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第二章 随机变量及其分布
2.3 随机变量的分布函数
内容简介:给出随机变量的分布函数定义、性质及其求法. 学习离散型随机变量X的概率分布问题.
第二章 随机变量及其分布
2.3 随机变量的分布函数
2.3.1 提出问题
在处理实际问题中, 人们常常关心
的是随机变量X落入区间(a, b]内的概率，怎样来研究它？
2.3.2 预备知识
1.单调函数，左右极限，左右连续函数;
2.求和记号，随机事件和与差关系等式.
在处理实际问题中, 人们常常关心的是一个随机变量X落入某个区间(a,b] 内的概率. 例如参军青年关心的是他的身高是否达到标准, 而不关心其身高是否刚好等于某个数字.
注意到概率关系
P{a下面我们引入随机变量X的分布函数的概念.
2.3.3 提出概念
由这个定义知, 若F(x)是X的分布函数, 则有
P{a这个式子对(-∞,+∞ )内的任何实数a, b(a定义 设X是一个随机变量(包括离散及
非离散型)， x是任意实数, 定义
F(x)= P{X≤x}, -∞ < x < +∞. (2.3.1)
称F(x)为随机变量X的分布函数, 也记为FX (x).
1. 分布函数的性质
定理 设F(x)是任一随机变量X(包括离散及非离散型)的分布函数, 则
(2) F(x)单调不减, 即当x1(1) 0≤F(x)≤1.
2.3.4 建立理论
性质(1), (2), (3), (5)用分布函数的定义和(2.3.2)式易于证实, 此处从略.
(4) F(x)右连续, 即对任意实数x, 有
F(x+0)=F(x).
(5) 对每个x0, 都有P{X=x0}=F(x0)-F(x0-0).
2.3.5 方法应用
P{X≤1}= P{X =-1}= ；
求X的分布函数,
并求
例2.3.1 设随机变量X的概率分布如表格：
X -1 2 3
pk
解 (1) 上述概率可以直接通过X 的分布律求出：
P{2≤X<4} = P{X =2}+P{X =3}=
(2) 根据分布函数的定义F(x)=P{X≤x}及X的分布律, 将-∞当x<-1时,
当-1≤x<2时,
当2≤x<3时, F(x)=P{X=-1} + P{X=2}
当x≥3时, F(x)=P(Ω) =1.
即
F(x)的图形如图2-5所示, 它是一条阶梯形的曲线, 在x = -1, 2, 3处有跳跃值,
分别为概率 , , .
图 2-5 离散型随机变量分布函数图形和特性
一般地, 设离散型随机变量X的分布律为pk=P{X=xk}, k=1,2,…, 则由概率的
可列可加性得X的分布函数
F(x)是一个右连续的函数, 在X= xk (k =1, 2,…)处有跳跃值pk=P{X= xk}.
2.3.5 内容小结
本次课我们介绍了分布函数及其性质,
确定其中的待定参数的方法要掌握. 通过例2.3.1讲解了离散型随机变量分布函数及其概率计算的问题，这里的例2.3.1在学习方法上应熟练掌握.

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