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第一章 随机事件及其概率
习题课（下）
习题课分为上、下两部分. 在上部分中, 我们归纳了第一章的概念、理论与方法等内容，并对关键而又容易出错的地方作了讲评. 在“例题分类解析”部分，讲解了：1. 按随机事件的运算关系求解；2. 古典概型的概率计算问题.
在下部分中, 在“例题分类解析”部分,讲解了：3. 条件概率与概率乘法公式的应用；4. 全概率公式与贝叶斯公式；5. 随机事件独立性问题；6. 证明题. 三、学习与研究方法.
习题课（下）内容简介：
3. 条件概率与概率乘法公式的应用
例５ (多选题) 若A, B是两个互不相容的事件, 则一定有( ).
(B)
(A)
(C)
(D)
本题目涉及事件互不相容及
条件概率, 可用概率的性质及条件概率的
公式去解决.
分析
解
，得
因A, B互不相容,
且
由于
不一定成立, 所以(A)不一定成立.
由于
应选 (B).
该题目是考查概率的性质及条件概率的计算公式的知识点. 应注意P(B|A)与P(AB)的区别.
讲评
而
,又因A, B互不相容,
故
,但
不一定成立,
所以(C)不一定成立.
由于
综上分析，答案应选(B),(D).
应选 (D).
在基本理论方面, 对概率的一般
加法公式、对立事件概率公式和条件概
率公式要学会综合应用.
本题目涉及和事件、积事件的概率及条件概率的计算, 可用概率的性质及条件概率公式去解决.
分析
扩展
例６ 设A,B是两个事件,已知
P(A)=0.5,P(B)=
P(B|
0.6,
)=0.4. 求: (1)
(2)
(3)
解
因为
所以
(1)
因为
所以
(2)
(3)
由一般加法公式得到
该题目意在加深对加法公式、
乘法公式、条件概率公式及对立事件概率
公式的理解与 应用, 是考查读者对加法公式与乘法公式及条件概率公式的综合应用能力.
(1) 在用概率的加法公式与乘法公式及条件概率公式解题时, 应先将所求概率的事件用已知的事件表示, 因此必须熟练掌握“事件间的关系及其运算”这部分内容.
讲评
扩展
(2) 对于任意两个事件A,B, 有
等重要关系.
例７ 设有三门高射炮同时对某目
标射击, 命中概率分别为0.2, 0.3, 0.5 . 目标命中一发被击毁 的概率为0.2, 命中两发被击毁的概率为0.6, 命中三发被击毁的概率为 0.9 .
求三门高射炮在一次射击
中击毁目标的概率.
4. 全概率公式与逆概率(贝叶斯)公式
目标被击毁是由于“三门高射炮射击”这三种情形, 此事件显然不能看
作三门高射炮射击的和事件, 应属于全概率类型, 用全概率公式去解决.
设A表示“目标在一次高射炮射击中被击毁”, 表示“恰有i发击中目标”
(i=0,1, 2,3)，则 为互斥的独立的完备事件组. 于是
分析
解
全概率公式是概率论中一个很重要的公式 , 使用全概率公式时应注意:(1)何时用全概率公式:通常所论问题出现先后两次试验,或结果发生是由几种情形导致的.此题属于后一种情况.
代入全概率公式得到
讲评
而
在题设条件方面, 如果改为四门(乃至有限门)高射炮, 仍可用全概率公式进行求解.
扩展
(2) 如何用全概率公式: 将第一次试验
的样本空间分解成两两互斥的完备事件组,
或者“几种情形”处理成完备事件组. 此题属于后一种情况. 参见例８, 例９.
例 8 有两个盒子, 第一盒中装有2个
红球1个黑球, 第二盒中装有2个红球2个黑球.
现从这两盒中任取一球放在一起, 在从中任取一球.
(1) 求这个球是红球的概率;
(2) 若发现这个球是红球, 问来自第一个盒子的概率是多少？
分析
第一问取得红球是分两种情形实
现的,此问题是全概率类型问题. 参见例７, 例８. 第二问是在知道试验结果是红球的前提下, 问来自第一个盒子的概率, 该问题属于逆概率类型.
(1) 设A表示{取到一个红球},
Bi表示{从第i个盒中取出一个红球}(i=1,2), 则B1，B2独立.于是
解
由全概率公式有
(2) 由贝叶斯公式，得到
由诸多原因可引发某种结
果, 而结果又不能简单地看作这诸多原因的“和”,这样的概率问题属于全概率类型. 试验结果已知, 追查是何种原因 (或情况、条件)下引发的概率,这属于逆概率类型.正因为如此,“逆概率公式”也称为“后验概率公式”. 参见本例9和例10.
讲评
本题是典型的利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率的问题. 计算这
类问题的关键, 是找到问题的一个划分,以及区分是应用全概率公式还是应用贝叶斯公式. 所讨论的问题通常是先后发生两次或多次试验,或有多种情形影响时间的发生.
扩展
例10 甲袋中有5个白球和5个黑球, 乙袋和丙袋为空袋. 现从甲袋中任取5球放
入乙袋, 再从乙袋中任取3个球放入丙袋, 最后从丙袋中任取一球. 求：
(1) 最后取出的是白球的概率;
(2) 如果最后取出的是白球, 求一开始从甲袋中取出的都是白球的概率.
分析
第一个问题是全概率问题. 第二个问
题显然是逆概率类型.
设Ai表示{从甲袋中取出的5球中有i个白球}(i=0,1,2,3,4,5), Bj表示{从乙袋中取出的3球中有j个白球}(j=0,1,2,3), C表示{从丙袋中取一球为白球}.
解
构成一个完事
件组, 且
(1) 因为
所以, 由全概率公式得到
又因为
构成一个完备事件组, 所以
一定发生, 从而C一定发生, 于是
发生, 则
(2) 由题设可知, 若
贝叶斯公式，
所以,由
(1) 应注意第一、二次试验的
各种两两互不相容的结果分别构成一个
完备事件组. 第二问是“寻原因”, 应考虑用贝叶斯公式.
(2) 逻辑关系复杂，重在分析完备事件组.
讲评
本题目两次用到全概率公式, 因此在理论应用方面,此题目可进一步推广到四次(乃至更多次)随机试验, 注意每次随机试验的结果刚好构成下一次随机试验的一个完备事件组.
扩展
5. 事件的独立性问题
例11 一工人看管三台机床, 在一小
时内甲、乙、丙三台机床需该工人照看的概率分别为0.9, 0.8和0.85. 求：在一小时中，
(1) 没有机床需要照看的概率;
(2) 至少有一台机床不需要照看的概率; (3) 至多有一台机床需要照看的概率.
三台机床需不需要工人照看
是相互独立的, 因此应按照事件的独立性去
考虑. 注意此题没有明确指出独立性条件.
分析
设Ai表示{第i台机床需要照看}(i=1,
2,3), A表示{没有一台机床需要照看}, B表示{至少有一台机床不需要照看}, C表示{至多有一台机床需要照看}. 于是由A1，A2，A3相互独立，得到
解
也相互独立.
(1)
(2)
(3)
(1) 本题考查相互独立与对立
事件的知识点.
讲评
(2) 处理有关“至少”或“至多”的问题时, 常考虑它的对立事件, 用对立事件概率公式
去解决.
在实际应用中, 判断事件是否相互独立, 一是审查题目是否已经给出独立条件,二是根据一事件的发生是否影响另一事件的发生来判断. 此题属于后者.
扩展
例12 三个人独立地去破译一份密码.
已知各人能破译出的概率分别为 ，
问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少
本题主要考查学生对一般加法公式的应用以及对“至少”事件和独立性的理解能力.
分析
解
由独立性可知
B表示{至少有一人能译出密码}.
设Ai表示{第i人能译出密码}(i=1,2,3),
由已知条件可知
方法一:
由于
第六节定理3得到 也相互独立.
于是,
相互独立, 由第一章
因
方法二:
讲评
也相互独立.
中很容易漏掉最后一项.第二种方法较第一种方法
简单一些, 但应注意当
相互独立时
本题第一种方法易犯的错误是,在
使用概率的一般加法公式时, 没有注意事件
不是互不相容的,在公式
扩展
事件的和与独立性结合的关系, 可以推
广到四个和四个以上的事件的情形.
例如,
上式可以推广到n个事件情形.
去计算较为方便.
时, 常常考虑它的对立事件. 用公式
在对“至少”或“至多”事件的考查
由于A的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在.
例13 设A, B是任意两个事件, 其中
A的概率不等于0和1, 证明事件A与B独立的充分必要条件是
6. 证明题
分析
A与B相互独立
利用条件概率公式及P(A)=1
进行推导.
证
,由条件概率公式、差事件概率公式和对立事件概率公式得到
已知
必要性：
充分性：
,
移项得
化简得 P(AB)=P(A)P(B), 因此A和B独立.
与B也
因事件A与B独立,知事件
A
从而
独立, 因此
讲评
( 2) 考查条件概率公式和差事件的概率公式应注意
而不是
本题综合考查了相互独立与条件概率之间的运算联系, 以及差事件概率公式
扩展
同时独立或同时
即A与B, A与
与B,
与
(1) 本题考查事件的独立性定理:
不独立.
例 14 设
>0, 试证：
分析
通常用逆推法分析:若不等式成立, 则
即 P(AB)≥P(A)-1+P(B),
P(A)P(B|A)≥P(A)-P(
可以得到 P(A)+P(B)-P(AB)≤1, 得到P(
≤1.
)
证
因为P(A∪B)≤1,由概率一般加法
由乘法公式得到, P(A)+P(B)-P(A)P(B|A) ≤1.
移项, 有
P(A)P(B|A)≥P(A)-[1-P(B)].
于是
P(A)P(B|A)≥P(A)-P
因为 P(A)>0, 所以
≥
本题考查条件概率公式及一般加法概率公式,考查读者分析问题和逻辑推理能力.
讲评
公式, 得到 P(A)+P(B)-P(AB) ≤1.
本题考查了和事件概率与条件
概率的综合应用, 在方法上本题分析
采用了逆推法, 即从结论出发看推导的条件是否与定理、性质已知条件相符合. 一定要注意, 在采用逆向分析推理时, 正确的写法应该是:
扩展
欲使所证不等式成立, 只需证明
证
逆推法分析和逆推法证明, 在逻辑关系上是完全不同的. 注意此题开始的逆推法分析的逻辑关系, 严格讲这是“错误”的, 但是人们思维习惯常常是这样分析推理的,要注意再反方向写出证明过程.
P(A)P(B|A)≥P(A)-P(
)成立, 即
P(AB)≥P(A)-
1+P(B)成立,就是证明P(A)+P(B)-P(AB)≤1
≤1成立. 由概率性质知,
≤1成立. 所以所证不等式成立.
只需证明
成立
三、学习与研究方法
(1) 映射反演法
将随机事件看作集合, 用已经掌握的集合理论建立和分析随机事件间的各种关系.
(2) 抽象概括法
从日常“频率”概念抽象为随机事件的“概率”定义.这是从普通的常用的“概念”上升为严格的数学意义上的“定义”的常用方法.
(3) 与这种“客观概率”体系对应的有“主观概率”理论体系
主观概率的应用主要是经济决策问题. 例如原材料涨价的机会有多大？市场容量处于某个范围的机会有多大？这些都需要数量上的估计. 然而，事情本身又不可能进行大量的重复试验. 主观概率还广泛应用于数据分析. 在许多情况下,我们对某件事情做出估计和判断，须凭我们事先掌握的数据. 但有些时候, 我们掌握的数据不完全, 因此需要和主观判断结合起来进行估计与判断.
(4) 混沌现象
在客观世界中,除了确定性现象和
随机现象之外,还存在着混沌现象等其它现象.混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动,其行为主要表现为不确定性——不可重复、不可预测. 例如, 蝴蝶效应、湍流、昆虫繁衍、机床切削金属时或打印机机头因冲击而引起的混沌振动等, 都是混沌现象.

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