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第四章 随机变量的数字特征
习题课（下）
习题课分为上、下两部分. 在
上部分中, 我们归纳了第四章的概念、理论与方法等内容, 并对关键而又容易出错的地方作了讲评. 在“例题分类解析”部分, 讲解了: 1. 直接按定义计算随机变量的数学期望; 2. 利用数学期望的性质及常见分布的期望进行计算. 3. 直接按定义计算随机变量的方差; 4.利用方差的性质及常见分布的数字特征进行计算.
习题课（下）内容简介：
在下部分中, 在“例题分类解析”部分，
讲解: 6. 一维随机变量函数的数字特征; 7.二维随机变量及其函数的数字特征; 8. 相关性与独立性问题; 9. 有关数字特征的证明问题. 介绍了学习与研究方法.
6. 一维随机变量函数的数字特征
分析
例4.11 设X表示10次独立重复射击命中目
标的次数, 每次射中目标的概率为0.4 , 则
的数学期望
____.
解
, 得到
所以
本题涉及二项分布及函数的数字
特征.
扩展
本题可扩展到求X(X+1)的数学期望
, 或考虑更为一般的形式
讲评
的灵活应用. 在解题中, 我们经常需要先计算
本题考查方差公式
进而算得方差D(X) .但有时, 如本例也
可倒过来, 借助常用分布的期望和方差来计
算某些随机变量函数的数字特征.
例 4.12 设随机变量X服从参数为1的指数
分布, 求
分析
本题涉及一维随机变量函数的数
学期望的计算.
解
由题设可知X的概率密度
于是
因此,
讲评
本题主要考查随机变量函数的期望
公式
再次强调指出, 书写时不要出现类似
这样的低级错误.
扩展
的
随机变量X的函数
数学期望为
使我们可以直接
计算Y的期望, 而不必求其分布.
7. 二维随机变量及其函数的数字特征
的分布律为
例4.13 设
和
是相互独立且服从同一分
布的两个随机变量, 已知
又设
(1) 写出二维随机变量 (X,Y)的分布律;
(2) 求
分析
本题涉及二维离散随机变量的函数
的分布律和期望 .
解
(1) 下面实际计算一下
注意到
因此
类似地计算, 可得
的分布律如下表
3
3
2
1
2
1
Y
X
0
0
0
所以
讲评
和
是两个
重要的随机变量函数. 对于离散型而言, 由独立
通过穷举法即可得到其分布律, 进而可得边缘
分布律及所需数字特征.
(2) 由
的分布律可得关于X的
3
2
1
X
边缘分布律
扩展
本题可扩展成求
等.
和
例4.14 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求
分析
由于概率密度中含有待定参数,
所以应首先根据
求得A.
解
由
得
因此,
于是有
利用对称性,有
由于
所以, 协方差
在二维随机变量的数字特征计算
中,一定要注意二重积分的“有效积分区域”.
同时, 熟悉一些基本的积分结果将有助于提
高我们计算连续型随机变量数学期望的速度
和准确性. 如本题中的
扩展
讲评
本题比较全面地考查了二维随机
变量的数字特征.
例4.15 设X和Y是相互独立且服从正态
分布
的两个随机变量, 则
_____.
分析
注意到相互独立的正态随机变量的
线性函数仍服从正态分布, 得 X,Y的分布是确
解
记U=X-Y, 则
由此可知
讲评
类似本题这样的问题利用正态
随机变量的良好性质可以简化计算.
于是
扩展
本题可扩展成考虑更为一般的
期望问题,形如
以及
8. 相关性和独立性问题
例4.16 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态
分布, 则随机变量
与
不相关的
充分必要条( ).
(A)
(B)
(C)
(D)
分析
本题涉及协方差的计算, 因为
不相关等价于协方差为零.
解
而
等价于
与
不相关,
所以选(B).
讲评
相关系数(相关性)是二维随机
变量的一个重要数字特征.
扩展
本题可扩展为进一步考虑
与
的独立性.
(A) 不相关的充分条件, 但不是必要条件.
(B) 独立的充分条件, 但不是必要条件.
例4.17 设随机变量X和Y的方差存在且不
是X与Y ( ).
等于0, 则
(C) 不相关的充分必要条件.
(D) 独立的充分必要条件.
分析
两个随机变量不相关的充要条件是
它们的相关系数为零, 而后者只是两个随机变
量立的必要条件.
解
因为
故选项(C)正确.
所以X 和Y 不相关的充分必要条件是
即
讲评
注意随机变量X 和Y 的独立性仅是
的充分条件.
扩展
事实上,
分析
本题涉及知识点很多, 包括期望、
方差和相关系数及独立性等.
例4.18 已知随机变量
且X
与Y的相关系数
设
(1) 求
和
(2) 求X与Z的相关系数
(3) 问X与Z是否相互独立
为什么
解
(1) 由于
所以
而
因此
(2) 由于
所以
(3) 由
知X与Z不相关, 因Z不一定服
从正态分布,( X, Z ) 更不一定服从正态分布,
X与Z不一定相互独立.
讲评
性质, 如“相互独立的正态随机变量的线性
函数仍服从正态分布”, “二维正态随机变
量不相关和独立是等价的”等. 这些结果可
以简化问题的计算.
正态随机变量具有一些非常好的
扩展
.
9. 有关数字特征的证明问题
分析
事实上
就是一个以C为参
数的二次函数.
证
由于
本题可扩展为考虑随机变量X和
的独立性如何依赖X与Y的
相关系数
在
例4.19 设X是随机变量, C是常数, 证明
处取得最小值
函数
≥
取得最小值
等号仅当
时成立, 所以
在
处
讲评
意义, 即方差
是函数
本题从另一个侧面揭示了方差的
在
处取最小值.
扩展
本问题可扩展为考虑二元函数
的极值问题.
分析
本题涉及随机变量的方差的性质.
证
由于
所以
从而有
例4.20 证明: 对于任意两个随机变量X和Y,
则有
若
扩展
关系式
即X和Y不相关.
例4.21 对于任意二事件A,B,
讲评
与数学期望不同,随机变量的方差不
是线性的. 只有当随机变量 X和Y独立或
不相关时才有
称做事件A和B的相关系数.
(1) 证明事件A和B相互独立的充分
必要条件是其相关系数等于零;
(2) 利用随机变量相关系数的基本性质证明
≤1 .
分析
这里定义了随机事件的相关系数,
并讨论了它的某些性质.
证
(1) 由
的定义可知
即二事件A和B独立. 因此
是A和B
独立的充分必要条件.
(2) 考虑随机变量
由条件知,X,Y都服从0-1分布
本题考查了0-1分布的数字特征
的计算. 考查学生的应变能力. 随机事件的
指示函数的作用.
于是
.
这样, 可知随机事件A和B的相关系数就
等于随机变量X和Y的相关系数. 因此
≤1.
讲评
.
借助于形如
这样一个示性函数将随机事件的讨论巧妙
地转化为关于随机变量的讨论. 这种方法值
得重视. 可以扩充到两个随机事件的指示函数
讨论问题.
扩展
例4.22 设A,B是二随机事件, 随机变量
试证明随机变量X和Y不相关的充要条件是随
机事件A和B相互独立.
分析
本问题涉及随机变量的相关性和
随机事件的独性.
证
记
由数
学期望的定义有
注意到 XY的可能取值为-1,1,又
因此
从而
由此可见
即
故X和Y不相关的
充要条件是A和B相关独立.
讲评
扩展
关系是一个非常重要的问题, 在以往研究生
考试中曾多次涉及, 参见第三节历年考研真
题详解.
随机变量的独立性和不相关性的
概念和随机事件独立的概念. 切记, 相互独立
的随机变量一定是不相关的, 但反之不然.
本题考查了随机变量的不相关的
10. 应用题
例4.23 假设一部机器在一天内发生
故障的概率为0.2, 机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日里机器无故障企业可获利10万元; 机器发生一次故障企业仍可获利润5万元; 机器发生二次故障企业所获利润0元; 机器发生三次或者三次以上故障企业就亏损2万元, 求一周内企业期望利润是多少
分析
本题涉及离散型随机变量函数的
数学期望. 易知一周内发生故障的次数
服从二项分布, 而所获利润是它的函数.
解
以X表示一周5天内机器发生故障天
数, 则X服从参数为5, 0.2的二项分布
于是
≥
以Y表示所获利润, 则
因此
=5.216(万元).
讲评
扩展
正确建立函数关系的能力. 题型是: X服从已
知分布, Y是X的分段函数关系, 计算E(Y).
本题主要考查在实际应用问题中
本问题很具有代表性, 其方法可扩
展到X是其它离散型随机变量.
例4.24 假设由自动生产线加工的某种零件
的内径X (单位: mm)服从正态分布
内径小于10或大于12为不合格品,其
余为合格品.销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润T (单位:元)与销售零
件的内径X有如下关系:
问平均内径
取何值时, 销售一个零件
的平均利润
最大 并求出平均利润的最大值.
分析
本题是一道综合题，既涉及到随机
变量的数学期望的计算, 又要用到
导数求最值.
解
由于
所以
≤
≤
销售一个零件的平均利润为
因为
得
令
解得
容易验证
是
的最大值点,即当
mm时, 销售一个零件的平均利润最大,
最大值为
讲评
本题考查的是离散型随机变量的
数学期望的计算. 由于数学期望的计算结果
是 的函数, 因此需要利用导数来确定极
值和最值.
扩展
本问题可以扩展到X服从其它的连
续型分布, 如指数分布等.
12.74(元).
4.3 学习与研究方法
分析事物之间的关联程度——相关系数.
相关系数
表述了随机变量X与Y的线性相关程度. 在
2003年研究生入学考试题目中，
称为事件A和B的相关系数. 事件A和B独立的
充要条件是

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