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5.4抛体运动的规律
之七大专题
第五章抛体运动
复习回顾：
1、如何求抛体运动的速度？
2、抛体运动速度变化的规律是什么？
3、如何求平抛运动的位移？
4、如何求平抛运动的轨迹方程？
5、平抛运动的轨迹是什么曲线？
6、轨迹是抛物线的运动有什么特点
7、平抛运动的物体在空中运动的时间由什么来决定？水平位移？落地速度？
8、平抛运动的两个重要推论是什么？
专题一：斜抛运动
1．定义：物体被抛出时的速度v0沿斜上方或斜下方时(设v0与水平
方向夹角为θ)，且只受重力的运动叫斜抛运动。如图所示。
2.斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速
度g的匀变速曲线运动
3.斜抛运动的轨迹：轨迹是一条抛物线
4.速度变化特点：由于斜抛运动的加速度为定值，因此，在相等的时间内速度变化量的大小相等，方向均竖直向下，Δv＝gΔt。
5．斜抛运动的规律(以斜上抛为例)
(1)把斜向上方的初速度分解到水平方向和竖直方向，
如图所示，水平方向不受力，以vx=v0cosθ 做匀速直线运动；
竖直方向只受重力，以v0sinθ为初速度做竖直上抛运动。
位移:x=voxt= v0tcosθ
位移:
速度:vy=v0y-gt=v0sin θ-gt
速度:vx=v0x=v0cosθ
匀速直线运动
竖直上抛运动
X轴:
Y轴:
v0y
v0
x
v0x
y
0
v
vx
vy
合速度大小:
合速度方向:
合位移大小:
s
y
x
合位移方向:
分
解
（2）斜抛运动的速度和位移
（3）时间对称：从抛出点到最高点时间t（vy=0）
由v=v0+at得
从抛出点回落到等高点时间T（对称性分析）
（4）速度对称：从抛出点A运动到最高点时间后又返回到与A等高的B点时有
（大小相等）
此时，A、B两点水平方向的速度相等，竖直方向的速度相反
（5）轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。
（6）.上升最大高度（射高）H
由v2-v02=2ax得
（7）.水平方向的位移（射程）
即θ=45°时x最大
【例1】. (单选)一物体由斜面向上抛出做斜抛运动，从抛出到落回地面的过程中（??? ）
A.竖直方向做匀速直线运动
B.水平方向做匀加速直线运动
C.速率先变大，后变小
D.加速度保持不变
D
【例2】 (多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则( )
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
CD
【例3】. (单选)如图所示，“跳一跳”游戏需要操作者控制棋子离开平台时的速度，使其能跳到旁边等高平台上。若棋子在某次跳跃过程中的轨迹为抛物线，经最高点时速度为v0 ，此时离平台的高度为h ，棋子质量为m ，空气阻力不计，重力加速度为g 。则此跳跃过程( )
所用时间 ????=????????????
B. 水平位移大小 ????=????????????????????????
C. 初速度的竖直分量大小为 ????????????
D. 初速度大小为 ????????????+????????
?
B
【例4】.如图，将一篮球从地面上方B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上的A点，不计空气阻力，若从抛出点B向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，则可行的是（ ）
A.增大抛射速度v0，同时减小抛射角θ
B.增大抛射角θ，同时减小抛出速度v0
C.减小抛射速度v0，同时减小抛射角θ
D.增大抛射角θ，同时增大抛出速度v0
B
专题二：类平抛运动
1、定义：物体以初速度v0沿某一方向抛出，且仅受一垂直于初速度方向的恒力（不等于重力）作用时所做的运动。
2、特点：
①受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直
②运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为0的匀加速直线运动，加速度a＝F 合/m
3．处理方法——分解运动，化曲为直：
（1）常规分解：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合力的方向）的匀加速直线运动，两个分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性；
（2）特殊分解：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。
4．类平抛运动与平抛运动的区别
【例5】、如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P以初速度v0水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，重力加速度为g，则( )
A．物块做匀变速曲线运动，加速度为g
B．物块离开Q点时的速度vQ＝
C．物块的初速度v0＝
D．物块由P点运动到Q点所用的
时间t＝
C
【例6】.A、B两个质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动．落地点为P1.B沿光滑斜面运动，落地点为P2.不计阻力，如图所示，则P1、P2在x轴上(　　)
A．P1较远　　
B．P2较远
C．P1、P2等远
D．A、B两选项都有可能
B
【例6】.风洞实验室中可以产生沿水平方向、大小可调节的风力。如图所示，将一个质量为m的小球放入风洞实验室的光滑水平地面上的O点，小球以初速度v0水平向右抛出，此时调节水平风力的大小为恒定值F，F的方向始终与初速度v0的方向垂直，最后小球运动到水平地面上的P点。已知O、P两点连线与初速度v0方向的夹角为θ。试求：
1、该小球运动到P点时的速度大小和“P点速度方向与初速度v0方向夹角的正切值”
2、OP之间的距离
专题三：斜面抛模型
（1）类型一：从斜面抛出又落到斜面上
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}①分析方法：分解位移，构建位移三角形
②运动规律：
③飞行时间：
（2）类型二：从斜面上抛出，又落到斜面上，求离斜面最远
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}①分析方法：当速度与斜面平行时,物体到斜面的距离最远,且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。
②运动规律：水平方向匀速直线
竖直方向自由落体
③飞行时间：
④也可以把g和 分解
总结：从斜面上某点水平抛出,又落到斜面上的平抛运动的五个特点
(1)位移方向相同,竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。
★(2)末速度方向平行(即末速度方向相同),竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。
(3)运动的时间与初速度成正比?。
(4)位移与初速度的二次方成正比?。
★(5)当速度与斜面平行时,物体到斜面的距离最远,且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。
（3）类型三：从空中抛出垂直落到斜面上
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}①分析方法：分解速度，构建速度三角形
②运动规律：
③飞行时间：
（4）类型四：从斜面外抛出，要求以最短位移打到斜面上
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}①分析方法：分解位移，构建位移三角形
②运动规律：
③飞行时间：
（5）类型五：从斜面外抛出，沿斜面方向落入斜面
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}①分析方法：分解速度，构建速度三角形
②运动规律：
③飞行时间：
【例7】如图，小球从斜面的顶端A处以大小为v0的初速度水平抛出，恰好落到斜面底部的B点，且此时的速度大小vB=????v0，空气阻力不计，该斜面的倾角为(　　)
A.60°
B.45°
C.37°
D.30°

?
B
【例8】.(多选)如图，倾角为30°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上。已知重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A.小球从抛出到落在斜面上的运动时间为3????0????
B.小球从抛出到落在斜面上的运动时间为3????03????
C.小球抛出时距斜面底端的高度为5????02????
D.小球抛出时距斜面底端的高度为5????022????
?
AD
【例8】.如图所示，甲、乙两个小球从同一固定斜面的顶端O点水平抛出，分别落到斜面上的A、B两点，A点为OB的中点，不计空气阻力．以下说法正确的是( )
A.甲、乙两球做平抛运动的初速度大小之比为1:2
B.甲、乙两球接触斜面的瞬间，速度的方向相同
C.甲、乙两球做平抛运动的时间之比为1：3
D.甲、乙两球运动过程中速度变化量的方向不相同
B
【例9】.如图，倾角为α=45°的斜面ABC固定在水平面上，质量为m的小球从顶点A先后以初速度v0和2vo向左水平抛出，分别落在斜面上的P1、P2点，经历的时间分别为t1、t2；A点与P1、Pl与P2之间的距离分别为l1和l2，不计空气阻力影响。下列说法正确的是（ ）
A．t1：t 2=1：1 B．ll：l2=1：2
C．两球刚落到斜面上时的速度比为1：4
D．两球落到斜面上时的速度与斜面的夹
角正切值的比为1：1
D
【例10】跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台.一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图2所示.已知可视为质点的运动员从A点水平飞出的速度v0＝20 m/s，山坡可看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1)运动员在空中的飞行时间t1；
(2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小s；
(3)运动员落到斜面上时的速度大小v；
(4)运动员何时离斜面最远.
解：⑴⑵运动员从A点到B点做平抛运动，
水平方向的位移：x＝v0t1
竖直方向的位移：y＝????????gt12
又有tan 37°＝????????
代入数据解得：t1＝3 s，x＝60 m，y＝45 m.
运动员从飞出至落在斜面上的位移大小s＝????????+????????＝75 m.
?
(3)运动员落在斜面上时速度的竖直分量vy＝gt1＝10×3 m/s＝30 m/s，
运动员落到斜面上时的速度大小v＝ ????????????+?????????????＝10 ????????m/s.
?
(4)如图，运动员距离斜面最远时，合速度方向与斜面平行，tan 37°＝?????????????????，即tan 37°＝????????????????????，
解得t2＝?????????????????????????°????＝1.5 s.
?
专题四：与圆结合的平抛运动问题
（1）类型一：抛出点和落点都在圆弧面上。
如图甲所示，一小球从与圆心等高的半圆
形轨道的A点以v0水平向右抛出，落在半圆
形轨道上的C点。
（2）类型二：抛出点在圆面外，落点在圆面上。如图乙所示，一小球从一半圆形轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆形轨道相切于B点。
（3）类型三：抛出点在圆面外，落点在圆面上。如图丙所示，一小球从一半圆形轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆形轨道相切于B点进入圆弧。
丙
【例11】、如图，从半径为R=1m的半圆AB上的A点水平抛出一个可视为质点的小球，经t=0.4 s小球落到半圆上，已知当地的重力加速度g=10 m/s2，小球的初速度v0可能为（　）
A．1 m/s或2 m/s
B．2 m/s或3 m/s
C．3 m/s或4 m/s
D．1 m/s或4 m/s
D
【例12】、如图所示，一个半径R=0.75m的半圆柱体放下水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出（小球可视为质点），恰好从C点切线方向进入，已知O为半圆柱体圆心，OC与水平方向夹角为53°，重力加速度为g=10m./s2，则（　　）
A．小球从B点运动到C点所用时间为0.3s
B．小球从B点运动到C点所用时间为0.5s
C．小球做平抛运动的初速度为4m/s
D．小球做平抛运动的初速度为6m/s
AC
【例13】、 如上图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道.已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为（ ）
A
专题五：竖直墙面的平抛运动
关键点：V0不同，水平位移始终相同
【例14】、 （多选）如图所示，某运动员练习射箭时，站在同一位置先后水平射出两只相同的箭，射中箭靶上同一竖直线上两点，A箭与竖直方向的夹角为α=60°，B箭与竖直方向的夹角为β=30°。已知箭飞行时，箭头的指向与箭的运动方向相同，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．A、B两箭的初速度大小之比为3:1
B．A、B两箭运动的时间之比为1：3
C．A、B两箭下落的高度之比为1：3
D．A、B两箭速度的增量之比为3:1
?
AC
【例14】、在六盘山高中运动会期间，某位老师参加定点投篮比赛，先后两次将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直墙面上，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．篮球在空中运动的加速度两次一样大
B．篮球撞墙的速度，第一次较大
C．从抛出到撞墙，第一次篮球在
空中运动的时间较短
D．抛出时的速度，第一次一定比第二次大
A
【例15】在水平地面上建有相互平行的A、B两竖直墙，墙高h=20m，相距d=1m，墙面光滑。从一高墙上以水平速度v0=5m/s抛出一个弹性小球，与两墙面反复碰撞后落地（如图所示）。试求：
(1)小球的落地点离A墙多远？小球从抛出到落地
与墙面发生的碰撞次数n为多少？（g=10m/s2）
(2)小球与墙面发生m次（m下落的高度。
专题六：与平抛运动相关的临界问题
1．临界问题的特点
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点。
2．临界问题的分析方法
(1)将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向
的自由落体运动，是求解平抛运动的基本方法。
(2)分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出
来，找出产生临界的条件。
(3)确定临界状态，并画出轨迹示意图。
(4)注意适当运用数学知识分析求解有关临界与极值的问题。
【例16】如图，窗子上、下沿间的高度H=1.6 m，墙的厚度d=0.4 m，某人在离墙壁距离l=1.4 m、距窗子上沿高h=0.2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10 m/s2，则v的取值范围是( )
A.v>7 m/s B.v>2.3 m/s
C.3 m/s
C
【例17】如图所示，排球场的长为18 m，球网的高度为2 m.运动员站在离网3 m远的线上，正对球网竖直跳起，把球垂直于网水平击出.(取g＝10 m/s2，不计空气阻力)
(1)设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度v0在什么范围内才能使球既不触网也不出界？
(2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度为多大，球不是触网就是
出界，试求出此高度.
解（1）如图甲所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰不出界时其运动轨迹为Ⅱ，根据平抛运动的规律，由x＝v0t和h＝????????gt2可得
当排球恰不触网时有x1＝3 m，x1＝v1t1 ①
h1＝2.5 m－2 m＝0.5 m，h1＝ ?????????gt12 ②
由①②可得v1＝3???????? m/s.
当排球恰不出界时有
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v2t2③
h2＝2.5 m，h2＝ ?????????gt22④ 由③④可得v2＝12 ???? m/s.
所以排球既不触网也不出界的速度范围是3 ???????? m/s?
（2）如图乙所示为排球恰不触网也恰不出界的临界轨迹.设击球点的高度为h，根据平抛运动的规律有
x1＝3 m，x1＝v0t1′ ⑤
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v0t2′⑦
h1′＝h－2 m，h1′＝ ?????????gt1′2 ⑥
?
h2′＝h＝ ?????????gt2′2 ⑧
?
联立⑤⑥⑦⑧式可得，高度h＝???????????????? m.
?
【例18】 一带有发射机的乒乓球台如图甲所示。水平台面的长和宽分别为L1 和 L2，中间球网高度为 h（图丙）。发射机安装于台面左侧边缘的中点（图乙），能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h ，不计空气的作用，不考虑乒乓球旋转，重力加速度大小为g 。若乒乓球的发射速在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到网右侧的台面上，则速度v的范围是（ ）
D
专题七：平抛运动中的相遇问题
（1）类型一：平抛与自由落体相遇
水平位移：l=vt
空中相遇：

（2）类型二：平抛与平抛相遇
①
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}若等高（h1=h2），两球同时抛；
若不等高（h1>h2）两球不同时抛，甲球先抛；
位移关系：x1+x2=L
②
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}（1）A球先抛；（2）tA>tB；
（3）v0A③
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}（1）A、B两球同时抛；
（2）tA=tB；
（3）v0A>v0B
（3）类型三：平抛与竖直上抛相遇
【例19】 （多选）如图所示，相距l的两小球A、B位于同一高度h（l、h均为定值）。将A向B水平抛出的同时，B自由下落。A、B与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则下列判断正确的是 （ ）
A．A、B在第一次落地前能否相碰，取决于A的初速度
B．A、B在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰
C．A、B有可能运动到最高处相碰
D．A、B一定不能相碰
AC
【例20】如图所示，A、B为两个挨得很近的小球，并列放于光滑斜面上，斜面足够长，在静止释放B球的同时，将A球以某一速度v0水平抛出，当A球落于斜面上的P点时，B球的位置位于( )
A．P点以下 B．P点以上
C．P点 D．由于v0未知，故无法确定
B
【例21】如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平相向抛出，经过时间t在空中相遇。若两球的抛出速度都变为原来的3倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为
A．3t B．3????
C．????3 D．????4
?
??
C
【例22】甲、乙两球位于同一竖直线上的不同位置，甲比乙高h，如图所示，将甲、乙两球分别以v1、v2的速度沿同一方向抛出，不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是( )
A．同时抛出，且v1 B．甲比乙后抛出，且v1>v2
C．甲比乙早抛出，且v1>v2
D．甲比乙早抛出，且v1D
【例23】 （多选）2022年中俄进行战略级联合军演，如图所示，在联合军事演习中，离地面H高处的苏-35战机以水平对地速度v1发射一颗炸弹轰炸地面目标P，反应灵敏的中国国家导弹防御系统CNMD同时以初速度v2竖直向上发射一颗炮弹拦截（设此时防御系统与飞机的水平距离为x，炮弹运动过程视为竖直上抛，不计空气阻力），并拦截成功，下列说法正确的是
A．从发射到击中炸弹，炮弹运动时间????=2????????1
B．从发射到击中炸弹，炮弹运动时间????=????????2
C．拦截位置距地面的高度为?=?????????????22????22
D．v1、v2的关系应满足????1=????????????2
?
BCD
【参考答案：BCD】
A．不计空气阻力，炸弹做平抛运动，炮弹做竖直上抛运动，炮弹拦截住炸弹时，水平方向满足x=v1t，解得????=????????1，故A错误；
B．炮弹拦截住炸弹时，竖直方向满足????=12????????2+(????2?????12????????2)
解得????=????????2，故B正确；
C．拦截位置距地面的高度为?=?????12????????2=?????????????22????22，故C正确；
D．联立A、B解析中t的表达式，可得????1=????????????2，故D正确。

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