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2024年中考数学二轮专题复习（全国通用版）
——规律探索型专题
规律探索型问题重点考查学生的观察分析能力和归纳总结能力，常以选择题或填空题的形式出现，此类题一般是先给出一列数（式）或一组图形的前几项，让学生通过观察、猜想、验证，找到其中隐含的规律，然后运用所发现的规律解决问题，体现了由特殊到一般的思想方法.
类型一 数（式）的规律探索
例1 观察下列数据：，-，，-，，…，则第12个数是（　　）
A． B．- C． D．-
解析：从三个角度分析：①正负性，从左往右排序，奇数个为正，偶数个为负；②分子，分子是从1开始的连续正整数；③分母，分母是分子的平方加1．据此可知第12个数为负数，分子为12，分母为122+1=145，故选D．
例2 按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…，第n个单项式是（　　）
A．（2n-1）xn B．（2n+1）xn C．（n-1）xn D．（n+1）xn
解析：观察各单项式，其系数组是从1开始连续的正奇数，指数组是从1开始连续的正整数，所以第n个单项式是（2n-1）xn．故选A．
例3 正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列：
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
……
则第27行的第21个数是_________.
解析：由排列形式可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，……第n行有n个数，那么前n行共有个数，所以前27行共有=378个数．所以第27行的第21个数是第372个正偶数，即372×2=744．故填744．
归纳：1. 当所给的一组数字或式子的每一部分都是整数时，先观察这组整数是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列，还是某数列加（减）一个相同的数，或者某数列经过平方、平方加（减）1等运算后的数列，再对比序数，把每一部分与序数之间的关系用含序数的式子表示出来；然后看这组数字或式子的符号，若符号是正（+）、负（-）交替出现，则第n个数（式）的符号用（-1）n或（-1）n+1表示；按规律写出第n个式子后，用代入法检验是否正确．
2. 当所给的一组数字或式子既有分数（带分数）又有整数时，一般先把这组数（式）的所有整数、带分数都写成假分数，或者将复杂分数进行拆分计算，然后分别归纳分子和分母的数字规律，从而得出该组数（式）的规律．
3. 当所给的一组数字或式子有特殊的排列方式，如“S型”“杨辉三角型”，一般是寻找每行数（式）中首个或末尾数（式）与行序的变化关系，从而归纳出该组数（式）的规律．
附常见的数字变化规律：
①自然数列规律：0，1，2，3，4，…，n-1(n≥1)；
②正整数数列规律：1，2，3，4，5，…，n(n≥1)；
③奇数数列规律：1，3，5，7，…，2n-1(n≥1)；
④偶数数列规律：2，4，6，8，…，2n(n≥1)；
⑤正整数平方规律：1，4，9，…，n2(n≥1)．
跟踪训练
1．按一定规律排列的一组数据：，-，，-，，-，…，则按此规律排列的第10个数是（　　）
A．- B． C．- D．
2．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
……
若有序数对（n，m）表示第n行从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是________________．
3．观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为an，且满足+=．则a4=______________，a2022=________________．
4．观察以下等式：
第1个等式：（2×1+1）2=（2×2+1）2-（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2=（3×4+1）2-（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2=（4×6+1）2-（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2=（5×8+1）2-（5×8）2，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：_________________________；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
类型二 图形的规律探索
一、累加变化
例4 用正方形按如图1所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，……按此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（　　）
A．32 B．34 C．37 D．41
图1
解析：由图可知，第①个图案中正方形的个数为4+1=5；第②个图案中正方形的个数为4+1+4=9；第③个图案中正方形的个数为4+1+4+4=13；……第n个正方形的个数为4n+1；所以第⑨个图形中正方形的个数为4×9+1=37．故选C．
归纳：解决这类题目的一般步骤
①写序号，记每组图形的序数为1，2，3，…，n；
②数个数，数出每组图形中目标图形的数量；
③找关系，可以将图形的变化规律题转化成纯数字的变化规律题，通常将后一个数与前一个数进行比
对，可以作差（商）来观察是否有恒等量的变化，然后按照定量变化推导出第n个数，即目标图形数量与序数n的关系．或者观察目标图形横向、纵向的增减规律，用含序数n的式子表示出来．最后用代入法检验是否正确．
跟踪训练
5．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中“”的个数是__________．
…
第5题图
6．如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有_________．
…
第6题图
二、递推变化
例5 如图2，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2……如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBnCnDn的面积是（　　）
A． B．
C． D．
解析：如图2，连接A1C1，D1B1．因为A1，B1，C1，D1分别是矩形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，所以A1B1= B1C1= C1D1= A1D1，A1C1=BC，B1D1=AB，A1C1∥BC，B1D1∥AB．所以A1C1⊥B1D1．所以四边形A1B1C1D1是菱形，其面积是ab．因为A2，B2，C2，D2分别是菱形A1B1C1D1的边A1B1，B1C1，C1D1，A1D1的中点，所以A2B2=C2D2=A1C1，A2D2= B2C2=B1D1，C2D2∥A1C1，A2D2∥B1D1．所以C2D2⊥A2D2．所以四边形A2B2C2D2是矩形，其面积是A1C1×B1D1=ab．……依此可得，四边形AnBnCnDn的面积是，故选A．
例6 如图3，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4，…在x轴上，且OA1=1，OA2=2OA1，OA3=2OA2，OA4=2OA3，…，按此规律，过点A1，A2，A3，A4，…作x轴的垂线分别与直线y=x交于点B1，B2，B3，B4，…，记△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4，…的面积分别为S1，S2，S3，S4，…，则S2022=_____________．
解析：由题意，得OA1=1，OA2=2，OA3=4，…，OAn=2n-1．分别把x=1，x=2，x=4，…，x=2n-1代入直线y=x，得A1B1=．A2B2=2，A3B3=4，…，AnBn=2n-1．所以S1=OA1 A1B1=，S2=OA2 A2B2=×2×2=2，S3=OA3 A3B3=8，…，Sn=OAn AnBn=22n-3．所以S2022=24041，故填24041．
归纳：解决这类题目需要按次序逐一计算每个目标（如点的坐标、图形的面积、线段的长度等）的取值，结合相关图形的性质或函数的性质，由前一个目标的取值代入计算得到后一个目标的取值，然后观察目标取值与次序之间的关系，总结出变化规律．
跟踪训练
7．如图，线段AB=2，以AB为直径画半圆，圆心为A1，以AA1为直径画半圆①；取A1B的中点A2，以A1A2为直径画半圆②；取A2B的中点A3，以A2A3为直径画半圆③……按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为______________．
第7题图 第8题图 第9题图
8．如图，直线l：y=x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作BC1⊥l交x轴于点C1，过点C1作B1C1⊥x轴交l于点B1，过点B1作B1C2⊥l交x轴于点C2，过点C2作B2C2⊥x轴交l于点B2，…，按照如此规律操作下去，则点B2022的纵坐标是_________．
9．如图，过原点的两条直线分别为l1：y=2x，l2：y=-x，过点A（1，0）作x轴的垂线与l1交于点A1，过点A1作y轴的垂线与l2交于点A2，过点A2作x轴的垂线与l1交于点A3，过点A3作y轴的垂线与l2交于点A4，过点A4作x轴的垂线与l1交于点A5……依次进行下去，则点A20的坐标为___________．
三、周期变化
例7 如图4，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（　　）
A． B． C． D．
解析：因为△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，由360°÷90°=4可知，每4次为一个循环．又因为2022÷4=505……2，所以旋转2022次后的点A2022与旋转2次后的点A2重合．由题意知OA=AB=2，∠BAO=60°，∠APO=90°，所以∠AOP=30°．所以AP=1，OP=．所以A．因为点A2是点A绕点O顺时针旋转180°得到的，所以点A2与点A关于原点O对称，所以A2．所以第2022次旋转结束时，点A的坐标为，故选B．
归纳：解决这类题目的一般步骤
①观察图形位置变化的方式（平移、对称或旋转），计算最小周期n，即需要多少次才能循环一周；
②计算m÷n=p……q（0≤q＜n），则第m次变化后的图形位置就是周期变化中第q次变化后的图形位置；
③根据题意，计算出第q次变化后的图形位置即可．
跟踪训练
10．如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（　　）
A．4 B． C．2 D．0
第10题图 第11题图
11．如图，以O为端点画六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8，…，那么所描的第2013个点在射线____________上．
参考答案
规律探索题
1．A 2．（10，18） 3．
4．解：（1）（2×5+1）2=（6×10+1）2-（6×10）2
（2）第n个等式为(2n+1)2=[(n+1)×2n+1]2-[(n+1)×2n]2．
证明：右边=[(n+1)×2n]2+2×(n+1)×2n+12-[(n+1)×2n]2=4n2+4n+1=(2n+1)2=左边．故等式成立．
5．49 6．485 7．π
8． 解析：当x=0时，y=x+=；当 y=x+=0时，x=-3.所以A（-3，0），B.所以OA=3，OB=.所以tan∠BAO==.所以∠BAO=30°.因为BC1⊥l，所以∠C1BO=∠BAO=30°.所以BC1==2.因为B1C1⊥x轴，所以∠B1C1B=30°.所以B1C1==.同理，得B2C2=B1C1=，……依此规律，可得BnCn=.当n=2022时，B2022C2022=.
9．（210，-210） 解析：当x=1时，y=2x=2，所以A1（1，2）；当y=-x=2时，x=-2，所以A2（-2，2）；
同理，得A3（-2，-4），A4（4，-4），A5（4，8），A6（-8，8），A7（-8，-16），A8（16，-16），A9（16，32），…，所以A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）.所以点A20的坐标为（22×4+2，-22×4+2），即（210，-210）.
10．B 11．OC
图2
图3
图4
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