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第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量的概念
内容简介:为了充分利用数学工具研究事件及其概率,引入了随机变量这一基本概念.任何事件A都可以通过随机变量X来描述, 因此,研究事件及其概率问题就转化为研究随机变量的概率分布问题.
第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量的概念
2.1.1 提出问题
1. 随机试验的结果有统计规律性，怎样来研究它的规律性呢？
2.1.2 预备知识
1.随机事件及其运算；
2.函数，分段函数.
2. 随机事件和随机变量之间怎样建立它们的关系？
2.1.3 分析问题
在实际问题中, 随机试验的结果可以
用数量来表示, 由此就产生了随机变量的概念.
(1) 有些试验结果本身与数值有关:
例2.1.1 在记录某电话传呼台一小时
内收到的呼叫次数中, 设X表示“一小
时内传呼台收到的呼叫次数”, 则X可能的取值为0,1,2,…. 随机事件{呼叫次数超过20次}, 就可以表示为
{X>20, X∈N+}.
相应概率可表示为
P{X>20，X∈N+}.
例2.1.2 记录炮弹的弹着点到靶心的
距离. 把这个距离用X表示. 则事件
{到靶心距离在0.5米到3米之间}可以表示为
{0.5≤X≤3}.
相应概率可表示为
P {0.5≤X ≤3}.
(2) 在有些试验中, 试验结果看来与
数值无关, 但我们可以引进一个变量来
表示它的各种结果. 也就是说, 把试验结果
数量化. 正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样, 二者建立了一种对应关系, 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.
例2.1.3掷一枚硬币, 设样本空间 Ω={正面,反面}.
定义
X =X(ω)=
于是事件{掷硬币出现正面}, 就表示为{X =1}.
因此,
P{X=1}=
定义 设随机试验的样本空间为
Ω={ω}. X=X(ω)是定义在样本空间Ω上的实值单值函数. 称X=X(ω)为随机变量.
2.1.4 提出概念
讲评 这种随机变量与在高等数学中
大家接触到的函数一样吗？
(2) X 随试验结果的不同而取不同的值 , 因而在试验之前只知道它可能取值的范围, 而不能预先肯定它将取哪个值. 普通函数的取值是确定的.
(1) X的定义域是样本空间, 自变量是样本点,而普通函数定义域为实数集.
随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母ξ,η等表示; 而表示随机变量所取的值时, 一般采用小写字母x , y , z等.有了随机变量, 随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.
(3) 由于试验结果的出现具有一定的
概率, 于是这种实值函数取每个值和
每个确定范围内的值也有一定的概率.
例2.1.4 设随机试验E的样本空 间为Ω. A是样本空间Ω的任一子集, 即是试验E的任一随机事件. 定义随 机变量
通常称上述随机变量X=X(ω)或IA为随机事件A的指示函数, 又称为随机事件A的示性函数.
或者
X(ω)=
IA=
记为
讲评 (1) 指示函数建立了随机事件A与随机变量IA之间的联系. 利用随机变量来研究随机事件时常用指示函数IA.
(2) 熟练掌握随机事件A及其指示函数 IA 之间的对应关系.
IA(ω)=X(ω)=
或者
IA=
随机变量概念的产生是概率论 发展史上的重大事件. 引入随机变 量后, 对随机现象统计规律的研究, 就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究, 因此可以广泛地利用高等数学、线性代数等数学工具.
随机变量通常研究两类:
(1) 离散型随机变量: 所有取值可以逐个一一列举出来, 如“取到次品的个数”, “收到的呼叫次数”等.
(2) 连续型随机变量: 例如, “电视机的寿命”、实际问题中常遇到的“测量误差”等.
思考题 随机变量怎样分类呢？
2.1.5 内容小结
本次课, 我们介绍了随机变量概念和指示函数的定义，由此，可以用高等数学的知识来研究随机事件；讲解了随机变量与普通函数的区别，简介了随机事件和随机变量的关系.

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