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第二章 随机变量及其分布
2.2 离散型随机变量
及其常用的概率分布
内容简介: 对于离散型随机变量X, 首先,我们研究X的概率分布, 即X取什么值以及取这些值的概率大小, 然后，重点研究三种常用的离散型随机变量服从的0-1分布、二项分布和泊松分布.
第二章 随机变量及其分布
2.2 离散型随机变量
及其常用的概率分布
2.2.1 提出问题
1. 对于离散型随机变量的分布规律，怎样来研究它？
2.2.2 预备知识
超几何分布，事件的独立性，随机变量，一般函数及其三种表示形式.e的级数求和公式.
2. 已知在n重伯努利试验中事件A发生的次数, 事件A的概率是p, 在n次试验中A恰好发生k次的概率如何计算 ？
2.2.3 提出概念
设X是一个离散型随机变量, 它可能取的值是x1,x2,…,xn,…, 为了描述随机变量X,我们不仅需要知道随机变量X的取值, 而且还应知道X取每个值的概率.
我们看实际例题.
引例 在例1.4.1中增加问题(3)：
有100件产品, 其中有10件是次品,
其余为合格品. 取5件包含次品的概率. 计算:
这样, 我们就掌握了X这个随机变量取值的概率分布规律. 这要比一个一个地分析随机事件的概率更加方便.
且满足
定义 设随机变量X一切可能的取值为 x1, x2,…,xn,…, 且X取各个值的概率为
pk=P{X=xk}, k =1, 2, 3,…, (2.2.1) 则称X是离散型随机变量, 称 (2.2.1) 式为随机 变量X的概率函数或概率分布, 亦简称分布律.
由概率定义, 分布律P{X=xk}=pk, k=1,2,…满足下列两条性质：
(1) pk≥0, k=1,2,…； (2.2.2)
(2) . (2.2.3)
讲评 这两条性质常用来判断一个
数列{pk}是否是概率分布, 通常只有pk
满足上述两条性质, 才能成为某个随机变量的分布率. 也常用于确定概率分布中的待定参数.
离散型随机变量的分布律的表示方法有如下三种形式：
(1) 公式法：可以用一个公式统一表示为
P{X=xk}=pk, k =1, 2, ….
(2) 列表法：分布率可以用表格清楚
地表示为
X x1 x2 … xk …
P p1 p2 … pk …
(3) 图示法: 为了分析方便, 一般把xk(k =1,2,…)从小到大排列. 用示意图2-2表示X的概率分布及比较概率的大小.
图2-2 X的概率分布图
图2-2中短线的高度为X取值于该点的概率.
例2.2.1 某篮球运动员每次投中篮圈
概率是0.9, 求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.
解 X可取0,1,2为值, 有
P{X =0}=(1-0.9)×(1-0.9)=0.01，
P{X =1}= 0.9×0.1+ 0.1×0.9=0.18，
P{X =2}=0.9×0.9=0.81.
且 P{X =0}+ P{X =1}+ P{X =2}=1.
2.2.4 理论应用
X 0 1 2
pk 0.01 0.18 0.81
这就是X的概率分布.
X的分布律通常又写成如下表格形式：
例2.2.2 某电子线路AB中装有两个并联的继电器, 见图2-3. 假设这两个继电器是否接通具有随机性, 且彼此独立. 已知每个继电器接通的概率为0.8, 记X为线路中接通的继电器的个数.
求: (1) X的分布律；
(2) 线路接通的概率.
图2-3并联系统
1
2
解 (1) 记Ai={第i个继电器接通},
i=1,2. 所以 A1和A2相互独立,
且P(A1)=P(A2)=0.8. 下面求X的分布律.
显然，X可能取0,1,2三个值. 则
{X=0}表示{两个继电器都没接通},
{X=1}表示{恰有一个继电器接通},
{X=2}表示{两个继电器都接通}.
因此, X的分布律为
,
(2) 因为系统是并联电路, 所以{线路接通}当且仅当{至少一个继电器接通}. 因此，
P{X ≥1}=P{X=1}+P{X=2}=0.32+0.64=0.96.
设随机变量X只可能取0或1两个值,
它的分布律是
P{X=k}=pk(1-p)1-k, k=0, 1 (0则称X服从0-1分布或两点分布.
1. 0-1分布
0-1分布的分布律也可写成
X 0 1
pk 1-p p
2.2.5 三种常见常用的离散型随机 变量的概率分布
对于一个随机试验, 如果它的样本空间
只包含两个元素, 即Ω={ω1,ω2}, 我们总
能在Ω上定义一个服从0-1分布的随机变量X
来描述这个随机试验的结果. 例如，
例如 ,对新生婴儿的性别进行登记; 检查产品的质量是否合格; 某车间的电力消耗是否超过负荷; 以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验等都可以用服从0-1分布的随机变量来描述. 0-1分布是经常遇到的一种分布.
一般地, 设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果: A或 . 再设我们重复地进行n次独立试验, 每次试验事件A出现的概率都是p,则 发生的概率则是q=1-p. 这样的n次独立重复试验称作n重伯努利试验, 简称伯努利试验或伯努利概型.
2. 伯努利概型和二项分布
定理1 在n次试验中A发生k次的概率为
pk(1-p)n-k, (2.2.5)
记 q=1-p,
即有
P{X=k}= pk(1-p)n-k, k=0, 1, 2, …, n. (2.2.6)
以X表示n重伯努利试验中事件A发生
的次数, 则X是一个离散型随机变量,
我们求它的分布律.
证 X所有可能取的值为0, 1, 2,…, n.
由于各次试验是相互独立的, 因此事件
A在指定的k(0≤k≤n)次试验中发生, 在其它 n-k 次试验中A不发生 (例如在前k次试验中发生, 而后n-k次试验中不发生)的概率为
这种指定的方式共有 种,它们是两两
互不相容的, 由概率加法公式得到：
在n次试验中A发生k次的概率为
pk(1-p)n-k,
记q=1-p, 即有
P{X=k}= pkqn-k, k=0, 1, 2, …, n.
显然 P{X=k}≥0, k=0, 1, 2, …, n;
即 P{X=k} 满足条件 (2.2.2), (2.2.3), 说明
P{X=k} = pkqn-k, k=0,1,2,…是概率
分布. 注意到 pkqn-k刚好是二项式(p+q)n
的展开式中出现pk的那一项, 因此我们称随机变量X服从参数为n, p的二项分布, 记为
X~B(n, p).
显然, 若X~B(n,p), 则P{X=k}表示在n次独立重复试验中A恰好发生k次的概率; P{X≤k}表示A发生的次数不超过k次的概率; P{X>k}表示A至少发生k+1次的概率.
特别地, 当n=1时, 二项分布化为
P{X=k}= pkq1-k, q=1-p, k = 0, 1.
这就是0-1分布. 所以0-1分布通常也写为
X~B(1, p).
讲评 伯努利概型有下述要求：
(1) 每次试验条件相同，可重复；
(2) 每次试验只考虑两个互逆结果A或 , 且P(A)=p；
(3) 各次试验相互独立.
例2.2.3 已知某产品的次品率为0.04,
现有这样一批产品100件.
(1) 求这批产品中不少于4件次品的概率.
(2) 问这100件产品中恰有k件(k=0,1,…,
100)次品的概率是多少？
解 我们将检查一件产品看作是进行一次试验, 则检查100件产品相当于做100重伯努利试验. 以X记100件产品中次品的件数, 则有 X~B(100, 0.04).
(1) 用二项分布概率公式计算：
因为 ,所以
P{4≤X≤100}=
(2) 依题意，应计算概率分布律
k= 0,1,…,100.
将计算部分结果列表如下:
将计算结果列表如下:
P{X=0}=0.012
P{X=1}=0.058
P{X=2}=0.137
P{X=3}=0.205 P{X=4}=0.218
P{X=5}=0.175
P{X=6}=0.109
P{X=7}=0.055 P{X=8}=0.022
P{X=9}=0.007
P{X=10}=0.002
P{X=k}<0.001, 当k≥11时.
为了对本题的结果有一个直观了解, 我们作出上述分布律的图形,如图2-4所示.
图2-4 例2.2.3概率分布及最可能次数
图2-4 例2.2.3概率分布及最可能次数
从图2-4中看到, 当k增加时, 概率
P{X=k}先是随之增加, 直至达到最大值
(本例中当k=4时取到最大值), 随后单调减少. 我们指出, 一般地, 对于固定的n及p, 二项分布B(n, p)都具有这一性质.
定理2 若X~B(n,p), 则当(n+1)p是 整数时, X有两个最可能的次数(n+1)p及
(n+1)p-1; 当(n+1)p不是整数时, 最可 能次数为[(n+1)p](即(n+1)p的整数部分). 证明此处从略，见习题.
例如,在例2.2.3中, 在100只元件中最可能被抽到的一级品只数为
[(100+1)×0.04]=[4.04]=4.
3. 泊松分布
k=0,1,2,…,
设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…, 且概率分布为
其中λ >0是常数, 则称X服从参数为λ的泊松分布, 记作
X~P(λ).
易知, P{X=k}≥0, k=0,1,2,…, 且有
即P{X=k}满足分布律条件(2.2.2), (2.2.3), 可以作为离散型随机变量的概率分布.
泊松分布P(λ)中的参数λ的意义将在第四章说明.
具有泊松分布的随机变量在实际应用中是很多的. 例如, 一本书一面中的印刷
错误数、某地区在一天内邮递遗失的信件数、某一医院在一天内的急诊病人数、某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数、在一个时间间隔内某种放射性物质发出的并经过计数器的α粒子数等都服从泊松分布. 泊松分布也是概率论中的一种重要分布.
泊松分布还有一个非常实用的特性，
即可以用泊松分布作为二项分布的
一种近似. 在二项分布B (n,p)中，当n较大时，计算量是令人烦恼的. 而在p较小时使用以下的泊松定理，可以减少二项分布中的计算量.
定理3(泊松定理) 在n重伯努利试验中，事件A在一次试验中发生的概率为pn，如果当n→∞时，有npn→λ, 则
证 记npn=λn, 即pn=λn/n. 我们可得
对固定的k有
从而
对任意的k(k=0,1,2,…)成立. 定理得证.
由于泊松定理是在npn→λ条件下 获得的，故在计算二项分布B(n,p)时， 当n很大，p很小，而乘积λ=np大小 适中时，可以用泊松分布作近似，即
,k = 0,1,2…
(2.2.8)
例2.2.4 用用泊松定理再计算例2.2.3问题(1)：在次品率为0.04的 100件产品中，求这批产品中不少于4件次品的概率.
解 用X表示100件产品中的次品数,则.利用二项分布概率公式计算例2.2.3问题(1)得到
P{4≤X≤100} ≈0.570 5.
现用泊松定理计算：由于λ=np=4, 有
P{4≤X≤100}
=0.566 9.
可见，当n较大, p较小时, 泊松定理比二项分布更简单些.
三种重要的常见的离散型随机变量分布必须掌握分布律定义及参数意义.
2.2.5 内容小结
在本次课中, 我们介绍了离散型随机
变量及其概率分布. 对于离散型随机变量,
如果知道了它的概率分布,也就知道了该随机变量取值的概率规律. 在这个意义上, 我们说离散型随机变量由它的概率分布唯一确定.
泊松（S. D. Poisson,1781—1840)
法国数学家、力学家和物理学家，科
学院院士. 在他的《关于判断犯罪现象的概率研究》（1837年）一书中，包含著名的泊松三定理：泊松定理，泊松大数定律和泊松中心极限定理（第五章）

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