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2023-2024学年山西省运城市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.九章算术是一部中国古代的数学专著第一章方田主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”注：匝，意为周，环绕一周叫一匝书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为单位：弧度，则“该环田”的面积为( )
A. 平方步 B. 平方步 C. 平方步 D. 平方步
6.已知，且，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.若，且，则当取最大值时，的值为( )
A. B. C. D.
8.已知满足，且函数为偶函数，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
10.已知其中，的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的最小正周期为
C. 不等式的解集为
D. 将的图象向右平移个单位长度变为偶函数，则的最小值是
11.已知函数若方程有四个不同的实根，，，，且满足，则下列说法正确的是( )
A. 实数的取值范围是
B.
C. 的取值范围是
D. 的取值范围是
12.已知函数，且函数在上有且仅有个零点，则下列结论正确的是( )
A. 的取值范围是
B. 函数的图象在上最多有条对称轴
C. 函数的图象在上有个最大值点
D. 函数在上单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数在上单调递增，则实数的值为______．
14.将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则 ______．
15.已知点是角终边上一点，将角的终边逆时针旋转得到角，且，则 ______．
16.已知正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求值：
；
已知，求．
18.本小题分
已知全集，集合．
若，求；
若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知．
求函数的最小正周期及对称轴方程；
已知，求函数在，上的值域．
20.本小题分
已知二次函数满足：，且函数的图象经过点．
求函数的解析式；
若时，函数的图象永远在函数的图象的下方，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知定义在上的函数满足：，且当时，．
求，；
证明：为周期函数；
判断并证明在区间上的单调性．
22.本小题分
在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：是自然对数的底数，
类比正弦函数余弦函数与正切函数的关系，写出正切双曲函数的解析式，并判断其单调性判断过程进行简单说明；
若对任意实数，存在实数，使方程成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求值即可．
本题考查运用诱导公式化简求值，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：集合，，
所以．
故选：．
先求出集合，，再利用集合的并集运算求解．
本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了指数函数的值域，以及集合的并集运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：函数在上是增函数，，，
由，则函数的零点存在的区间是．
故选：．
利用函数的端点值，判断，可得结果．
本题主要考查函数的零点判断定理的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，即函数是偶函数，图象关于轴对称，排除，，
当时，，排除，
故选：．
判断函数的奇偶性和单调性，判断当时，函数值的符号是否一致进行排除即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
故“该环田”的面积平方步．
故选：．
由已知结合扇形的弧长公式及面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的弧长及面积公式的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，，其定义域为，
有，
故函数为偶函数，
则，
在区间上，函数为增函数且其函数值恒成立，
函数为增函数且其函数值恒成立，
函数为减函数，
故函数在上为增函数，
又由，
则有，故有．
故选：．
根据题意，分析函数的奇偶性可得，再分析区间上的单调性，结合指数、对数的运算性质可得，即可得答案．
本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，涉及函数值大小的比较，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：，且，
，
当且仅当时取等号，
令，
由得：，
，
即的最大值为，当且仅当时取到，
此时，．
故选：．
，平方后结合题意利用基本不等式可求得的最大值为，当且仅当时取到，从而可求得答案．
本题考查了两角和与差的三角函数及三角函数最值的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为函数是定义在上的偶函数，
所以关于对称，则，
又，所以，
即，，
所以函数的周期为，
取，则，
因为，
所以，
所以．
故选：．
函数是定义在上的偶函数，可知的对称轴为，又可推出周期为，根据函数的对称性和周期性即可判断正误．
本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，令，，，，满足，，但，故A错误；
对于，，
则，即，，即，
故，故B正确；
对于，，
则，即，故C正确；
对于，，，
则，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合作差法，以及特殊值法，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意得，，
所以，，，
由五点作图法可知，，即，
所以，A正确；
根据函数图象的变换可知，的最小正周期为，B错误；
由可得，，
所以，，
解得，，，C正确；
将的图象向右平移个单位长度可得，
若该函数为偶函数，则，，
所以，，
因为，
则的最小值为，D正确．
故选：．
根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质即可得到结论．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，函数
则的大致图像如图：
依次分析选项：
对于，若方程有四个不同的实根，即函数的图象与直线有个不同的交点，
结合图象，必有，即的取值范围为；A正确；
对于，结合函数的图象，且，
则，
又由，则有，变形可得：，
，则有变形可得，
故，B正确；
对于，由的结论，，，
由于与不相等，则，即，C错误；
对于，由的结论，，，且，变形可得，
由于，则，
同时，则，
故的取值范围是，D正确．
故选：．
根据题意，由函数的解析式作出函数的图象，利用函数的图象，结合函数零点与方程根的关系依次分析选项，综合可得答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，涉及函数的图象变换，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，则，
要使函数在上有且仅有个零点，
则，解得，
中，可得的范围为，所以A正确；
中，函数在上对称轴有条，所以不正确；
中，函数在上最大值点有个，所以C正确；
中，当时，，
因为，所以，
所以在上不单调，所以不正确．
故选：．
由函数在上有个零点，可得的范围，进而判断出所给命题的真假．
本题考查余弦函数的性质的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：幂函数在上单调递增，
，
解得．
故答案为：．
利用幂函数的定义和性质列不等式组求解．
本题考查幂函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，
得到的图象，再将其图象向左平移个单位长度，
得到．
故答案为：．
根据平移变换规律即可确定解析式．
本题考查三角函数变换，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为点是角终边上一点，将角的终边逆时针旋转得到角，
所以，
所以，
整理得，故；
所以．
故答案为：．
直接利用三角函数关系式的变换求出三角函数的值．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为正实数，满足，，
所以，
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以不等式恒成立，只需即可．
故答案为：．
分离参数得恒成立，即，然后结合基本不等式求解即可．
本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：原式；
方法：利用角关系：因为，
，
因为，
所以，
可得：，
所以；
方法积化和差公式：
因为，
所以，
即：，
因为，所以，
．
【解析】利用诱导公式以及指数、对数的运算性质即可求解；
利用三角函数恒等变换即可求解．
本题考查了指数、对数的运算性质，考查了三角函数恒等变换的应用，属于基础题．
18.【答案】解：由题意得，
当时，，
即集合为函数，的值域，
因为函数，对称轴为，
可知时，，时，，所以．
可得．
由知，，集合为函数，的值域，对称轴为，
可知时，，时，，
所以．
因为“”是“”的充分条件，所以，
所以，
解得：．
故实数的取值范围为．
【解析】由题意，解对数不等式求得，利用二次函数的性质求出，从而求出．
由题意求出，可得，故有，由此求得实数的取值范围．
本题主要考查对数不等式、一元二次不等式的的解法，求两个集合的交集，属于基础题．
19.【答案】解：；
所以函数的最小正周期，
由可知对称轴方程为：．
由可得：，所以，
令，由可得，
，所以函数的值域为．
【解析】首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和函数的对称轴方程；
利用函数定义域求出函数的值域．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：因为函数经过点，可设，
由可得：
所以函数．
由题意得：在上恒成立，
原不等式可等价变形为：
，
因为，所以，原不等式等价于：，
由在上恒成立可得，
令，则，，
所以，
因为函数在时单调递增，当时，
所以．
【解析】利用已知设出函数的解析式，然后根据已知建立方程，进而可以求解；利用指数的性质以及题意把问题转化为在上恒成立，然后求出函数的最值，由此即可求解．
本题考查了二次函数的性质，涉及到恒成立问题以及对勾函数的性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：令可得：；
令可得：；
由可得：，，
令可得：，
由知，所以，
因为，
令可得：，
因为，所以，
由周期性定义可知，函数是以为周期的周期函数．
由知：函数为以为周期的周期函数，又满足，
所以有，
任取，则有，
所以，
由题意知：当时，，
又，所以，
即，
所以函数在时单调递减．
【解析】利用赋值法即可分别求解，；
利用赋值法，结合函数的周期性定义即可求证；
任取，则有，再利用作差法比较与的大小即可判断．
本题主要考查了函数的周期性，单调性的判断，还考查了赋值法的应用，属于中档题．
22.【答案】解：，
在上单调递增，判断过程如下：
法一：，
令，则在上单调递增，且，又在时单调递增，
故函数在上单调递增．
法二定义法证明：任取实数，
，
，
，，
，
在上单调递增，
成立，
即函数的值域是函数的值域子集；
，令，则，
，
则，
令，
又，当且仅当，即时等号成立，
所以，即有最大值．
所以值域为，
要使原方程成立，须满足：．
故的范围为．
【解析】由已知定义，类比可求的解析式，然后结合基本初等函数的单调性或单调性的定义即可证明函数的单调性；
问题转化为函数的值域是函数的值域子集，结合基本初等函数的性质及基本不等式可求．
本题主要考查了函数单调性的判断，还考查了函数性质及基本不等式在函数值域求解中的应用，属于中档题．
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