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专题提升十一
　等时圆模型和动力学中的临界问题
【情境一】图1中的物块由静止从光滑斜面顶端沿不同轨道下滑，滑到斜面底端所用的时间分别为????????、????????、????????，比较????????、????????、????????的大小，重力加速度为g。
?
结论1：“等高光滑斜面” 倾角为900时间最短；
一、等时圆模型
——斜面时间模型
第一类：等高斜面(斜面问题用不变量表示变化量)
由?????=????????a????????
?
a＝gsinθ
L＝????sin????
?
可得t＝ ?????????sin2???? =1?????????????????????????，
可知倾角越小，时间越长，图1中t1＞t2＞t3。
?
【情境二】图2中物块由静止从光滑斜面顶端沿不同轨道下滑，滑到斜面底端所用的时间分别为????1、????2、????3，比较????1、????2、????3的大小，重力加速度为g。
?
第二类：等底斜面
由????=????????a????????
?
a＝gsinθ
L＝????????????????????
?
结论2：“等底光滑斜面” 倾角为450时，下滑时间最短；
问1：斜面夹角分别为20°和70°时，静止释放时间谁大？
可得t＝???????????????????????????????????????????? =????????????sin???????? ，
可见θ＝45°时，时间最短，图2中：t1＝t3＞t2。
?
【情境三】一小环从竖直圆上的最高点沿不同光滑弦轨道，由静止滑到斜面底端所用时间分别为????1、????2、????3，比较????1、????2、????3的大小，圆半径为????，重力加速度为g。
?
1 2 3
????
?
第三类：竖直圆周内“同最高点” 的斜面
可推得t1＝t2＝t3
结论3：物体从“竖直圆环”上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到底端，所用时间相等=物体沿直径做自由落体运动所用时间。
【情境四】一小环从竖直圆上的不同位置沿光滑弦轨道由静止滑到圆的最低点，比较所用时间????1、????2、????3的大小，圆半径为R，重力加速度为g。
?
1 2 3
第四类：竖直圆“同最低点”的斜面
????
?
可得t1＝t2＝t3
结论4：物体从“竖直圆环”沿不同的光滑弦上端由静止下滑到圆环的最低点，所用时间相等=物体沿直径做自由落体运动所用时间。
结论5：物体从光滑斜面上端由静止滑到低端的时间都可以转化为沿等时圆直径做自由落体运动的时间。
问2：怎么找等时圆？
3.作等时圆：
①过顶点做一条竖直线；
②过斜面一端做垂线与竖直线交于一点，交点到最低（高）点的距离即为等时圆的直径。
t＝ ?????????sin2???? =1?????????????????????????
?
t＝???????????????????????????????????????????? =????????????sin????????
?
1.初始条件：
①多条相交的光滑斜轨道；
②由静止从一端滑到另一端；
2.设置顶点：
①下端相交：圆的最低点；
②上端相交：圆的最高点；
第五类：“双圆周” 内斜面
两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，物体沿不同光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等。t1＝t2。
【例1】(2021·全国甲卷)如图，将光滑长平板的下端置于铁架台水平底座上的挡板P处，上部架在横杆上。横杆的位置可在竖直杆上调节，使得平板与底座之间的夹角θ可变。将小物块由平板与竖直杆交点Q处静止释放，物块沿平板从Q点滑至P点所用的时间t与夹角θ的大小有关。若由30°逐渐增大至60°，物块的下滑时间t将( 　 )
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先增大后减小
D．先减小后增大
D
【练习】如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，A、M分别为此圆与y轴、x轴的切点，B点在y轴上且∠BMO＝60°，O′为圆心。现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，所用时间分别为tA、tB、tC，则(　　)
A.tA＜tB＜tC
B.tA＝tC＜tB
C.tA＝tC＝tB
D.由于C点的位置不确定，
故无法比较时间大小关系
B
【例2】如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心。每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环从O点无初速释放，一个滑环从d点无初速释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、ad到达a、b所用的时间，则下列关系正确的是（　　）
A．t1=t2=t3
B．t3>t1>t2C．t1＜t2＜t3
D．t2>t1=t3
D
二、动力学中的临界问题
1、发生分离的临界条件——接触面间的弹力恰好为零（ FN＝0）。
2、发生相对滑动的临界条件——静摩擦力达到最大（????静=????????）。
?
3、绳子断裂或松弛的临界条件——断裂： FT＝????????????????????；松弛：FT＝0。
?
4、速度最大或最小的临界条件——????=????（????=????????????????或????=?????????????????）
?
5、加速度最大或最小的临界条件——????合最大或????合最小
?
【例1】 如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球(重力加速度为g)。
(1)当滑块以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？
(2)当滑块以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力刚好等于零？
(3)当滑块以2g的加速度向左运动时，线上的拉力为多大(不计空气阻力)?
1、接触面发生分离的临界条件——接触面间的弹力恰好为零。
【情境】A:2m ，B:m，A与B、B与地面间动摩擦因数均为????，试判断板B是否会动？
?
A
B
????0
?
A
B
????(足够大)
?
32????????????
?
2、发生相对滑动的临界条件——静摩擦力达到最大（????静=????????）。
?
【变形】若A与B间：μ，B与地面间：12 μ ，试判断板B是否会动？
?
（2）若fABmax≤f地B，B不能被带动；
?
板能否动情况：（看板上下表面最大静摩擦力大小）
（1）若fABmax>f地B，B能被带动；
?
A
B
????(逐渐增大)
?
【情境2】A：2m、B：m， AB间：μ，B与地面间：12?μ ，在木板上施加逐渐增大的外力，当力F达到多大时，A、B开始一起运动？
?
①当????≤32????????????时， A、B相对地面静止；
?
④当 ????>92????????????时，A、B发生相对滑动；
?
【问题】为使A与B保持相对静止一起向右加速运动，则力F的最大值为多少？
②当 ????>32????????????时，A、B一起加速运动；
?
③当 32?????????????
2、发生相对滑动的临界条件——静摩擦力达到最大（????静=????????）。
?
发生滑动条件——????被动?
假设法
受“变化外力”作用下的板块问题，判断初速度相同时是否发生相对滑动方法
（2）临界条件：????静=????????，隔离法求????： 2????????????=2????????;
?
（1）假设无相对滑动，整体法求????：?????32????????????=3????????
?
A
B
????(逐渐增大)
?
32????????????
?
????
?
????静
?
????静=????????=2????????????
?
【例2】如图所示，A、B两个物体叠放在一起，静止在粗糙水平地面上，B与水平地面间的动摩擦因数μ1＝0.1，A与B间的动摩擦因数μ2＝0.2。已知A的质量m＝2 kg，B的质量M＝3 kg，重力加速度g取10 m/s2。现对物体B施加一个水平向右的恒力F，为使A与B保持相对静止，则恒力F的最大值是(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　 　)
A.20 N B.15 N C.10 N D.5 N
B
【情境3】A：2m、B：m， AB间：μ，B与地面间：12?μ ，在物块上施加逐渐增大的外力，当力F达到多大时，A、B开始一起运动？
?
A
B
????(逐渐增大)
?
①当????≤32??????????时， A、B相对地面静止；
?
②当 ????>32????????????时，A、B一起加速运动；
?
【问题】为使A与B保持相对静止一起向右加速运动，则力F的最大值为多少？
④当 ????>3????????????时，A、B发生相对滑动；
?
③当 32?????????????
“板能带动”的模型：随着F的逐渐增加一定是先一起加速，再出现相对滑动
【例3】(多)如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上。A、B间的动摩擦因数为????，B与地面间的动摩擦因数为13????。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g。现对A施加一水平拉力F，则(　 　)
A.当????<2????????????时，A、B都相对地面静止
B.当F= 52????????????时，A的加速度为12????????
C.当????>3????????????时，A相对B滑动
D.无论F为何值，B的加速度不会超过????????
?
BD
【例4】(多)如图所示，两个质量均为m的相同的物块叠放在一个轻弹簧上面，处于静止状态。弹簧的下端固定于地面上，弹簧的劲度系数为k。t＝0时刻，给A物块一个竖直向上的作用力F，使得两物块以0.5g的加速度匀加速上升，下列说法正确的是（ ）
A.A、B分离前合外力大小与时间的平方t2成线性关系
B.分离时弹簧处于原长状态
C.在????=2???????? 时刻A、B分离
D.分离时B的速度大小为g????2????
?
CD
连接体恰好脱离满足两个条件
(1)物体间的弹力FN＝0；
(2)脱离瞬间系统、单个物体的加速度仍相等。

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