类低级错误.
扩展
已知连续型随机变量的分布函数，
求数学期望的计算均可如此处理.
次数的数学期望 .
相互独立的, 其概率均为
例4.3 设从学校乘汽车到火车站的途中有3
个交通岗, 又设在各个交通岗遇到红灯的事是
.试求途中遇到红灯
分析
本题涉及离散型随机变量的数学期
望注意
解
令X表示途中遇到红灯的次数, 由题意
即X的分布律为
P
3
2
1
0
X
从而
讲评
以，必须先由试验写出分布律, 而后计算期望.
因没有直接给出随机变量的分布,所
扩展
本题可扩展成考虑“途中经过 n 个交
通岗, 遇到红灯的概率为 p.
2. 利用数学期望的性质及常见分布的
期望进行计算
例4.4 已知X服从参数为2的泊松分布, 即
则随机变量
的数学期望
____.
分析
本题涉及泊松分布的数学期望和
数学期望的运算性质.
解
由于
所以
因此
讲评
利用
和期望
的线性性质大大地简化了计算.
扩展
常用分布的期望和方差一定要
非常熟悉. 参见表4-6.
3. 直接按定义计算随机变量的方差
这里由于未给出分布律, 所以须先由试验写出分布律, 然后计算.
例4.5 对某目标进行射击, 直到击中为止.
若每次命中概率为p(0次数的期望和方差.
分析
解
以X表示射击的次数, 则X的分布律为
P
3
2
1
X
又
故有
讲评
熟悉表4-7中的常用公式可简化
我们的计算工作.求数项级数的和, 需要熟悉
数项级数的和.
形如
4. 利用方差的性质及常见分布的数字特征
进行计算
例4.6 设随机变量
相互独立, 其中
[0, 6]上服从均匀分布,
在
服从正态分布
服从参数为
的指数分布. 记
求
和
扩展 题型可以称为“成功模型”，也称为“
几何分布”模型.
分析
差和由它们所构成的线性函数的方差问题.
本题涉及几种常用分布的期望、方
由题设知
解
由期望的性质可得
由于
相互独立, 所以
讲评
本题考查了均匀分布、正态分布、
指数分布的方差及方差的性质.
扩展
的方差计算是较繁杂的. 切记X和Y独立仅是
成立的充分条件.
若缺少独立性条件, 随机变量函数
例4.7 设随机变量X与Y独立, 且
试求
的概率密度.
分析
组合的计算. 涉及用数字特征表示随机变量函数的概率密度问题.
涉及独立正态随机变量函数的线性
因此
解
由题设知,
上述解法基于正态随机变量的自身良好性质, 并不具有一般性.
“相互独立的正态分布的随机变量的线性组合仍为正态分布”是一个重要结论. 有鉴于此, 为求得Z的概率密度, 只需确定 Z的期望和方差.
故有
讲评
扩展
例4.8 设二维随机变量(X,Y)在区域
内服从均匀分布, 求关于X的
边缘概率密度及随机变量
的方差
分析
本题涉及边缘概率密度的计算和函
数方差的计算.
易知D的面积为1.
解
因此(X,Y)的概率密度为
由关于X的边缘概率密度
讨论如下:
(1) 当 x≤0或 x≥1时,
(2) 当0 所以
由此可得
此外
二维连续型随机变量的数字特征
在计算时往往都要涉及到与本题类似的二重
积分. 这是一个比较严密的计算过程, 需仔细
处理. 参考图对积分限的确定很有帮助.
于是有
最后, 由方差的性质可得
讲评
扩展
5. 对较复杂的随机变量进行分解, 化为
简单随机变量之和进行计算
例4.9 设某人先写了n封投向不同地址的
信, 再写n个标有这n个地址的信封, 然后在
每个信封内随意装入一封信. 试求信与地址
配对的个数的数学期望.
本题可扩展到考虑随机变量Y的
的数字特征, 比如计算
函数
首先定义
如下：
则
这是一个“配对”问题. 若采用
先求分布再按定义计算期望的方法将
十分麻烦. 下面我们将这个比较复杂的随机变量分解为简单随机变量之和.
分析
解
进而
再设X表示配对的个数, 则
故有
本例所使用的技巧是解决复杂随机变量数学期望的常用方法. 需仔细领会! 要求读者熟练掌握设计Xi和X技巧 .
本题借助分解技巧将一个
复杂的随机变量分解成有限个简单随机
变量之和. 它们服从相同的两点分布, 而数学期望具有线性性质, 这样一个看似复杂的问题解起来异常轻快.
讲评
扩展
例4.10 若有n把看上去样子相同的钥匙, 其中只有一把能打开门上的锁, 用它们去
试开门上的锁. 设取到每把钥匙是等可能的. 若每把钥匙试开一次后除去, 试用下面两种方法求试开次数X的数学期望. (1) 写出X的分布律; (2) 不写出X的分布律.
分析
就意味着前
次所取的
钥匙均未能打开门, 而第k次所取的钥匙能将门打开. 据此我们可以写出X的分布律.
若不写出X的分布律来求X的
数学期望,可考虑仿照上例分解这
个复杂的随机变量.
解
(1) 以
表示事件“第k次
试开成功”.
表示前k -1次所取的钥匙
均未能打开门,第k次所取的钥匙能将门打开.
即有
即X的分布律为
故
(2) 引入随机变量
如下:
则
沿用(1)中的记号,
则有
故有
讲评
本题是借助技巧将一个复杂的
随机变量分解成有限个0-1分布随机变量的
又一个例子.
扩展
对, 鞋子配对, 生日配对,电子配对等等.
本例题型可以扩展有: 信封配

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