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2024年九年级中考数学专题复习：圆的切线证明
1．如图，为直径，为上一点，的平分线交于点，过点作的延长线于点，直线与射线交于点．

(1)求证：为切线；
(2)若，，求的长．
2．如图．正方形顶点A，B在上．与交于点E，经过上一点P，且平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
3．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，半径为4，在圆O上取点P，使，求点P到直线的距离．
4．如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)如果，，求的长．
5．如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
6．如图，已知以的直角边为直径作，与斜边交于点D，E为边上的中点，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)若，的长是方程的两个根，求直角边的长．
7．如图，在 中，，以为直径的交 于点D，，垂足为点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若 ，，求图中阴影部分的面积．
8．如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
9．如图，为的直径，，为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
10．如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得．
(1)求证：直线是的切线．
(2)过点作于点，交于点，若的半径为2，，求图中阴影部分的面积．
11．如图，等腰的顶点A，C 在上， 边经过圆心0且与 交于D 点，.
(1)求证：是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积
12．如图，是外接圆的直径，是的切线，，点D在上．

(1)求证：是的切线．
(2)若的边，，I是的内心，求的长度．
13．如图，是的直径，是弦，点是上一点，，连接交于点，是延长线上的一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求弧的长度．
14．如图所示，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知．
(1)求证：是的切线；
(2)若时，求阴影部分的面积．
15．如图，是的直径，点D是的中点，，且，与交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若 ，求的长；
(3)延长，交于点F，若，求的半径．
16．如图，是直径，点C为劣弧中点，弦相交于点E，点F在的延长线上，，，垂足为G．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若时，，求的直径的长．
17．如图，以菱形的边为直径作交于点，连接，是上的一点，且，连接．

(1)当，时，求的长．
(2)求证：是的切线．
18．如图，以的边为直径作，分别交，于点，，点在上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的半径．
19．如图，在中，，点D是上一点，点O在上，以点O为圆心的圆经过C，D两点，连接，．
(1)求证：直线为的切线；
(2)若，的半径为2，求的长．
20．如图，是的直径，是上的两点，且，交于点，点在的延长线上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，．
①求的长；
②求的半径．
参考答案：
1．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接，证明，即可．
（2）连接，证明，结合勾股定理，求得，再证明列出比例式计算即可．
【详解】（1）证明：连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为切线．
（2）解：连接，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理以及平行线的判定及性质，熟练掌握切线的判定和相似是解题的关键．
2．(1)见解析
(2)1
【分析】（1）连结，则，而，则，所以，则，即可证明是的切线；
（2）连接，由，证明是的直径，则，由，得＝1，因为，所以，则，再证明，则，即可求得．
【详解】（1）证明：连结，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
（2）解：连接，
∵，
∴是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的长为1．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)或
【分析】（1）连接，可得，从而可证，即可求证；
（2）①过点作交的延长线于点，并连接、，，过作交于，可求，从而可求，，进而可求，即可求解；②连接，，，过点作交于点，连接，同理可求，，可证，可得与重合，可求，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，

，
，
是的平分线，
，
，
，
，
点在上，
是的切线；
（2）解：①如图，过点作交的延长线于点，并连接、，，过作交于，

，，
，，
，
是的平分线，
，
，
，，
，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
，
点到直线的距离是；
②如图，连接，，，过点作交于点，连接，

同理可求，
，
，
，
，
与重合，
，
在中，，，
，
，
，
点到直线的距离是；
综上所述：或．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的特征，根据题意作出辅助线，掌握相关的性质是解题的关键．
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，，利用圆周角定理，垂径定理，同圆的半径线段，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用勾股定理在中求出，同理求出，，利用切线的性质及勾股定理建立等式解答即可．
【详解】（1）证明：连接、，如图所示：
是的直径，
，，
，
平分弦，平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
半径，
是的切线；
（2）解：，，
在（1）的结论中有，，
在中，，则，
在中，，
在中，，则，
，
在中，，
是的切线，
，
在中，，
，
解得，
．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
5．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理等，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．
（1）由直径所对的圆周角为直角得到为直角，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到与垂直，即可得证；
（2）在中，由勾股定理得，由，，可知垂直平分，得，再利用勾股定理杰克求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
圆心在上，
是的直径，
，
平分，
，
，
，即，
∵，
，
为的半径，
是的切线；
（2）解：在中，由勾股定理得，
∵，，
则垂直平分，
，
为的直径，
，
在中，，即，
．
6．(1)证明详见解析；
(2)．
【分析】（1）连接，，如图，利用圆周角定理得，再根据直角三角形斜边上的中线性质得，所以，然后证明，从而可判断是的切线；
（2）利用因式分解法解方程得到，，再证明，利用相似比可计算出，然后利用勾股定理计算的长．
【详解】（1）证明：连接，，如图，

∵是的直径，
∴，
∴为直角三角形，
∵为边上的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴是的切线；
（2）解：解方程得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
7．(1)证明见详解；
(2)；
【分析】（1）本题考查切线的证明，连接，根据得到，结合得到即可得到，从而得到，即可得到证明；
（2）本题考查求不规则图形的面积，等腰三角形的性质，根据等腰三角形性质求出及圆心角，根据直角三角形角所对直角边等于斜边一半求出半径，即可得到答案；
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：连接，过作，
∵是的直径，
∴，
∵，， ，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理得，
，
解得：，
∴，
∴．
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线；
（2）连接，由是的直径，得，由30度角的性质可求出，根据勾股定理求出，然后再由30度角的性质即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接．
，．
．
．
．
，
．
是的半径，
是的切线．
（2）如图，连接，
是的直径，
．
，，
，．
在中，．
．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的判定定理，圆周角定理，30度角所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等．
（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，推出，得到，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理求得，然后利用含直角三角形的性质求得，则有，再利用含角的直角三角形的性质即可作答．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
∴，
，
，而为半径，
是的切线；
（2）解：为的直径，
，
，，
∴，
即，
，
．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线判定，等腰三角形性质，圆周角定理
（1）根据题意连接，可知，可知是等腰三角形，，继而可证；
（2）连接，过点作，根据题意可知即可得知为等边三角形，再求出扇形面积减去的面积即为阴影面积．
【详解】（1）解：连接，
，
∵，是的直径，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
（2）解：连接，过点作，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴的面积：，
∴扇形面积：，
∴阴影面积为：．
11．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）连接，由，，可得，由，可得，即可求证；
（2）在中，利用勾股定理可求得，再根据，即可求解.
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是圆O的切线．
（2）解：∵，，
∴
∵，
∴
∴
∴．
【点睛】此题主要考查切线的判定定理、直角三角形的性质、勾股定理、扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键.
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，，证明，是的垂直平分线，再证明，可得，可得是的切线．
（2）如图，过作于，作于，作于，则，求解，，，证明四边形为正方形，求解，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，，

∵为的直径，
∴，
∵，
∴，是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴是的切线．
（2）如图，过作于，作于，作于，

则，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质与判定，三角形的内心的性质，勾股定理的应用，正方形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
13．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了切线的判定，求弧长；
（1）如图，连接，．证明即可；
（2）设的半径为 ，在中，勾股定理可得，再根据弧长公式可解决问题．
【详解】（1）证明：连接
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
是的切线 ．
（2）设的半径为 ，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
解得：，
∴弧的长为．
14．(1)见详解
(2)
【分析】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识；
（1）如图1，连接，由等腰三角形的性质可证，由直角三角形的性质可求，可得结论；
（2）分别求出的长度和的度数，再由可求解；
【详解】（1）解：如图1，连接，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）∵
过O作，
则，
15．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先证明，再证明，，证明，从而可得结论；
（2）连接， 证明，可得，由，可得在中，，从而可得答案；
（3）连接，证明，可得，而，可得，证明，可得，而，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵为直径，点C在圆上，
∴，
∴，
又，
∵，
∴，
∴，
∴，即，又点A在上
∴是的切线；
（2）连接，∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵为直径，点D在圆上，
∴，
而，
∴，
在中，，
∴；
（3）连接，
∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，而，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，
，而，
∴．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)的直径的长为
【分析】（1）作于点H，连接，根据等弧所对的圆周角相等和等腰三角形的性质（三线合一），可以证明结平分，再根据角平分线的性质和同角的余角相等可证出，进而可证出，进而即可证；
（2）根据（1）中的结论和，可以证明结论成立；
（3）由和锐角三角函数可以求得的值，然后利用勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）如图，作于点H，连接，
∴，
∵点C为劣弧中点，
∴，
∴，
∵
∴
∵，，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
（2）由（1）知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴是的切线；
（3）∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴
【点睛】本题是一道圆的综合题目，考查圆周角定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质和锐角三角函数，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．(1)
(2)见解析
【分析】（1）连接，根据是的直径，得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理，即可求解；
（2）连接，根据是直径，得出，求出，根据菱形的性质得出，，证明，得出，根据平行线的性质得出，得出，即可证明结论．
【详解】（1）解：连接，如图所示，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，则，
∴
（2）证明：连接，如图所示：

∵是直径，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为直径，
∴是的切线．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，三角形全等的判定和性质，菱形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定方法．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，先证明，再证明，从而可得结论；
（2）如图，连接，证明，可得，在中，，设，则，求解，利用勾股定理可得，从而可得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）如图，连接，
∵，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
的半径为．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了切线的判定，锐角三角形函数，勾股定理等；
（1）连接，先证，再由得，进而得，然后根据切线的判定可得出结论；
（2）由（1）得，，在中，，由此可求出，再由勾股定理求出，则，在中，由得，进而再由勾股定理可求出的长．
【详解】（1）连接OD，
∵，
∴．
设，
∴．
∵，
∴．
在中，．
∴．
∴．
∴．
在中，∵OD是半径，
∴AB为的切线．
（2）由（1）可知：，，
，
，
在中，，
又的半径为2，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
在中，由，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
20．(1)见解析；
(2)①5；②．
【分析】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形．
（1）利用圆周角定理，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）①利用等腰三角形的三线合一和直角三角形的性质求出，，在中，利用余弦的定义进行计算即可；②在中，利用余弦的定义求出，即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
．
为的直径，
，
，
．
，
，
是圆的半径，
是的切线；
（2）解：①由（1）得：，
是的直径，
，
，
，
，
在中，，
；
②在中，，
在中，，
，
的半径为．

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