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新高考新试卷结构高三不等式二轮压轴考点总结
考点一：利用不等式的性质求最值
解题思路：常见不等式① a b ≤ a± b ≤ a+ b ② a≥ b,c≥ d a+ c≥ b+ d③ a≥ b> 0,c≥ d> 0
ac≥ bd
【精选例题】
1 (2024新高考九省联考试题)以maxM表示数集M中最大的数．设 0< a< b< c< 1，已知 b≥ 2a或 a
+ b≤ 1，则max b- a,c- b,1- c 的最小值为 ．
2 ( 2022 江苏校考阶段练习 ) 定义 ：max x,y 为实数 x , y 中较大的数．若 a , b , c > 0，则
max 1 + b,
1 + bc, a + c 的最小值为 ．ac a b
3 (2023浙江统考一模)设 α,β,γ为互不相等的三个实数，且 α+ β+ γ= kπ,k∈ Z，则有
A. sinα+ sinβ+ sinγ≥ 1 B. sinα + sinβ + sinγ ≥ 1
C. cosα+ cosβ+ cosγ≥ 1 D. cosα + cosβ + cosγ ≥ 1
1 2 2 1
4 (2024上·安徽合肥·高一合肥一中校考期末)已知正数 a,b满足 a≥ + ,b≥ + ，则 ( )
a b a b
A. ab≥ 3 B. (a+ b)2≥ 12 C. 1 + 1 ≥ 2 3 D. 1 + 1 < 2
a b 3 a b
2 5
5 已知 x，y为实数，满足 2≤ xy2≤ 3，3≤ x ≤ 4 x，则 的最大值是 ，此时 x+ y= .
y y5
1
6 (2023江苏高三阶段练习)设 a> 0，b> 0，a≤ 2b≤ 2a+ b 2ab，则 的取值范围为 ．
a2+2b2
7 (2023河北保定统考一模)若 f(x)是定义在R上的函数，且对任意 x∈R都有 f(x+ 4)≤ f(x) + 4，f(x+
2)≥ f(x) + 2，且 f(-1) = 0，则 f(101) =
【跟踪训练】
1 (2015上海浦东新高一上海市建平中学校考期中)设 x，y是正实数，记S为 x，y+ 1 1， 中的最小
x y
值，则S的最大值为 .
2 (2018上海高一上海中学校考期中)定义min a1,a2, ,an 表示 a1，a2， ，an中的最小值，
max a1,a2, ,an 表示 a1，a2， ，an中的最大值.则对任意的 a> 0，b> 0，min max 1 , 1 ,a2+b2 的值a b
为 ．
3 (2024全国高三专题练习) x∈ 3当 ,4

时，不等式 ax
2+bx+ 4a ≤ 2x恒成立，则 6a+ b的最大值
2
是 ．
a, a≥ b4 (2023浙江绍兴统考二模)定义max a,b = ,
-1≤ x≤ 1
若实数 x,y满足 - ,则b, a< b 1≤ y≤ 1
max 2x+ 1 , x- 2y+ 5 的最小值为 ．
2
5 (2024湖北武汉高三阶段练习)记min{a,b,c}为 a,b,c中的最小值，若 x,y为任意正实数，则M=
min 2x, 1 ,y+
1 的最大值是
y x
A. 1+ 2 B. 2 C. 2+ 2 D. 3
6 (2023浙江宁波高三)记M x,y,z 为 x,y,z三个数中的最小数，若二次函数 f x = ax2+bx+ c(a,b,
c> 0) b+ c有零点，则 M , c+ a , a+ ba b c 的最大值为
A. 2 B. 5 C. 3 D. 1
4 2
7 (2023 b江苏南京校考阶段练习)已知正数 a,b,c满足 a+ 2b≥ c，则 + a+ 的最小值为 .a 2b c
8 (2023全国高三课时练习)已知实数 x、y满足-4≤ x- y≤-1，-1≤ 4x- y≤ 5，则 3x+ y的最大值
为 .
考点二：基本不等式的应用
解题思路：①常见不等式：x+ y≥ 2 xy x> 0,y> 0 ， x+ y 2≥ 4xy x,y∈R ，x2+y2≥±2xy
ax= dcosθ
②三角换元：遇到Ax2+By2+Cxy=D，配凑成 ax 2+ bx cy 2= d，可设 bx cy= dsinθ
Ax2+By2
③遇到 结构，可同除 y2
Cx2+Dxy+Fy2
【精选例题】
1 (2024上·云南昆明·高二统考期末)已知 x> 0,y> 0,x+ y+ xy= 3，则 ( )
A. x+ y≥ 2 B. xy≤ 1 C. x2+y2≥ 4 D. 1 + 1 ≥ 2
x y
3
2 (2024· 8云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测)若 x，y满足 (x+ y)2- xy= 2，则 ( )
3
A. -x+ y≥- 3 B. -x+ y≤ 2 C. xy≤ 1 D. xy≥- 3
4
3 (2024上·河南三门峡·高一统考期末)已知 x> 0，y> 0，且 x+ 2y= xy．则下列选项正确的是 ( )
A. x> 2且 y> 1 B. x+ y≥ 3+ 2 2
C. x- 2 2+ y- 1 2≥ 4 D. log2x+ log2 2y ≥ 5
3
4 (2024上·浙江宁波·高三镇海中学校考期末)设实数 x，y满足 x> ，y> 3，不等式 k 2x- 3 y- 3 ≤
2
8x3+y3-12x2-3y2恒成立，则实数 k的最大值为 ( )
A. 12 B. 24 C. 2 3 D. 4 3
2
5 (2024上 · 1 x甘肃兰州 ·高一西北师大附中校考期末)对任意实数 x > 1,y > ，不等式 +
2 a2 2y- 1
4y2 ≥ 1恒成立，则实数 a的最大值 ( )
a2 x- 1
A. 2 B. 4 C. 14 D. 2 2
2
【跟踪训练】
1 (2024上·湖南长沙·高一长郡中学校考期末)设正实数 a,b满足 a+ b= 1，则 ( )
A. ab≥ 1 B. a+ b≤ 2 C. a2+b2≥ 1 D. 1+ +
1 ≥ 4
4 2 a 1 b+ 1 3
4
2 (2024全国高三阶段练习)已知 x,y> 0,x3+y3- 1 x- 1 y= 3，则 13x+ y的最大值是 ( )
4 4
A. 15 B. 18 C. 20 D. 24
3 (2022上·江苏徐州·高一校考阶段练习)设正实数 x,y,z满足 x2-3xy+ 4y2- = xyz 0，则当 取得最大
z
2 1 2
值时， + - 的最大值为 ( )
x y z
A. 9 B. 1 C. 9 D. 3
4
4 (2024上·广东广州·高一华南师大附中校考期末)由知实数 a，b满足 a2+4b2= 2，则 ( )
A. ab 1的最大值为 B. a+ b的最大值为 2 3
2
C. a- b∈ - 10 , 10 D. a> 0,0< b< 2 ab 2 当 时， + 的最大值为2 2 4 a 2b 4
考点三：指数对数与不等式相结合
解题思路：①指对数转换 ax= b x= log 1ab，②换底公式 logab= logba
x- 1 1
③常见不等式放缩 2× + ≤ lnx≤ x- x≥ 1 ，1
1 ≤ lnx≤ x 1，ex≥ x+ 1
x 1 x x
【精选例题】
1 (2024· · ) 2x-4y全国 模拟预测 若 = 2，x，y∈R，则 x- y的最小值为 ( )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 4
2 2 4
2 (2024·全国·模拟预测)若 a+ lnb= b+ lna a> 0,b> 0,a≠ b ，则 ( )
A. a- b> 0 B. a- b< 0
C. a- 1 b- 1 < 0 D. a- 1 b- 1 > 0
5
3 (2022上·山西长治· y高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习)已知正数 x,y,z满足 3x= 4 = 12z，则
( )
A. 3x> 4y> 12z B. 4y> 3x> 6z C. xy< 4z2 D. x+ y< 4z
4 (2024上·福建泉州·高一统考期末)已知 x> 0,y> 0,2x+ y= 1，则 ( )
A. 4x+2y的最小值为 2 2 B. log2x+ log2y的最大值为-3
2 2
C. y- x- xy 2x的最小值为 -1 D. + +
y 1
x 2 y+ 的最小值为1 6
【跟踪训练】
1 (2024·重庆·统考一模)已知 3a= 5b= 15，则下列结论正确的是 ( )
1 a 1 bA. lga> lgb B. a+ b= ab C. 2 > D. a+ b> 42
2 (2024江苏苏州统考期末)已知 x> 0，y> 0，且 x+ 2y= 4，则 ( )
2 2
A. lnx+ lny≤ ln2 B. 2x+4y< 8 C. 1 + 2 ≥ 9 D. ex≥ e8-4y
x y 4
3 (2023·海南海口·校考模拟预测)已知 x，y z 2x= 3y， 都为正数，且 = 6z，则 ( )
A. xy> 4z2 B. 1 + 1 < 1 C. x+ y> 4z D. x+ y< 5z
x y z
6
考点四：与三角形三边相关的不等式问题
1 (2024上· 1重庆·高一重庆八中校考期末)已知函数 f x = x+ - a + 1，对任意实数 x1,x2,x ∈ 1 x 3 ,3 ，3
使得以 f x1 ，f x2 ，f x3 数值为边长可构成三角形，则实数 a的取值范围为 .
2 (2019·全国·高三竞赛)已知 x> 0，y> 0，a= x+ y，b= x2+xy+ y2，c=m xy.若 a，b，c构成三角形
的三边，则m的取值范围是 .
【跟踪训练】
1 (2018·全国·高三竞赛)设 a= x2-xy+ y2,b= p xy,c= x+ y,若对任意的正实数 x,y,都存在以 a,
b,c为三边长的三角形,则实数 p的取值范围是 ．
2 (2021下· a+ b上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习)设 0< b< a< 4b,m> 0，若三个数 ,
2
a2+b2-ab,m ab能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围为 ( )
A. 13 5 - ,1

B. (1, 3) C.
13
-
5 ,2 D. ( 3,2)2 4 2 4
a+ c
3 (2022·浙江丽水·高三统考竞赛)△ABC的边分别为 a，b，c，且满足 ab= c2，则 的取值范围为
b
.
7新高考新试卷结构高三不等式二轮压轴考点总结
考点一：利用不等式的性质求最值
解题思路：常见不等式① a b ≤ a± b ≤ a+ b ② a≥ b,c≥ d a+ c≥ b+ d③ a≥ b> 0,c≥ d> 0
ac≥ bd
【精选例题】
1 (2024新高考九省联考试题)以maxM表示数集M中最大的数．设 0< a< b< c< 1，已知 b≥ 2a或 a
+ b≤ 1，则max b- a,c- b,1- c 的最小值为 ．
1
【答案】
5
b= 1-n- p
【详解】令 b- a=m,c- b=n,1- c= p,其中m,n,p> 0，所以 = - - - ，若 b≥ 2a，则 b= 1-na 1 m n p
- p≥ 2 1-m-n- p ，故 2m+n+ p≥ 1，令M=max b- a,c- b,1- c =max m,n,p ，因此
2M≥ 2m M≥n ,故 4M≥ 2m+n+ p≥ 1,则M≥
1
，若 a+ b≤ 1，则 1-n- p+ 1-m-n- p≤ 1，即m+
M≥ 4p
2n+ 2p≥ 1，
M≥m
M=max b- a,c- b,1- c =max m,n,p ，则 2M≥ 2n,故 5M≥m+ 2n+ 2p≥ 1, M≥
1
则 ，当且仅
5
2M≥ 2p
1 1
当m+ 2n+ 2p= 1且max m,n,p = 时等号成立，如取m=n= p= 时可满足等号成立，综上可知
5 5
max b- a,c- b,1- c 1 1 的最小值为 ，故答案为：
5 5
2 ( 2022 江苏校考阶段练习 ) 定义 ：max x,y 为实数 x , y 中较大的数．若 a , b , c > 0 ，则
max 1 + b,
1 + bc, a + c 的最小值为 ．ac a b
【答案】2
1 1 a
【详解】设M=max + b, + bc, + c
1 1
，则由题意可得M≥ + b> 0,M≥ + bc> 0,M≥
a + c
ac a b ac a b
> 0，
1因为 + b c= 1 + bc 1 1 1 a，所以①当 c≥ 1时， + bc≥ + b> 0，只需考虑M≥ + bc,M≥ + c，ac a a ac a b
M≥ 1所以 + bc≥ 1 + b≥ 2 b a a，M≥ + c≥ + 1≥ 2 a ，所以M 2≥ 2 b × 2 a = 4，可得M
a a a b b b a b
≥ 2，当且仅当 a= b= c= 1 1时取等号；②当 0< c< 1时，0< + bc< 1 + b，只需考虑M≥ 1 + b,M
a ac ac
≥ a + c，
b
所以M 2≥ 1 + b a + c = a+ 1 + 1 + bc≥ 2 a× 1 + 2 1 × bc= 4，可得M≥ 2，当且仅当 aac b a bc a bc
= 1,bc= 1时取等号.综上所述，M的最小值为 2.故答案为：2.
3 (2023浙江统考一模)设 α,β,γ为互不相等的三个实数，且 α+ β+ γ= kπ,k∈ Z，则有
A. sinα+ sinβ+ sinγ≥ 1 B. sinα + sinβ + sinγ ≥ 1
1
C. cosα+ cosβ+ cosγ≥ 1 D. cosα + cosβ + cosγ ≥ 1
【答案】D
【详解】∵ α+ β+ γ= kπ,k∈ Z，∴ cos α+ β+ γ = 1．
∵ cos α+ β+ γ = cos α+ β+ γ = cosαcos β+ γ - sinαsin β+ γ ≤ cosαcos β+ γ +
sinαsin β+ γ
≤ cosα + sin β+ γ ，又 sin β+ γ = sinβcosγ+ cosβsinγ ≤ sinβcosγ + cosβsinγ
= sinβ cosγ + cosβ sinγ ≤ cosγ + cosβ ，∴ cos α+ β+ γ = 1≤ |cosα +|cosβ + cosγ ，即
|cosα +|cosβ + cosγ ≥ 1．
故选D．
4 (2024上· 1 2 2 1安徽合肥·高一合肥一中校考期末)已知正数 a,b满足 a≥ + ,b≥ + ，则 ( )
a b a b
A. ab≥ 3 B. (a+ b)2≥ 12 C. 1 + 1 ≥ 2 3 D. 1 + 1 < 2
a b 3 a b
【答案】ABD
3 a+ b
【详解】对于A，∵ a≥ 1 + 2 ,b≥ 2 + 1 ,a> 0,b> 0,∴ a+ b≥ 3 + 3 = 1≥ 3 ，所以 ab≥
a b a b a b ab ab
3,A选项正确；
3 3
对于B，由题 a+ b 2≥ +a b a+ b
a
= 3 2+ + b ≥ 3× 2+ 2 a b = 12，当且仅当 a= b=b a b a
3 1 1 2 3等号成立，故B选项正确；对于C，可取特殊值 a= b= 2满足题意，则 + = 1< ，故C选项错
a b 3
误；对于D ∵ a≥ 1， + 2 ,b≥ 2 + 1 ,a> 0,b> 0,∴ a> 1 ,b> 1 a2> 1,b2> 1，即 a> 1,b> 1 1，则 +
a b a b a b a
1 < 2，故D正确.故选：ABD
b
x2 5
5 已知 x，y为实数，满足 2≤ xy2≤ 3，3≤ ≤ 4 x，则 的最大值是 ，此时 x+ y= .
y y5
【答案】 32 3
x2 x2 3 2 3
【详解】∵ 3≤ ≤ 4，∴ 27≤ ≤ 64.∵ 2≤ xy2≤ 3 ∴ 1 ≤ 1 1 x， ≤ .由不等式的性质，得 9≤y y 3 xy2 2 y
1 ≤ 32，
xy2
5 5 x
2
x = 4
即 9≤ ≤ 32 x，故 的最大值为 32，此时 y ，即
x= 2
= ，∴ x+ y= 3.故答案为：32；3.y5 y5 xy2= 2 y 1
6 (2023江苏高三阶段练习)设 a> 0，b> 0，a≤ 2b≤ 2a+ b 2ab，则 的取值范围为 ．
a2+2b2
【答案】 4 ,
2 ；9 2
a≤ 2b
【详解】根据 a> 0 b> 0 1 a 2ab 2 a 1， ，由 ≤ + 求得 ≤ ≤ 2， = ，令 = t∈
,2 ，则 t+
2b 2a b 2 b a2+2b2 a 2b b 2
b + a
2 ∈ 2 2,
9 ，
t 2
2
2
所以 ∈ 4 22 ,
4 ，故答案是 ,
2 .
t+ 9 2 9 2 t
7 (2023河北保定统考一模)若 f(x)是定义在R上的函数，且对任意 x∈R都有 f(x+ 4)≤ f(x) + 4，f(x+
2)≥ f(x) + 2，且 f(-1) = 0，则 f(101) =
【答案】102.
【详解】因为 f(x+ 2)≥ f(x) + 2，所以 f(x+ 4) = f(x+ 2+ 2)≥ f(x+ 2) + 2≥ f(x) + 2+ 2，即 f(x+ 4)≥
f(x) + 4，又 f(x+ 4)≤ f(x) + 4，所以 f(x+ 4) = f(x) + 4，所以 f(101) = f(97) + 4= f(93) + 4× 2= f(89)
+ 4× 3= = f(1) + 4× 25，因为对任意 x∈R都有 f(x+ 2)≥ f(x) + 2，且 f(-1) = 0，所以 f(-1+ 2)≥ f(
-1) + 2，即 f(1)≥ 2，f(1+ 2)≥ f(1) + 2，即 f(3)≥ f(1) + 2由 f(x+ 4) = f(x) + 4知 f(-1+ 4) = f(-1) +
4，所以 f(3) = 4，所以 f(1)≤ 2，所以 f(1) = 2，所以 f(101) = 2+ 100= 102．故答案为：102
【跟踪训练】
1 (2015 1 1上海浦东新高一上海市建平中学校考期中)设 x，y是正实数，记S为 x，y+ ， 中的最小
x y
值，则S的最大值为 .
【答案】 2
【详解】方法一：设 a= x> 0,b= 1 > 0,c= y+ 1 = 1 + 1 > 0，当 a= b= c= 1 + 1 时，a= b= 2，不
y x b a b a
a≤ b S=min a,b, 1 + 1妨设 ， ①当 a= b= 2 时，S=min a,b,
1 + 1 = 2 ②当 0< a≤ 2≤ bb a b a
S=min a,b, 1 + 1 =min a, 1 + 1 a≤ 1 + 1 min a, 1 + 1 = a≤ 2 a> 1 1时， ，若 ，则 ；若 + ，b a b a b a b a b a
min a, 1 + 1 1 1则 = + < a≤ 2；③当 0< a≤ b≤ 2
1 ≥ 2 , 1 ≥ 2 c= 1 + 1时， ， ≥ 2，S
b a b a a 2 b 2 b a
=min 1 1 1 2 1 2 1 1 a,b, + = a≤ 2；④当 2≤ a≤ b时， ≤ , ≤ ，c= + ≤ 2，b a a 2 b 2 b a
S=min a,b,
1 + 1 1 1 = + ≤ 2，同理，当 a> b时，可以证明S≤ 2 综上所述：S的最大值为 2.b a b a
1 1 1 1 1 1 1 2
方法二：由题意知 0y x S S x S S S
≤ 2，故S的最大值为 2.故答案为： 2
2 (2018上海高一上海中学校考期中)定义min a1,a2, ,an 表示 a1，a2， ，an中的最小值，
max a1,a2, ,an 表示 a1，a2， ，an中的最大值.则对任意的 a> 0，b> 0，min max
1 1
, ,a
2+b2 的值
a b
为 ．
【答案】3 2
1 1
【详解】设max , ,a
2+b2 =m，∵ a、b> 0，∴m≥ 1 ，m≥ 1 ，m≥ a2+b2 1，即 a≥ ，b≥ 1 ，可得 a2
a b a b m m
+b2≥ 2 ，
m2
∴m≥ 2 ，∴m≥ 3 2，即有m的最小值为 3 2，故答案为 3 2．
m2
3 (2024 3全国高三专题练习)当 x∈ ,4 时，不等式 ax
2+bx+ 4a ≤ 2x恒成立，则 6a+ b的最大值
2
是 ．
【答案】6
3
2
【详解】解：∵ x∈ 3 ,
ax +bx+ 4a
4 时，不等式 ax
2+bx+ 4a ≤ 2x 4a恒成立，∴ ≤ 2，即 ax+ b+ ≤2 x x
2．
设 f x
4a 4 3 4 3
= ax+ b+ = a x+ + b，x∈ ,4 ，因为 g x = x+ 在 ,2 上单调递减，在 2,4 上单x x 2 x 2
调递增，g 2 = 4，g 3 = 25 ，g 4 = 5，所以 g x ∈ 4 4,5 ，即 x+ ∈ 4,5 ，∵ f x ≤ 2，∴2 6 x
-2≤ 4a+ b≤ 2 - ≤ ，2 5a+ b≤ 2
∴ 6a+ b=- 4a+ b + 2 5a+ b ，∴-6=-2+ 2× -2 ≤ 6a+ b=- 4a+ b + 2 5a+ b ≤ 2+ 2× 2= 6，
即-6≤ 6a+ b≤ 6，∴ 6a+ b的最大值为 6；故答案为：6．
a, a≥ b
4 ( -1≤ x≤ 12023浙江绍兴统考二模)定义max a,b = ,若实数 x,y满足 - ≤ ≤ ,则b, a< b 1 y 1
max 2x+ 1 , x- 2y+ 5 的最小值为 ．
【答案】2
- + 2- + 2= - + - - + ∵ -1≤ x≤ 1【详解】 x 2y 5 2x 1 3x 2y 6 x 2y 4 ， - ≤ ≤ ，∴ 3x≥-3,-x≥-1,-y≥1 y 1
-1,-2y≥-2，
∴ 3x- 2y+ 6≥-3- 2+ 6= 1> 0,-x- 2y+ 4≥-1- 2+ 4= 1> 0，∴ 3x- 2y+ 6 -x- 2y+ 4 > 0，
∴ x- 2y+ 5 2- 2x+ 1 2> 0，∴ x- 2y+ 5 2> 2x+ 1 2，∴ x- 2y+ 5 > 2x+ 1 ，∴
max 2x+ 1 , x- 2y+ 5 = x- 2y+ 5
∵ y≤ 1,∴-2y≥-2，结合 x≥-1，得 x- 2y+ 5≥-1- 2+ 5= 2∴ x- 2y+ 5 = x- 2y+ 5≥ 2(当 x=-1,
y= 1时取得等号)，∴max 2x+ 1 , x- 2y+ 5 的最小值为 2.故答案为：2
5 (2024湖北武汉高三阶段练习)记min{a,b,c}为 a,b,c中的最小值，若 x,y为任意正实数，则M=
min 2x,
1 ,y+ 1 的最大值是y x
A. 1+ 2 B. 2 C. 2+ 2 D. 3
【答案】D
1 1 2 1 1 1 2
【详解】由题意知 0y x M M x M M
3，故M的最大值为 3.故选D
6 (2023浙江宁波高三)记M x,y,z 为 x,y,z三个数中的最小数，若二次函数 f x = ax2+bx+ c(a,b,
c> 0) b+ c c+ a a+ b有零点，则 M , , 的最大值为a b c
A. 2 B. 5 C. 3 D. 1
4 2
【答案】B
【详解】可以不妨设 a≥ b≥ c> 0，因为 b2≥ 4ac，所以 a2≥ b2≥ 4ac b，故 ≤ 1,0< c ≤ 1 b+ c，所以 -
a a 4 a
c+ a = (b- a) (a+ b+ c) ≤ b+ c - a+ b = (c- a) (a+ b+ c)0 ≤ 0 b+ c c+ a a+ b， ，所以M , , =
b ab a c ac a b c
(b+ c) ≤ 1+ 1 = 5 (当且仅当 a= b= 4c> 0时取等号)，故选B．
a 4 4
7 (2023 b a江苏南京校考阶段练习)已知正数 a,b,c满足 a+ 2b≥ c，则 + 的最小值为 .
a 2b+ c
4
3
【答案】
4
a+ 2b≥ c> 0 b + a ≥ b + a = b【详解】因为 ，故 + + +
1 .
a 2b c a 4b a a 4 ba + 1
b + 1又 = 1 4 b + 1 + 1 - 1 ≥ 2 1 4 b + 1 1 - 1 = 3 1，当且仅当 4 b + 1a 4 b + 1 4 a 4 b + 1 4 4 a 4 b + 1 4 4 4 a a a a
= 1 b = 1 b a 3 3，即 时等号成立.故 + 的最小值为 .故答案为： .
4 b + 1 a 4 a 2b+ c 4 4a
8 (2023全国高三课时练习)已知实数 x、y满足-4≤ x- y≤-1，-1≤ 4x- y≤ 5，则 3x+ y的最大值
为 .
【答案】16
m=- 7
【详解】设 3x+ y=m x- y +n 4x- y = m+ 4n x- + m+ 4n= 3 m n y，所以， 3 m+n=- ，解得1 ，n= 43
3x+ y= 4 7所以， 4x- y - x- y ，因为-4≤ x- y≤-1，-1≤ 4x- y≤ 5 4，则- ≤ 4 4x- y ≤
3 3 3 3
20 7
， ≤- 7 x- y ≤ 28 ，因此，1≤ 3x+ y≤ 16.所以，3x+ y的最大值为 16.故答案为：16.
3 3 3 3
考点二：基本不等式的应用
解题思路：①常见不等式：x+ y≥ 2 xy x> 0,y> 0 ， x+ y 2≥ 4xy x,y∈R ，x2+y2≥±2xy
②三角换元：遇到Ax2+By2+Cxy=D，配凑成 ax 2+
ax= dcosθ
bx cy 2= d，可设 bx cy= dsinθ
Ax2+By2
③遇到 结构，可同除 y2
Cx2+Dxy+Fy2
【精选例题】
1 (2024上·云南昆明·高二统考期末)已知 x> 0,y> 0,x+ y+ xy= 3，则 ( )
A. x+ y≥ 2 B. xy≤ 1 C. x2+y2≥ 4 D. 1 + 1 ≥ 2
x y
【答案】ABD
x+ y 2
【详解】因为 x> 0,y> 0,x+ y+ xy= 3，对于选项A，3= x+ y+ xy≤ x+ y+ ，当且仅当 x= y2
= 1 时等号成立；得 (x+ y)2+4(x+ y) - 12≥ 0，解得 x+ y≥ 2或 x+ y≤-6(x> 0,y> 0舍去)故 x+ y
≥ 2，选项A正确；对于选项B，3= x+ y+ xy≥ 2 xy+ xy，当且仅当 x= y= 1时等号成立；得 ( xy)2
+2 xy- 3≤ 0，且 x> 0,y> 0，解得 0< xy≤ 1，故 0< xy≤ 1，选项B正确；对于选项C，x2+y2= (x+
y)2-2xy，且 xy= 3- (x+ y)，
得 x2+y2= (x+ y)2-2xy= (x+ y)2+2(x+ y) - 6= (x+ y+ 1)2-7，结合选项A中正确结果 x+ y≥ 2，得
x2+y2= (x+ y+ 1)2-7≥ 32-7= 2，当且仅当 x= y= 1 1 1时等号成立；选项C不正确；对于选项D， +
x y
= x+ y，且 x+ y= 3- xy 1 + 1 = 3- xy 3 3，所以 = - 1，结合选项B中正确结果 0< xy≤ 1，则
xy x y xy xy xy
≥ 3 1 + 1，所以 = 3 - 1≥ 2，当且仅当 x= y= 1时等号成立，选项D正确；故选：ABD.
x y xy
2 (2024· 8云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测)若 x，y满足 (x+ y)2- xy= 2，则 ( )
3
5
A. -x+ y≥- 3 B. -x+ y≤ 2 C. xy≤ 1 D. xy≥- 3
4
【答案】AD
8 3
【详解】令-x+ y= t，代入 (x+ y)2- xy= 2中化简得 x2+tx+ (t2-2) = 0，令Δ= t2-3(t2-2)≥ 0，解
3 4
x2+y2
得- 3≤ t≤ 3，显然A正确，B错误，由 (x+ y)2- 8 xy= 2得 x2+y2= 2 xy+ 2，结合- ≤ xy≤
3 3 2
x2+y2 - xy - ≤ ≤ xy1 xy + 1 - 3可得 ，解得 ≤ xy≤ 3 ，显然C错误，D正确.故选：AD
2 3 3 4 2
3 (2024上·河南三门峡·高一统考期末)已知 x> 0，y> 0，且 x+ 2y= xy．则下列选项正确的是 ( )
A. x> 2且 y> 1 B. x+ y≥ 3+ 2 2
C. x- 2 2+ y- 1 2≥ 4 D. log2x+ log2 2y ≥ 5
【答案】ABC
x+ 2y 1 2 1 2 2
【详解】依题意，x> 0，y> 0，且 x+ 2y= xy，则 = + = 1，由 = 1- > 0，得 < 1，所以
xy y x y x x
x> 2；
2 = 2y由 1- 1 > 0 1，得 < 1，所以 y> 1，所以A选项正确.x+ y= x+ y 1 + 2x y y y x = 3+
x + ≥ 3+
y x
2 x 2y = 3+ 2 2，
y x
x 2y
当且仅当 = ,x= 2y= 2+ 2 1 2 x- 2 x时等号成立，所以B选项正确.由 = 1- = 得 y= - ，y x y x x x 2
x- x- 2
则 y- 1= x- - 1= - =
2
，所以 x- 2 2+ y- 1 4-
2= x- 2 2+ ≥
x 2 x 2 x 2 x- 2 2
2 x- 2 2 4
x- 2 2
= 4，
4
当且仅当 x- 2 2= ,x= 2+ 2,y= 2+ 1时等号成立，所以C选项正确.当 x= 4,y= 2时，
x- 2 2
log2x+ log2 2y = log24+ log24= 4< 5，所以D选项错误.故选：ABC
4 (2024上· 3浙江宁波·高三镇海中学校考期末)设实数 x，y满足 x> ，y> 3，不等式 k 2x- 3 y- 3 ≤
2
8x3+y3-12x2-3y2恒成立，则实数 k的最大值为 ( )
A. 12 B. 24 C. 2 3 D. 4 3
【答案】B
【详解】x> 3 ，y> 3，变形为 2x- 3> 0，y- 3> 0，令 a= 2x- 3> 0，b= y- 3> 0，则 k 2x- 3 y- 3
2
3 3 2 2 2 2
≤ 8x3+y3-12x2-3y2转化为 k≤ 8x +y -12x -3y 4x y，即
2x- 3 y- 3 y-
+ ≥ k，
3 2x- 3
2 2 2
4x2 y a+ 3 b+ 3 2 3a 2 2 3a 2+ = + ≥ + = 12 a + b其中 ≥ 24 a b- = 24当y 3 2x- 3 b a b a b a b a
a= 3,
且仅当 b= 3 ，即 x= 3,y= 6时取等号，可知 k≤ 24.故选：B
b aa = b
6
2
5 (2024 上 · 1 x甘肃兰州 ·高一西北师大附中校考期末)对任意实数 x > 1,y > ，不等式 +
2 a2 2y- 1
4y2 ≥ 1恒成立，则实数 a的最大值 ( )
a2 x- 1
A. 2 B. 4 C. 14 D. 2 2
2
【答案】D
x2 + 4y
2
x2 4y
2
【详解】不等式 ≥ 1恒成立，可转化为 a2≤ - + - 恒成立，其中 x> 1,y>a2 2y- 1 a2 x- 1 2y 1 x 1
1
，
2
x2 4y
2 x- 1 2+2 x- 1 + 1 2y- 1 2+2 2y- 1 + 1
令 t= - + - = - + - ，≥2y 1 x 1 2y 1 x 1
x- 1 2+2 x- 1 + 1 2y- 1 2+2 2y- 1 + 1
2 - - ，=2y 1 x 1
2 1 1 x- 1 + + 2 2y- 1 + + 2 ≥ 2 2+ 2 2+ 2 = 8，第二次使用基本不等式，等号x- 1 2y- 1
成立的条件是 x- 1= 1- 且 2y- 1=
1
- ，得 x= 2且 y= 1，此时第一次使用基本不等式x 1 2y 1
x- 1 2+2 x- 1 + 1 2y- 1 2+2 2y- 1=
+ 1 x2
- - ，说明两次基本不等式能同时取得，所以 +2y 1 x 1 2y- 1
4y2
- 的最小值为 8，即 a
2≤ 8，则-2 2≤ a≤ 2 2，所以实数 a的最大值为 2 2.故选：D
x 1
【跟踪训练】
1 (2024上·湖南长沙·高一长郡中学校考期末)设正实数 a,b满足 a+ b= 1，则 ( )
A. ab≥ 1 B. a+ b≤ 2 C. a2+b2≥ 1 D. 1 1 4
4 2 a+ +1 b+ ≥1 3
【答案】BCD
2
【详解】对于A选项，ab≤ a+ b = 1 1，当且仅当 a= b= 时取得等号，故A错误；对于B选项，( a+2 4 2
b)2= a+ b+ 2 ab≤ 2 a+ b = 2，故 a+ b≤ 2，当且仅当 a= b= 1 时取得等号，故B正确；
2
a2+b2 a+ b 2 1 1 1
对于C选项， ≥ = ,∴ a2+b2≥ ，当且仅当 a= b= 时取得等号，故C正确；
2 2 4 2 2
1 1 1
对于D选项， + + + = a+ 1 + b+ 1
1 + 1 1+ + = 2+
b+ 1 + a+ 1+ + ≥
4
，当且
a 1 b 1 3 a 1 b 1 3 a 1 b 1 3
a= b= 1仅当 时取得等号成立，故D正确．故选：BCD.
2
2 (2024全国高三阶段练习)已知 x,y> 0,x3+y3- 1 x- 1 y= 3，则 13x+ y的最大值是 ( )
4 4
A. 15 B. 18 C. 20 D. 24
【答案】C
2 2
【详解】利用公式 x3+y3 2
x+ y
= + - + 2 = + + 2- =
- x- y
x y x xy y x y x y 3xy 及 xy 可得：4
3 x+ y
2- x- y 2 x+ y 2 3 x- y 2
x +y3= x+ y x+ y 2-3
= x+ y ， +

，所以代入已知式化简
4 4 4
可得 x+ y 3+3 x+ y x- y 2- x+ y = 12，由观察可得：当 x- y= 1，x+ y= 2时，即 23+3× 2× 12-2
7
= 12成立，
3 1 3 2x= ,y= x x- +y y- 1
2 2
此时 ，所以 = x3+y3+ 9 x- 3x2+ 1 y- y2 3①，又 3 x- = 3x2-9x2 2 2 2 4 4 2
+ 27 ②，
4
2 2 2
y- 1 = y2-y+ 1 + + x+ 3 x- 3 + y+ 1 y- 1 = x3+y3- 27③，则① ② ③可得： x- 3 y+2 4 2 2 4 4
7，
1 1 2 2
所以 x3+y3- x- y= x+ 3 x- 3 + y+ 1 y- 1 - 1 + 27 x- 1 y- 3 y+ 74 4 2 2 4 4 4 4
2 2
= + - 3 + 13x+ y
2
x 3 x y+ 1 1 y- + - 7= 3 3，故原不等式可化为： x+ 3 x-2 2 2 2
2
+ + - 1 + 13x+ y = 13x+ yy 1 y 10 ≤ 10 13x+ y≤ 20 x= 3 1 ，即 ，故 ，此时当 ,y= 时等号成立，即2 2 2 2 2
13x+ y的最大值是 20.故选：C.
3 (2022上·江苏徐州·高一校考阶段练习)设正实数 x,y,z满足 x2-3xy+ 4y2-z= xy0，则当 取得最大
z
2 1 2
值时， + - 的最大值为 ( )
x y z
A. 9 B. 1 C. 9 D. 3
4
【答案】B
∵ 2- + 2- = ∴ = 2- + 2 , , ∴ xy = xy【详解】 x 3xy 4y z 0， z x 3xy 4y ，又 x y z均为正实数， =
z x2-3xy+ 4y2
1 ≤ 1 = ( = xy1 当且仅当 x 2y时取 " = ")，∴ = 1，此时 x= 2y.
x + 4y x 4y z maxy x - 3 2 y × x - 3
2
∴ z= x2-3xy+ 4y2= (2y)2-3× 2y× y+ 4y2= 2y2 2 1 2，∴ + - = 1 + 1 - 1 =- 1 - 1
x y z y y y2 y +1≤ 1，当
且仅当 y= 1时取得 " = "，满足题意.∴ 2 + 1 - 2 的最大值为 1.故选：B.
x y z
4 (2024上·广东广州·高一华南师大附中校考期末)由知实数 a，b满足 a2+4b2= 2，则 ( )
A. ab 1的最大值为 B. a+ b的最大值为 2 3
2
C. a- b∈ - 10 , 10 D. 当 a> 0,0< b<
2 ab 2
时，
2 2 4 a+ 的最大值为2b 4
【答案】AC
1
【详解】对于A中，由不等式 a2+4b2≥ 4ab，可得 4ab≤ 2，解得 ab≤ ，当且仅当 a= 2b时，等号成立，所以
2
a+ b=m
A正确；对于B中，设 a+ b=m，联立方程组 2 2 2 2+ 2= ，整理得 5b -2mb+m -2= 0，由Δ= (-2m) -4a 4b 2
× 5(m2-2)≥ 0 5 10 10，解得m2≤ ，可得- ≤m≤ ，所以 a+ b 10的最大值为 ，所以B不正确；
2 2 2 2
- = a- b=n对于C中，设 a b n，联立方程组 2 2 2+ 2= ，整理得 5b +2nb+n -2= 0，由Δ= (2n)
2-4× 5(n2-2)≥
a 4b 2
0，解得n2≤ 5 - 10，可得 ≤n≤ 10 10 10，所以 a- b的最大值为 - , ，所以C正确；对于D中，由2 2 2 2 2
2 2
a2+4b2= 2 a + b，即 = 1，设 a= 2cosθ,b= 2 sinθ ab sinθcosθ，则
2 1 2 a+ = ，设 t= sinθ+ cosθ，2b 2(cosθ+ sinθ)
2
8
2
可得 t2= (sinθ+ cosθ)2= 1+ 2sinθcosθ，可得 sinθcosθ= t -1 ，因为 a> 0,0< b< 2 ，可得 0<
2 4
2 sinθ< 2 0< sinθ< 1 0< θ< π π < θ+ π 5π，即 ，不妨设 ，可得 < 则 t= sinθ+ cosθ=
2 4 2 6 4 4 12
2sin θ+ π ∈ 1, 3+ 1 ，4 2
t2-1
ab = sinθcosθ = 2 = 1 t- 1 f t = t- 1所以 + ，又因为 为单调递增函数，所以a 2b 2(cosθ+ sinθ) 2t 2 2 t t
ab
+ 无最大值，所以D不正确.故选：AC.a 2b
考点三：指数对数与不等式相结合
1
解题思路：①指对数转换 ax= b x= logab，②换底公式 logab= logba
x- 1 1
③常见不等式放缩 2× + ≤ lnx≤ x- x≥ 1
1
，1 ≤ lnx≤ x 1 ex， ≥ x+ 1
x 1 x x
【精选例题】
1 (2024·全国· y模拟预测)若 2x-4 = 2，x，y∈R，则 x- y的最小值为 ( )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 4
2 2 4
【答案】C
2x y 2 2y y
2x= 4x+ 2 4x-y
4 + 2
= 2 = = 4 +2 2 4 +2 y【详解】因为 ，所以 y y y = 4 +
2
y + 2 2
y
．因为 2 > 0，所
4 4 4 4
5
4y+ 2 ≥ 2 4y以 × 2y y = 2 2
x-y 5 y 2 y
．所以 4 ≥ 4 2= 4 4，即 x- y≥ ．当且仅当 4 = ，2xy = 4 + 2，即 y4 4 4 4
= 1 ，x= 3 5时等号成立，所以 x- y的最小值为 ．故选：C．
4 2 4
2 (2024·全国·模拟预测)若 a+ lnb= b+ lna a> 0,b> 0,a≠ b ，则 ( )
A. a- b> 0 B. a- b< 0
C. a- 1 b- 1 < 0 D. a- 1 b- 1 > 0
【答案】C
【详解】因为 a+ lnb= b+ lna a> 0,b> 0,a≠ b ，所以 a- b= lna- lnb= ln a a，所以当 0< < 1时，a
b b
- b= ln a < 0 a，当 > 1时，a- b= ln a > 0所以AB错误；因为 a+ lnb= b+ lna a> 0,b> 0,a≠ b ，
b b b
a- b
所以
lna- = 1．lnb
a
x- 1 - 1
因为 2× + < lnx< x-
1 x> 1 ，不妨设 a> b，则 2× b < ln a < a - b ，即 2×
x 1 x a + 1 b b ab
a- b
+ < lna- lnb<
a- b
，
a b ab
2 < lna- lnb < 1即 + ，即 ab<
a- b = 1< a+ b，所以 a+ b> 2, ab< 1，所以 a- 1
a b a- b ab lna- lnb 2
b- 1 = ab+ 1- x- 1 a+ b < 2- a+ b < 0，所以C正确．证明：2× < lnx< x- 1+ x> 1x ，x 1
- x+ 1 - x- 1 4x- x+ 1 2x 1 - x- 1 2
设 f x = 2× + - lnx,x>
1 1，则 f x = 2× - = = <
x 1 x+ 1 2 x x x+ 1 2 x x+ 1 2
9
0，所以 f x 在 1,+∞ 上单调递减，所以 f x < f 1 = 0，即 2× x- 1+ < lnx，设 g x = lnx- x+x 1
1 -,
x- 1 2
x> 1，则 g x = 1 - 1 - 1 = 2 x- x- 1 = < 0，所以 g x 在 1,+∞ 上单x x 2 x 2 x 3 2 x 3 2 x 3
调递减，所以 g x < g 1 = 0，即 lnx< x- 1 . x- 1所以当 x> 1时，2× + < lnx< x-
1 .故选：
x x 1 x
C.
3 (2022上· y山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习)已知正数 x,y,z满足 3x= 4 = 12z，则
( )
A. 3x> 4y> 12z B. 4y> 3x> 6z C. xy< 4z2 D. x+ y< 4z
【答案】B
x,y,z 3x= 4y【详解】因为 为正数，令 = 12z= k，则 k> 1，则 x= log3k= lnk ,y= log k= lnk ,z= log k=ln3 4 ln4 12
lnk
，
ln12
3x= 3lnk ,4y= 4lnk ,12z= 12lnk则 ，因为 lnk> 0 3 4 12，所以只需比较 , , 的大小，构造 f x =
ln3 ln4 ln12 ln3 ln4 ln12
x
，x> e，
lnx
f x = lnx- 1 x> e f x = lnx- 1 ，当 时， > 0 x，故 f x2 = 在 x> e上单调递增，所以 f 12 > f 4 lnx lnx 2 lnx
> f 3 12 > 4 > 3 12z> 4y> 3x A 6z= 6lnk = 6lnk 3x- 6z= 3lnk ，即 ，所以 ， 错误； ， -
ln12 ln4 ln3 ln12 ln3+ ln4 ln3
6lnk = 3lnk 1 - 2+ + = 3lnk ln4- ln3 > 0，结合刚才求出的 12z> 4y> 3x，故ln3 ln4 ln3 ln3 ln4 ln3 ln3+ ln4
4y> 3x> 6z B 1 1 1， 正确；由换底公式可得： = log 3, = log 4, = log 12，因为 log 3+ log 4= log 12，
x k y k z k k k k
1 1 1
所以 + = ，
x y z
xy xy 2 xy x+ y 2-4xy xy=
x- y 2
即 z + ，因为 x≠ y，所以 xy- 4z
2= xy- 4 + = = > 0，故 xyx y x y x+ y 2 x+ y 2
2 4xy x- y>
2
4z ，C错误；因为 x≠ y，所以 x+ y- 4z= x+ y- + = + > 0，所以 x+ y> 4z，D错误.故x y x y
选：B
4 (2024上·福建泉州·高一统考期末)已知 x> 0,y> 0,2x+ y= 1，则 ( )
A. 4x+2y的最小值为 2 2 B. log2x+ log2y的最大值为-3
2 y2
C. y- x- xy的最小值为 -1 D. 2x 1+ + + 的最小值为x 2 y 1 6
【答案】ABD
【详解】对于A，由于 x> 0,y> 0,2x+ y= 1，故 4x+2y= 22x+2y≥ 2 22x 2y= 2 22x+y= 2 2，
当且仅当 2x= y，结合 2x+ y= 1 1 1 y，即 x= ,y= 时，等号成立，即 4x+2 的最小值为 2 2，A正确；
4 2
1 1 1
对于B，由于 x> 0,y> 0，2x+ y= 1≥ 2 2xy，则 xy≤ ，当且仅当 x= ,y= 时，等号成立，故 log x
8 4 2 2
+ log2y= log2 xy ≤ log 12 =-3，即 log2x+ log2y的最大值为-3，B正确；对于C，又 x> 0,y> 0,2x+ y8
10
= 1，得 y= 1- 2x，故 y- x- xy= (1- 2x) - x- x(1- 2x) = 2x2-4x+ 1由于 0< 2x< 1∴ 0< x< 1 ，
2
而 y= 2x2-4x+ 1对称轴为 x= 1，则 y= 2x2-4x+ 1在 0, 1 上单调递减，在 0, 1 上无最值，C错误；2 2
2
D m= x+ 2,n= y+ 1 |x=m- 2,y=n- 1 2x
2
+ y 2m
2-8m+ 8 n2-2n+ 1
对于 ，令 ，则 ，故
x+ 2 y+ = +1 m n
= 2m+n+ 8 + 1 - 10，由于 x> 0,y> 0，故m> 2,n> 1，2m+n= 2(x+ 2) + (y+ 1) = 2x+ y+ 5=
m n
6 8 + 1 1 8 1，则 = + 2m+n = 1 8n + 2m + 17 ≥ 1 2 8n 2m + 17 = 25 ，当且仅当m n 6 m n 6 m n 6 m n 6
8n = 2m 12 6 8 1 25，结合 2m+n= 6，即m= ,n= 时，等号成立，所以 2m+n+ + - 10≥ 6+ - 10
m n 5 5 m n 6
2 2
= 1 2x，即 + +
y 1
+ 的最小值为 ，D正确，故选：ABD6 x 2 y 1 6
【跟踪训练】
1 (2024·重庆·统考一模)已知 3a= 5b= 15，则下列结论正确的是 ( )
a b
A. lga> lgb B. a+ b= ab C. 1 > 1 D. a+ b> 42 2
【答案】ABD
【详解】由题意得 a= log315> log31> 0，b= log515> log51= 0 0< 1 = log 1 1， a 153，0< = log155，则 0< 1 ，则 a> b> 0，对A，根据对数函数 y= lgx在 0,+∞ 上单调递增，则 lga> lgb，故A正确；对B，因为
b
1 + 1 = log a+ b153+ log155= 1，即 = 1，则 a+ b= ab，故B正确；对C，因为 a> b> 0，根据指数函数 ya b ab
= 1
x a b
1 1 1 1在R上单调递减，则 < ，故C错误；对D，因为 a> b> 0， + = 1，2 2 2 a b
a+ b= a+ b 1 + 1 = 2+ b + a ≥ 2+ 2 b a = 4，当且仅当 a= b时等号成立，而显然 a≠ b，则 aa b a b a b
+ b> 4，故D正确；故选：ABD.
2 (2024江苏苏州统考期末)已知 x> 0，y> 0，且 x+ 2y= 4，则 ( )
2 2
A. lnx+ lny≤ ln2 B. 2x+4y< 8 C. 1 + 2 ≥ 9 D. ex≥ e8-4y
x y 4
【答案】ACD
【详解】对于A，因为 4= x+ 2y≥ 2 2xy xy≤ 2,当且仅当 x= 2,y= 1时取等号，所以 lnx+ lny= lnxy
3
≤ ln2，A正确；对于B，取 x= 1,y= 3 , 则 2x+4y= 2+ 4 2= 2+ 8= 10> 8 1 2，B错误；对于C， + =
2 x y
1 1 + 2 ( 2yx+ 2y) = 1 1+ 4+ + 2x ≥ 1 5+ 2y2 2x = 9 , 2y 2x当且仅当 = ，即 x= y=4 x y 4 x y 4 x y 4 x y
4 2 2
时取等号，C正确；对于D，因为 x2+4y2= (x+ 2y)2-4xy= 16- 4xy≥ 8, 8-4y所以 x2≥ 8- 4y2 ex≥ e ，
3
D正确．故选：ACD.
y
3 (2023·海南海口·校考模拟预测)已知 x，y，z都为正数，且 2x= 3 = 6z，则 ( )
A. xy> 4z2 B. 1 + 1 < 1 C. x+ y> 4z D. x+ y< 5z
x y z
【答案】ACD
11
y
【详解】令 2x= 3 = 6z= k> 1 1 1，则 x= log2k，y= log3k，z= log6k，所以 + = logk2+ logk3= logk6=
1
，
x y z
= xy < xy = xy ( ≠ > ) 2< = xyB错误；z + 注意 x y 0等号不成立 ，故 4z xy，A正确；z (x+ y)2 = x+ y (注意 x≠ y> 0等号不成立)，则 4z< x+ y，C正确，由 x+ y- 5z= log
( + ) 4 2
k+ log3k-
4 x y
5log6k，令 f(x) = log2x+ log3x- 5log6x且 x∈ (1,+∞)，则 f (x) = 1x
1 + 1 - 5 = 1
ln2 ln3 ln6 x
(ln6)
2-5ln2ln3 ，
ln2ln3ln6
2
由 (ln6)2-5ln2ln3= (ln2+ ln3)2-5ln2ln3= ln 3 -ln2ln3<(ln e)2-ln2ln3= 1 - ln2ln3，因为 ln3>2 4
4
lne= 1 1，故 - ln2ln3< 1 - ln2= ln e < 0，综上，f (x)< 0，即 f(x)在 x∈ (1,+∞)上单调递减，所以
4 4 2
f(x)< f(1) = 0，故 log2x+ log3x< 5log6x恒成立，即 x+ y< 5z，D正确.故选：ACD
考点四：与三角形三边相关的不等式问题
1 (2024 1上·重庆·高一重庆八中校考期末)已知函数 f x = x+ - a + 1，对任意实数 x1,x 1 x 2,x3∈ ,3 ，3
使得以 f x1 ，f x2 ，f x3 数值为边长可构成三角形，则实数 a的取值范围为 .
-∞, 5【答案】 ∪ 7 ,33 3 ∪
11 ,+∞
3
1
【详解】要想对任意实数 x1,x 2,x3∈ ,3 ，使得以 f x1 ，f x2 ，f x3 数值为边长可构成三角形，只需3
2f x
1 1
min> f x max，设 g x = x+ - a，当 x∈ ,1 时，函数 g x 单调递减，当 x∈ 1,3 时，函数 g x x 3
单调递增，因为 g 1 = 2- a,g 3 = 10 - a,g 1 = 10 - a 10，所以 g x ∈ 2- a, - a 3 3 3 3 ，当 2- a≥ 0
时，即 a≤ 2时，
f x = x+ 1 - a + 1= g x + 1 13，此时 f x ∈ 3- a, - a ，因此由 2f x min> f x max 2 3- a >x 3
13 - a a< 5 ，而 a≤ 2，所以 a< 5 10；当 - a≤ 0 a≥ 10时，即当 时，此时 f x = x+ 1 - a3 3 3 3 3 x + 1=
-g x + 1 7 7 11，此时 f x ∈ a- ,a- 1 ，因此由 2f x min> f x max 2 a- > a- 1 a> ，而 a≥3 3 3
10 11
，所以 a> ，
3 3
10 10 10 8 8 10
若 2- a< 0< - a时，即 2< a< 时，若 a- 2≥ - a a≥ ，即当 ≤ a< 时，显然此时
3 3 3 3 3 3
f x min= 1,f x max= a- 2+ 1= a- 1，由 2f x min> f x max 2× 1> a- 1 a< 3
8
，显然 ≤ a< 3，若 a
3
- 2< 10 - a a< 8 ，即当 2< a< 8 10 13时，显然此时 f x min= 1,f x max= - a+ 1= - a，因此由3 3 3 3 3
2f x min> f x max 2× 1>
13 - a a> 7 7 < a< 8 5，而 ，综上所述：实数 a的取值范围为 -∞, ∪3 3 3 3 3
7 ,33 ∪
11 ,+∞ 5，故答案为：-∞, ∪ 7 ,3
3 3 3 ∪
11 ,+∞
3
2 (2019·全国·高三竞赛)已知 x> 0，y> 0，a= x+ y，b= x2+xy+ y2，c=m xy.若 a，b，c构成三角形
的三边，则m的取值范围是 .
【答案】 2- 3，2+ 3
【详解】若 a，b，c为三边可构成三角形，则 b+ c> a，且 a+ b> c成立，即 x2+xy+ y2+m xy> x+ y，
12
x+ y- x2+ + 2+ + 2> > +xy+ y
2 x+ y- x2+xy+ y2
且 x y x xy y m xy成立，即m 成立，而R=
xy xy
= x + y - x + y + 1，令 t= x ，则R= t+ 1 - t2+ 1 1
y x y x y t t2
+ 1，令u= t+ ≥ 2，
t
则R=u- u2-1= 1 ，易知在 [2,+∞)上递减，所以R=u- u2-1≤ 2- 3，所以m> 2-
u+ u2-1
3，
< x+ y+ x
2+xy+ y2 x+ y+ x2+xy+ y2 ≥ 2 xy+ 3xy又m 成立，而 = 2+ 3，当且仅当 x= y
xy xy xy
时，等号成立，所以m< 2+ 3；所以 2- 3【跟踪训练】
1 (2018·全国·高三竞赛)设 a= x2-xy+ y2,b= p xy,c= x+ y,若对任意的正实数 x,y,都存在以 a,
b,c为三边长的三角形,则实数 p的取值范围是 ．
【答案】 2- 3,2+ 3
【详解】显然 a< c，于是，a、b、c能构成三角形 c- a< b< c+ a
对任意正整数 x、y，恒有 x + y - x + y y y1+ < p< x + + x + 1+ ①
y x y x y x y x
x + y ≥ = x + y
2
由 2，知式①右边 +
y x y x x + y -1≥ 2+ 3.易知 x= y时，式①右边y x
取最小值 2+ 3.
又式①左边的表达式恰为右边表达式的倒数，从而，其最大值为 2- 3.故 2- 3< p< 2+ 3.故答案为:
2- 3,2+ 3
2 (2021下· a+ b上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习)设 0< b< a< 4b,m> 0，若三个数 ,
2
a2+b2-ab,m ab能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围为 ( )
A. 13 - 5 ,1
B. (1, 3) C. 13 -
5 ,2 D. ( 3,2)2 4 2 4
【答案】C
【详解】因为 0< b< a< 4b,m> 0 x= a+ b，令 ，y= a2+b2-ab,z=m ab
2
2
则 x2-y2= a+ b - a2+b2-ab2=- 3 (a- b)2< 0，所以 x< y，因为 x,y,z能组成一个三角形的三条边2 4
长，所以 y- x< z< x+ y，即 a2+b2-ab- a+ b 2 2
2 2 2 2
> 0 a，所以令 t= ( < 2 a +b -ab- (a+ b)1 t< 4)，则 < < 2 a +b -ab+ (a+ b)2m ，即 2 t+ 1 - 1
b ab ab t
- t+ 1t < 2m< 2 t+
1 - 1+ t+ 1 1，因为 2 t+ 1 - 1+ t+ ≥ 2 2 t 1 - 1+t t t t t
2 t 1 = 4，
t
当且仅当 t= 1 1时取等号，但是取不到，所以 2 t+ 1 - 1+ t+ > 4，所以 2m≤ 4，所以m≤ 2；t t
k= t+ 1 ∈ 2, 5 2 t+ 1 - 1- t+ 1令 ，则 = 2 k2-3- k 5，令 y= 2 k2-3- k，k∈ 2, ，t 2 t t 2
13
2
y' = 2k - 1= 3k +3则 > 0，所以函数 y= 2 k2-3- k在 2, 5 上单调递增，k2-3 k2-3 2k+ k2-3 2
所以 2 k2-3- k< 2 25 - 3- 5 = 13- 5 ，所以 2m≥ 13- 5 ，m≥ 13 - 5 13，综上， - 5 ≤
4 2 2 2 2 4 2 4
m≤ 2.故选：C.
3 (2022·浙江丽水·高三统考竞赛)△ABC的边分别为 a，b，c，且满足 ab= c2 a+ c，则 的取值范围为
b
.
【答案】(1,2+ 5)
a+ c a2+ac 2 2
【详解】 = = a +ac = a + a t= a > 0 a+ c，令 ，则 = t2+t，又 a- b< c< a+ b b ab c2 c c c b
a- b 2< c2= ab< a+ b 2 a2+b2< 3ab= 3c2，
a2∴ +b
2
= a
2
+ c
2
= t2+ 1 < 3 t4-3t2+1< 0 3- 5 3+ 5，可解得 < t2< ，c2 c a t2 2 2
2 2 2
即 5- 1 < t2< 5+ 1 5- 1，故 < t< 5+ 1 ∴ a+ c， = t+ 1 - 1 ∈ 1,2+ 5 .故答案2 2 2 2 b 2 4
为：(1,2+ 5).
14

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