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第一章 随机事件及其概率
习题课(上)
习题课分为上、下两部分. 在上部分
中, 我们归纳了第一章的概念、理论与方法等内容，并对关键而又容易出错的地方作了讲评. 在“例题分类解析”部分，讲解了：1. 按随机事件的运算关系求解；2. 古典概型的概率计算问题.
在下部分中, 在“例题分类解析”部分，讲解了：3. 条件概率与概率乘法公式的应用；4. 全概率公式与贝叶斯公式；5. 随机事件的独立性问题；6. 证明题. 三、学习与研究方法.
习题课（上）内容简介：
从客观存在的两类现象——确定性现象和随机现象——出发, 考察随机试验及其随机试验的三个特点. 将随机试验出现的每一个可能结果定义为样本点, 所有的样本点组成样本空间, 样本空间的子集定义为随机事件, 从而将集合论的基本理论引入概率论中.
内容简介:
对于随机事件, 首先, 研究了事件
之间的各种关系, 提出了和事件、积事件、
差事件、对立事件、互不相容事件、完备事件组等概念. 其次, 定义了在每一次试验中事件发生的可能性大小的数量指标——概率. 第三, 分析了两个事件发生的先后影响关系——条件概率问题. 第四, 分析了两个事件或多个事件的横向影响关系, 建立了事件的独立性理论.
本章重点:
1. 随机事件的概念及其有关运算;
2. 概率的定义及其计算;
3. 乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式及应用;
4. 条件概率的问题及有关运算;
5. 事件的独立性.
1. 用集合表示样本空间和事件;
2. 乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式及其应用;
本章难点：
3. 随机事件的独立性.
一、 主要内容归纳
1. 基本概念
表1-1 随机事件的概念
每次试验中一定不发生的事件, 记为 ．
不可能事件
每次试验中一定发生的事件, 记为Ω．
必然事件
样本空间中满足某些条件的子集称为随机事件, 通常用A, B, C, …表示.
随机事件
随机试验E的所有样本点组成的集合, 称为样本空间. 通常用Ω表示.
样本空间
随机试验E的每一个可能的结果, 称为
样本点. 通常用ω表示.
样 本 点
2. 随机事件运算及其性质
事件的包含 事件A的发生必然导致B的发生, 称事件B
包含事件A, 或A是B的子事件.记作A B或B A．　
事件相等 如果有A B且B A, 称事件A与事件B相等，记作A=B.
事件的和(并) 事件A与B中至少有一个事件发生, 称为事件A与事件B的和事件, 记作A∪B或A+B.
事件的积(交) 事件A与B同时发生, 称为事件A与事件B的积事件，记作A∩B或AB.　
事件的差 事件A发生而事件B不发生, 记作A-B.
互斥事件 事件A与事件B不能同时发生, 即A∩B= ,也称A与B为互不相容事件.
对立事件或逆事件 若A是一个事件, 令 =Ω-A, 称 是A的对立事件或事件A的逆事件.
表1-2 随机事件运算
(1) 在一次试验中, 基本事件都是两两互斥的.
讲评
(2) 对立事件一定是互斥事件, 但互斥事件不 一 定是对立事件.
交换律 A∪B=B∪A, AB=BA.
结合律 A∪B∪C=A∪(B∪C)=(A∪B)∪C, ABC=(AB)C=A(BC).
分配律 A(B∪C)=AB∪AC, 或A∩(B∪C )
=(A∩B)∪(A∩C),A∪BC=(A∪B)(A∪C), 或A∪(B∩C )=(A∪B)∩(A∪C).
对偶律
互反律
表1-3 随机事件的运算性质
(1) 对偶律通常叫做德·摩根律,
在处理关于和事件、积事件及对立事件的
关系时经常会使用到它.
讲评
(2) 经常利用文氏图分析事件的运算关系.
3. 概率的公理化定义
设E是随机试验, Ω是E的样本空间. 若对于E的每一随机事件A, 有确定的实数P(A)与之对应, 如果集合函数P(·)满足下列条件：
P(A1∪A2∪…∪An∪…)
=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…,
则实数P(A)称为事件A的概率.
(1) 非负性: 对于每一事件A, 有P(A)≥0；
(2) 规范性: 对必然事件Ω, P(Ω)=1；
(3) 可列可加性: 对于两两互不相容的可列无穷多个事件A1, A2, …,An, …,　有
P(A1∪A2∪…∪An) =P(A1)+P(A2)+…+P(An).
对于两两互不相容的n个
事件A, A2, …,An, 有
　 若A B, 则P(B－A)= P(B)－P(A);若A B, 则P(A)≤P(B).
概率的性质
性质1
性质2
性质3
设 是A的对立事件, 则P( )=1-P(A).
设A, B为任意的两个事件, 则
P(A∪B)= P(A)+P(B)－P(AB).
推广
性质4
　 P(A1
A2
A3)
=P(A1)+ P(A2)+P(A3)－P(A1A2)－P(A1A3)－
P(A2A3)+ P(A1A2A3).
P(A1 A2 A3…∪An)
+…+(-1) P(A1A2…An).
(2) 巧妙地运用对立事件的性质, 即性质3, 可收到事半功倍的效果. 一般地讲, 求事件“至多出现多少次”或 “至少出现多少次”的事件概率时, 用它的对立事件求解较为方便.
(3) 概率减法公式: 即性质2可推广为: 设A, B 为任意的两个事件, 则
(1) 性质1与性质4的区别: 仅当A, A2, …, An 是两两互斥事件组时才可用性质1.
讲评
设A, B为随机试验E的两个事件, 且
P(A)>0,则称P(B|A)= 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
5. 条件概率的问题
对于任意的事件A, B,
乘法公式
(1)若P(A)>0, 则P(AB)= P(A)P(B|A)；
(2)若P(B)>0, 则P(AB)= P(B)P(A|B).
设A1, A2, …, An是n(n≥2)个事件,
且 P(A1A2…An-1)＞0,　则有
P(A1A2…An-1An)
=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1).
推广
特别地, 当n=3时, 对于三个事件A, B, C, 若
P(AB)>0, 则有
P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
讲评
(2) 如何用概率乘法公式：问题是积事件关系，同时涉及条件概率问题.
(1) 注意P(AB)与P(B|A)的区别:
①凡涉及到A与B“同时发生”, 用P(AB); 有“包含关系”或“条件关系”的用P(B|A). ②从样本空间上讲,计算P(B|A)时的样本空间可以是ΩA, 而计算P(AB)的样本空间为Ω.
6. 全概率公式
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…
+ P(Bn)P(A|Bn)= .　　
特别地, 　
设试验E的样本空间为Ω, B1,B2,…,Bn为
Ω的一个划分, 且P(Bi)>0 (i =1,2,…,n), 则对E的任一事件A, 有
(1) 全概率公式是计算概率的一个
很重要的公式, 通常把B1, B2,…, Bn看成导致A发生的一组原因(或情形). 如若A是{次品}, 则必是n个车间生产了次品; 若A是{某人患某种疾病}, 则必是几种病因导致了A发生; 若A表示{飞机被击中}, 则必有几种方式或几个人击中飞机.
讲评
(3) 如何用全概率公式: 将“几种情形”构成完备事件组，或将第一次试验的样本空间分解成两两互斥的完备事件组.
(2) 何时用全概率公式: 所论结果的发生
是由几种情形导致的，或所论问题一般
出现先后两次试验.
7. 逆概率公式(贝叶斯公式)
设试验E的样本空间为Ω， A为E的事件,
B1, B2, …, Bn为样本空间Ω的一个划分, 且P(A)>0, P(Bi)>0 (i=1, 2, …, n), 则
P(Bi |A)=
=
（i=1,2,…,n).
特别地，
(1) 贝叶斯公式可以这样记忆: 分母为
全概率公式, 是n项之和；分子是分母中的某一项(2) 如何用贝叶斯公式：参见全概率公式.
讲评
8. 随机事件的独立性
设A, B是两个事件, 若满足等式
P(AB)=P(A)P(B),
则称事件A与B是相互独立的, 简称A, B独立.
则称这n个事件相互独立.
设A1, A2, …,An是n(n≥2)个事件, 如果对于任意的k(2≤k≤n)个事件, 都有
推广
设A1, A2, …,An是n(n≥2)个事件,如果对于任意的两个事件, 都有
则称这n个事件两两独立.
讲评
两两独立.
(2) A1, A2, …, An相互独立
A1, A2,…, An
A1, A2,…, An两两相互独立
A1, A2, …, An
相互独立.
,
与B
四对事件或者都独立, 或者都不独立.
(1) 若四对事件A与B, A与
与
中有一对独立, 则另外三对也独立, 即这
(3) 不要把两个事件的独立性与互不相容混为一谈. 独立与互斥之间没有必然的互推关系. 但有结论: 若A与B互斥, 且P(A)>0, P(B)>0, 则A与B不独立. 用定义即可得证.
特别地, 三个随机事件A1,A2,A3相互
独立与两两独立是不同的两个概念.
(4) 若n(n≥2)个事件A1,A2,…,An相互独立,则将 A1,A2,…,An中任意多个事件换成它们的对立事件, 所得的n个事件仍相互独立.
本题目涉及两个事件之积之逆的关系的定义与运算.
二、 例题分类解析
1. 按随机事件的运算关系求解
例1 (多选题) 设A,B是两个随机事件,则 表示事件( ).
(A) A, B都不发生. (B) A, B不同时发生.
(C) A, B中至多有一 (D) A, B中至少有一
个发生. 个不发生.
分析
解
因为AB表示事件A与B同时发生, 所
以它的对立事件 应表示“A与B不同时发生”,
而不是A与B都不发生, 因此去掉选项(A)，而选(B). 又因为 , 所以 表示“ 与 至少有一个发生”, 即“A,B中至少有一个不发生”, 因此有选项(D).而对于两个事件来说, “至少有一个不发生”,也就是“至多有一个发生”,应选(C).
综上分析, 答案应选(B), (C), (D).
考查事件的数学符号与描写文字表述
的对应关系.同一事件可以有不同的表述方式.
(1) 此题目可以进一步对三个或多个事件进行考查.(2)日常语言、文字表述与数学符号描写的正确对应关系是我们学好概率论的基础问题,是读者数学素质和数学能力的表现.因此,读者 应有意识地加强这方面的训练.参见例2.
讲评
扩展
例2 设A, B, C是三个事件, 用A, B, C的运算关系
表示下列事件:
(1) A, B都发生, 而C不发生;
(2) A, B, C中至少有一个发生;
(3) A, B, C中恰有一个发生;
(4) A, B, C中恰有两个发生;
(5) A, B, C中不多于一个发生;
(6) A, B, C中不多于两个发生;
(7) A, B, C都不发生;
(8) A, B, C至少有两个发生;
(9) A, B至少有一个发生, C 不发生.
本题目涉及到事件运算的定义.
要正确表示事件, 首先要准确理解所要
表示的事件的意义及事件运算的定义.
分析
解
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
对事件的文字表述与数学符号描写的对应关系的考查是考试的重点之一.
(6)
或
(7)
(8)
(9)
此题目可以进一步考查多个事件之间的运算关系.参见例1.
讲评
扩展
2. 古典概型的概率计算问题
例３ 若10个产品中有7个正品, 3个次品.
(1) 不放回地每次从中任取一个, 共取3次, 求取到3个次品的概率;
(2) 每次从中任取一个, 有放回地取3次, 求取到3个次品的概率;
(3) 每次从中任取一个, 不放回地取3次, 求取到2个正品1个次品的概率.
(1) 设A=“取到3个次品”, 由于此试验是不放回抽取3次, 所以3次取产品分别是从10个、9 个、8个中任取一个, 共有10×9×8种不同的取法, 而3次取到3个次品共有3×2×1种不同取法, 所以
本题目涉及到有放回抽取与无
放回抽取.关键是搞清楚两者的区别.
分析
解
P(A)=
次取到3个次品共有3×3×3= 27种不同取法.
于是
(2) 设A=“取到3个次品”,由于此试验
是有放回取3次, 所以3次取产品分别都是
从10个中任取一
种不同取法，而3
个, 共有
于是
(3) 设A=“取到2个正品,1个次品”,
将试验理解为从10个产品中一次任取3个产品,于是样本空间中样本点的个数为 事件A包含的样本点个数为
(1) 该题目意在加深对古典概型
中随机摸球模型的理解; (2) 在计算样本
空间所含的样本点个数及事件所含的样本点个数时常用到排列、组合、乘法原理和加法原理等重要知识; (3) 有顺序用排列知识，无顺序用组合知识.
(1) 在理论应用方面, 此题目可以确定为摸球问题或产品抽样问题等模型.
讲评
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(2) “任取k件”与“有放回地逐件抽取k件”, 所得概率是不同的.
例4 罐中有12颗围棋子, 其中8颗
白子, 4颗黑子.从中任取3颗. 求:
(1) 取到的都是白子的概率;
(2) 取到两颗白子, 一颗黑子的概率;
(3) 取到的三颗棋子中至少有一颗黑子的概率;
(4) 取到的三颗棋子颜色都相同的概率.
本题目的模型是摸球问题.
注意搞清楚“至少”或“至多”的内涵.
设A1=“取到的都是白子”, A2=“取到两颗白子, 一颗黑子”, A3=“取到的三颗棋子中至少有一棵是黑子”, A4= “取到的都是黑子”, B=“取到的三颗棋子颜色相同”. 依据题意，得到
分析
解
(1)
(2)
(3)
(4)
显然
,因为A1与A4互不相容,且
所以, 由概率加法公式得到
求解“至少”或“至多”的问题时,
通常用它的“对立事件”解答较为简便.
(1) 在基本理论方面, 对概率的一般加法公式、加法公式和对立事件的概率公式要学会合应用.
讲评
(2) 在基本方法方面, 在处理有关“至少”或“至多”问题时常用它的对立事件概率去解决.
扩展
(3) 在古典概型的概率计算中, 对摸球
问题(也叫随机取样问题)，必须熟练掌握,
特别是超几何分布公式更是常用.

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