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第一章 随机事件与概率
1.6 事件的独立性
第一章 随机事件与概率
1.6 事件的独立性
内容简介: 事件B发生的概率受事件A发生的影响, 这是条件概率问题. 如果事件B发生的概率不受事件A发生的影响, 那么会出现什么样的结果呢？这就是事件独立性问题. 我们学习如何判定事件具有独立性，并计算其概率.
1.6.1 提出问题
“近朱者赤近墨者黑”说明什么呢？同班同学的学习风气是否有影响呢？射手比赛为什么要戴耳机？如果事件B发生的概率不受事件A发生的影响, 这就是事件独立性问题.
1.6.2 预备知识
概率的性质，逆事件概率计算公式，古典概型，超几何分布.
1.6.3 问题提出
为此, 先看下例：
引例 设某盒中有5件产品,其中3件合格品,2件次品.现每次任取一件,不放回地取两次. 求：
(1) A={第一次取到合格品}的概率；
(2) B={第一次取到合格品的条件下第二次又取到合格品}的概率；
(3) C={第二次取到合格品}的概率.
可知，
由全概率公式得
可见， P(C|A)≠P(C).
上述问题是不放回抽样. 如果抽取方式改变成“从中任取两次, 每次抽取一件”这样的放回抽样，
则
可见
讲评
这说明事件A的发生不影响事件C的发生的概率.从直观上讲, 这是很自然的,因为是放回抽样, 第一次抽到的产品实际上不影响第二次抽到的产品. 在这种场合, 可以说事件A与事件C的发生具有某种“独立性”.
在上一节中,我们知道了条件概率这个
概念,即在已知事件A发生的条件下,
事件B发生的概率为
并且由此得到了概率乘法公式
P(AB)=P(A)P(B|A).
现在让我们提出一个问题：如果事件B 发生与否不受事件A是否发生的影响, 那么会出现什么样的结果呢？为此, 需要把“事件B发生与否不受事件A是否发生的影响”这句话表达成数学的语言. 事实上, 事件B发生与否不受事件A的影响, 也就意味着有 P(B|A)=P(B).
这时概率乘法公式就有了更自然的形式：
P(AB)=P(A)P(B).
定理2 如果事件A与B相互独立, 则下列各对事件A与 , 与B, 与 都是相互独立的.
定义1 设A,B是两个事件, 如果满足等式
P(AB)=P(A)P(B),
则称事件A与B是相互独立的, 简称A,B独立.
定理的正确性由两个定义得到.
定理1 设A,B是两事件, 且P(A)>0. 若A,B相互独立, 则 P(B|A)=P(B). 反之亦然.
1. 随机事件独立性
1.6.4 建立理论
定理2还可叙述为：若四对事件A与B, A与 ,
与B, 与 中有一对独立, 则另外三对也独立,即，这四对事件或者都独立, 或者都不独立.
证 由于
P( )= P(A-B)= P(A-AB)=P(A)-P(AB)
=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P( ),
因此, A与 相互独立.
关于 与B和 与 的独立性同理可证.
讲评 关于独立性还要注意两点：
(1) 不要把两个事件的独立性与互不 相容混为一谈, 独立与互斥事件之间没有必然的互推关系. 见2003年考研数(四)考题. 但有结论: 若A与B互斥, 且P(A)>0, P(B)>0, 则A与B不独立. 用定义即证.
(2) 在实际应用中, 对于事件的独立性,我们常常不是根据定义来判断,而是根据一事件的发生是否影响另一事件的发生来判断.
例1.6.1 甲、乙两射手在同样条件下
进行射击,他们击中目标的概率分别是
0.9和0.8. 如果两个射手同时发射, 问击中目标的概率是多少？
又 C =A∪B, 且A, B相互独立, 故
P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98.
解 设 A={甲击中目标}, B={乙击中目标}, C={击中目标}. 于是 P(A)=0.9,P(B)=0.8.
定义2 设A1,A2,…,An是n(n≥2)个事件, 如果对于任意的两个不同事件Ai, Aj(i≠j)有
P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),
则称这n个事件是两两独立的.
事件的独立性概念, 可以推广到三个
和三个以上的事件的情形.
定义3 设A1,A2,…,An是n(n≥2)个事件, 如果对于任意的k(k≤n)个事件 都有
则称这n个事件相互独立.
定理3
(1) 若事件A1,A2,…,An(n≥2)相互独立,
则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的.
(2) 若n个事件A1,A2,…,An(n≥2)相互独立, 则将A1,A2,…,An中任意多个事件换成它们的对立事件, 所得的n个事件仍相互独立.
证
(1) 由独立性定义可直接推出.
(2) 对于n = 2时, 在定理2已作了证明, 一般的情况用数学归纳法容易证得, 此处略.
对于三个事件A1,A2,A3两两独立, 仅要求
下面三个等式同时成立：
P(A1A2)=P(A1)P(A2); P(A1A3)=P(A1)P(A3);
P(A2A3)=P(A2)P(A3).
若A1,A2,A3相互独立, 除了上面三个等式外还要满足 P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3) 成立.
2. 试验独立性与伯努利试验
定义4 设 表示第i次随机
试验出现的随机事件，即Ci=Ai或 i，若
则说n次试验是相互独立的，简称试验独立.
如果n重独立重复试验中，每次试验的可能结果为两个：A或 ，则称这种试验为n重伯努利试验.
例1.6.2 假设每次试验成功的概率为p(0(1) 计算n次独立重复试验至少有一次成功的概率 ；
(2) 要求“独立重复试验直到至少有一次成功为止”的把握不低于概率qn，计算所需试验的次数n.
解
记Ai={第i次试验成功}(i=1,2,…,n), A={n次试验至少有一次成功}.
于是P(Ai)=p, P( )==1- p , 且 A1, A2,…, An相互独立.
(1) 由于 由定理3的结论(2)知 也是相互
独立的, 所以
(2) 设所需试验的次数为. 注意到 A= A1∪A2∪…∪An, 于是问题要求n满足
αn=P(A)=P(A1∪A2∪…∪An)≥qn.
由问题(1)知P(A)=1-(1- p)n, 即要求1-(1- p)n ≥qn，也就是(1- p)n ≤1- qn. 解之, 得
由此可见，当 时，αn→1. 这说明，只要一个事件A的概率不是0，甚至非常小，当试验次数无限增大时，它(以概率1)迟早会出现.
如果考虑每次试验成功的概率
p =0.15，“至少成功一次”的把握不低于95%，则
即至少需要进行19次试验.
讲评 1. 小概率事件怎样认识才可以符合客观实际呢？ 2. “设计试验”要考虑哪些因素呢？
1.6.6 小结与思考
我们讲了两个概念：事件的两两独立
和相互独立. 对于这些概念, 要正确理解独立性的含义. 独立性理论在概率论中占有重要的地位，实际问题往往需要应用独立性理论来分析和解决。
1. 两两独立一定相互独立吗？反之如何？
2. 独立一定互斥吗？反之如何？

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