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第一章 随机事件与概率
1.4 频率与概率
第一章 随机事件与概率
1.4 频率与概率
内容简介: 通过借助于熟悉的频率及其性质,引出概率的统计定义,建立概率的公理化定义,在此概念基础上,研究概率的有限可加性、差事件和对立事件的概率计算公式、概率加法公式等重要理论。
1.4.1 提出问题
1.大量的重复试验后,事件发生的可能性有大有小,怎样来认识和刻画它？
2.频率，我们比较熟悉。它和概率有关系吗 可以给我们哪些启示呢？
1.4.2 预备知识
1. 频数, 频率, 掷币试验的频率.
我们观察一项随机试验所发生的各个事件,就其一次具体的试验而言,每一事件出现与否都带有很大的偶然性,似乎没有规律可言.
但是在大量的重复试验后,就会发现: 某些事件发生的可能性大些,另外一些事件发生的可能性小些,而有些事件发生的可能性大致相同.
1.4.3 问题分析
比如,一个箱子中装有100只产品,
其中95只是合格品,5只是次品.从其中任意拿出一只,则拿到合格品的可能性就比拿到次品的可能性大. 假如这100只产品中的合格品与次品都是50只,则拿到合格品与拿到次品的可能性就大致相同.
所以,一个事件发生的可能性大小是它本身所固有的一种客观的度量.很自然,
人们希望用一个数来描述事件发生的可能性大小,而且事件发生可能性大的,这个数就大;事件发生可能性小的,这个数就小.
为此,我们引入熟悉的“频率”的概念, 它描述了事件在多次试验中发生的频繁程度,进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数量指标——概率.
定义1 在相同的条件下，进行了n次试验, 在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数；比值 称为事件A发生的频率,并记为fn(A).
1. 频率
引例 在同样条件下,多次抛一枚质地均匀的
硬币,考察“正面朝上”的次数,这个试验在
历史上曾经有多人做过,得到如表1-2所示的数据.
表1-2 掷硬币试验数据
频率
0.5077
40961
80640
罗曼诺夫斯基
0.5005
12012
24000
皮尔逊
0.5016
6019
12000
皮尔逊
0.5080
2048
4040
蒲 丰
出现正面次数nA
(频数)
投掷次数n
实验者
上例中频率在0.5附近摆动,n增大时,逐渐稳定于0.5.
实验者 资料
频率具有下列性质：
性质1 非负性: 0≤fn(A)≤1.
性质2 规范性:设Ω为必然事件,则fn(Ω)=1.
经验表明：虽然n次试验中, 事件A出现的次数nA不确定,事件A的频率不确定,但当试验次数充分多时,事件A出现的频率在一个常数附近摆动. 用这个常数来表示事件A发生的可能性大小比较恰当.这是我们下面将给出概率统计定义的客观基础.
性质3 可加性:若A,B互不相容,则
fn(A∪B)=fn(A)+ fn(B).
2. 概率的统计定义
定义2 在试验条件不变的情况下，重复作n次试验，事件A发生的频率稳定在某一常数p附近摆动，则称这个常数p为事件A在一次试验中发生的概率，记作P(A). 即P(A)=p.
数P(A)就是在一次试验中对事件A发生的可能性大小的一种数量描述.我们习惯称定义2是概率的统计定义. 例如,在引例中就可以用0.5来描述掷一枚匀质硬币“正面朝上”出现的可能性大小.
用概率的统计定义来估计概率的方法, 在过去和现在解决了不少问题, 但它们 在理论上存在缺陷, 在应用上也有局限性.
例如, 在实际问题中往往无法满足概率统计定义中要求的试验次数的“充分大”, 也不清楚试验次数应该大到什么程度, 因此概率的统计定义不能作为数学意义上的定义.
讲评 “频率”与“概率”的区别：
(1) 事件的频率与概率有着本质区别: 频率具有随机波动性,是一个变数; 而概率是一个常数,具有客观性.
(2) 概率的统计定义只是一种描述, 它指出了事件的概率是客观存在的, 随着试验次数的增加,频率在概率附近摆动. 因此,在实际问题中,当试验的次数n很大时, 频率通常作为概率的近似值.
1.4.4 建立理论
定义3 设E是随机试验,Ω是E的样本空间, 若对于E的每一随机事件A,有确定的实数P(A)与之对应,如果集合函数P(·)满足下列条件：
(1)非负性：对于每一事件A, 有0≤P(A)；
(2)规范性：对必然事件Ω, 有P(Ω)=1；
(3)可列可加性：对于两两互不相容的可列无穷多个事件A1,A2,…,An,…, 有
P (A1∪A2∪…∪An∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+… (4.1)
则实数P(A)称为事件A的概率.
1. 概率的公理化定义
对上面讲过的“频率”定义、
“概率统计”定义都满足这个定义中的条件要求,它们都是这个一般定义范围内的特殊情形.在第五章中将证明,当试验次数n→∞时频率fn(A)在一定的意义下接近于概率P(A). 因此,我们更有理由将概率P(A)用来表征事件A在一次试验中发生的可能性的大小.
令An= , n=1,2,…, 则
概率的一些重要性质:
证
2. 概率重要性质
=
并且AiAj= (i≠j, i, j =1, 2,…).由概率的可列可加性得
P( )=
由概率的非负性知P( )≥0,因此,由上式得到
P( )=0.
性质4 P( )=0.
性质5(加法公式)对于两两互不相容的n个事件A1,A2,…,An, 则有
P(A1∪A2∪…∪An) =P(A1)+P(A2)+…+P(An) (4.2)
证
令An+1= An+2=…= , 由假设即得
AiAj= (i≠j, i, j =1, 2,…).
P(A1∪A2∪…∪An) =
= P(A1)+P(A2)+…+P(An),
(4.2)式得证.
讲评: 关键词是两两互不相容.一般情形见(4.10)式.
由概率的可列可加性(1.3.1)得
性质6(差事件概率) 设A,B为两个事件,若A B,则有P(B－A)= P(B)－P(A). (4.6)
讲评:关键词是A B.否则不成立.这里隐含 P(A)≤P(B). 如若P(A)= ,P(B)= ,
则 P(B)-P(A)=
一般情形是概率减法公式
P(A-B)= P(A-AB)=P(A)-P(AB).
由A B知B=A∪(B－A), 且
A(B－A)= , 由概率的有限可加性
(4.2)得到 P(B) = P(A) +P(B－A), 移项,
(4.6)式得证.
证
推论1(保序性)若A B, 则
P(A)≤P(B).
证 由概率的非负性, 得P(B－A)≥0. 由(4.6)式得到 P(A)≤P(B).
性质7 对于任意事件A, 都有P (A)≤1.
证
因为对于任意事件A,都有A Ω,由概率
的保序性和规范性,得P(A)≤P(Ω)=1.
可见,对于任意事件A,概率的有界关系为
0≤P(A)≤1.
讲评: 在计算用“至少”或“至多”描述的事件A的概率P(A)时,常常考虑事件A的对立事件
,利用公式P(A) =1－P( )计算P(A). 推广至
P(A1∪A2…∪An) =
因为A∪ =Ω,由规范性和有限可加
性(4.2)得到 1=P(Ω)=P(A∪ )=P(A)+P( ). 移项,得到所证等式.
性质8 (对立事件的概率)设 是A的对立
事件, 则有 P( )=1－P(A). (1.3.8)
证
性质9(概率加法公式)对于任意的事件A,B, 有
P(A∪B)= P(A)+P(B)－P(AB). (4.9)
证
因为A∪B = A∪(B－AB), 且A(B－AB) = , 及AB B, 由有限可加性(1.4.3)和概率减法公式(1.4.5)得到
P(A∪B)=P(A)+P(B－AB)
=P(A)+P(B)－P(AB).
推论2 对任意的事件A, B, 有 P(A∪B)≤P(A)+P(B).
证
注意 加法公式在计算两个事件和的概率时经常使用.
两个事件的加法公式面积解释
由性质9 (4.9)式得证.
对于n个事件A1,A2,…,An有关系式
P(A1∪A2∪A3∪…∪An)
+…+(-1)n+1 P(A1A2…An). (4.10)
推广：n个事件A1,A2,…,An有关系式
特别地,设A1,A2,A3是三个事件,
P(A1∪A2∪A3)
－P(A1A2)－P(A1 A3)－P(A2 A3)
+ P(A1 A2 A3) (4.11)
式(4.11)是三个事件和的概率加法公式.
则有
= P(A1)+ P(A2)+P(A3)
如果A1, A2, A3两两互斥, 则得到三个事件
和的加法公式
P(A1∪A2∪A3)= P(A1)+ P(A2)+P(A3).
讲评: 对于一般情形,当事件A1, A2,…,An两两互斥时, 有加法公式(1.4.2), 即
讲评: 本题的作用是训练用概率的性质计算概率.常用公式有:
(1) 对立事件概率公式
(2) 加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).
例2 已知P(AB)=0.5, P(C)=0.2,
P =0.4, 求
解
=1-[0.5+(1-0.2)-0.4]=0.1.
1.4.5 方法应用
设A, B, C分别表示{居民订购A, B, C
报}事件, 由题设知(1) P(只订A及B报的)
= =P(AB-C)=P(AB-ABC)
=P(AB)-P(ABC)=0.1-0.03=0.07.
例1.4.1 某城市共发行A, B, C三种报纸. 调查表明,居民家庭中订购C报的占30%, 同时订购A, B两报的占10%, 同时订购A报和C报或者B报和C报的各占8%, 5%, 三种报纸都订的占3%. 今在该城中任找一户,问:(1)该户只订A和B两种报纸的概率是多少 (2)该户只订C报的概率为多少
解
讲评: 易混点是“同时订购A报和B报”与“只订A报和B报”. 常用性质
P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB),
而不是 P(A-B)= P(A)-P(B).
(2) P(只订C报的)=
= P(C-(A∪B)) =P(C-C(A∪B))
= P(C)-P (AC∪BC))
=P(C)-[P(AC)+P(BC)-P(ABC)]
=0.3-(0.08+0.05-0.03)=0.2.
1.4.6 内容小结
提出问题
1. 大量的重复试验后,事件发生的可能性有大有小,怎样来认识和描述它？
2. 频率,我们比较熟悉.它和概率有关系吗？可以为我们提示哪些启示呢？
解决问题
1. 用频率的稳定值，用概率来刻画.
2. 频率是概率的实际来源，概率是频率的理论提升.概率是频率的稳定值，频率可以作为概率的近似值.
蒲丰（G. L. L. Buffon,1707—1788），英国博物学家，著有《自然史》（1—36卷）；
皮尔逊（K. Pearson,1857—1936），英国统计学家，现代统计学的创始人之一；
罗曼诺夫斯（W.Y.Romanovski,1879—1954），乌兹别克统计学家.
柯尔莫戈洛夫（А. Н. Коимогоров,1903—1987），著名俄罗斯数学家，莫斯科大学教授，前苏联科学院院士，概率论和函数论一个学派的奠基人.

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