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第六章 数理统计的基本概念
6.1 总体与样本
第六章 数理统计的基本概念
6.1 总体与随机样本
内容摘要: 提出了总体与样本等基本术语, 分析了如何获取简单随机样本的方法, 得到了简单随机样本服从的分布函数和概率密度等公式.
如何科学合理地获取总体的有效
信息
(2) 简单随机样本的分布是什么样的
6.1.2 预备知识
6.1.1 提出问题
引理
相互独立, 则成立
充要条件
数理统计是以概率论为理论基础, 根据
抽样信息, 对研究对象(总体)作出合理的估计和
判断的学科.
数理统计的步骤:
(1) 收集、整理数据资料;
(2) 对所得数据资料进行分析、研究;
(3) 对所研究对象的性质、特点作出估计或判断.
6.1.3 分析问题
1. 总体
将研究对象的全体所构成的一个
集合称为总体或母体, 它是一维(或多维)随机变量, 记为X.
组成总体的每一个成员称为个体.
总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.
容量有限的总体称为有限总体, 容量无限的总体称为无限总体.
例如, 考察某批灯泡的质量, 如这一批
灯泡共有5000只, 每只灯泡的寿命是一个可能
的观察值, 是一个个体. 所有5000只灯泡的寿
命是一个有限总体.
为方便起见, 今后我们把总体与随机变量X 等同起来看, 即总体就是某随机变量X可能取值的全体. 它客观上存在一个分布, 我们对其分布可能一无所知, 或部分未知, 正因为如此, 才有必要对总体进行研究.
2. 简单随机样本
对总体进行研究, 首先需要获取总体的
有关信息. 一般采用两种方法:
一是全面调查. 如人口普查, 计算某个班级全体同学的生日, 该方法常要消耗大量的人力、物力、财力, 有时甚至是不可能的. 如测
试某厂生产的所有电子元件的使用寿命, 我
们就不能对电子元件进行全部测试.
从总体抽取一个个体, 就是对总体X进
行一次观察并记录其结果. 在相同的条件下对总体X进行n次重复的、独立的观察, 将n
次观察结果按试验的次序记为
二是抽样调查. 抽样调查是按照一定 的方法，从总体X中抽取n个个体. 这就是 我们对总体掌握的信息. 数理统计就是要 利用这一信息,对总体进行分析、估计、推断. 因此, 要求抽取的这n个个体应具有很好的代表性.
若 是具有同一分布函数F 、
相互独立的随机变量, 则称 为从
总体X得到的容量为n的简单随机样本, 简称样本, n称为这个样本的容量.
定义 设X是具有分布函数F的随机变量 .
6.1.4 建立理论
简单随机样本满足以下两个条件:
当n次观察一完成, 我们就得到一组实
, 它们依次是随机变量
的观察值,
称为样本值.
数
(1) 同分布: 每个Xi(i=1,2,…,n)与总体X有相同的分布;
将样本看成是一个n维随机向量, 写成
此时样本值相应地写成
称样本 中的随机变量Xk为第k个样本分量.
3. 样本概率分布
相互独立, 它们的分布函数都是
的联合分布函数为
(1) 若
为F的一组样本, 则
F, 因此，
我们通过样本来研究总体的概率分布问题. 根据引理, 我们得到样本的概率分布为:
（1.1）
(2) 独立性: 每次抽样应独立进行, 其
结果相互不受影响.
(3) 若X是连续型总体, 且具有概率密度
的联合概率密度为
f(x), 则
的联合分布律为
(2) 若X是离散型总体, 且具有分布律
p(x), 则
（1.2）
（1.3）
例6.1.1 设X1,X2,…,Xn是来自参数为
1/4的指数分布总体X的简单随机样本,
求X1,X2,…,Xn的联合分布律.
解
已知总体X的概率密度为
所以, 样本X1,X2,…,Xn的联合概率密度为
6.1.5 内容小结
思考题: (1) 如何科学合理地获取总体的有效信息 全面调查,抽样调查.
(2) 简单随机样本的概率分布是什么样的

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