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第七章 参数估计
7.5 大样本非正态总体的参数区间估计
第七章 参数估计
7.5 大样本非正态总体的参数的区间估计
内容摘要：在大样本非正态总体中抽取简单随机样本, 通过研究样本所提供的信息, 计算出总体包含的未知参数的点估计或区间估计. 该统计分析的方法具有代表性，应引起注意.
7.5.1 提出问题
(1) 如果总体不是服从正态分布, 那么我们就不能利用先前的估计区间公式. 如何求解这样的总体的未知参数的置信区间呢？
(2) 当样本容量很大时,如何求出近似的置信区间呢？
7.5.2 预备知识
1. 独立同分布中心极限定理；
2. 置信水平为1-α的置信区间；
3. 0-1分布的均值和方差.
7.5.3 建立方法
如果总体X不是服从正态分布, 那么 我们就难以确定样本函数的概率分布. 这样求总体中未知参数的置信区间就比较困难. 但当样本容量很大时, 我们可以根据中心极限定理近似地求出置信区间.
都是 的函数. 从总体中抽取样本 . 当样本容量n充分大时, 由5.2节独立同分布的中心极限定理(5.2.4)式, 知
设总体X的分布函数为 , 其中 是 未知参数.于是总体均值 、总体方差
近似地服从N(0,1)分布.
对于给定的置信水平 , 于是可选择
(5.1)
若能从不等式
解出等价不等式
(5.2)
(5.3)
那么 就是 的置信水平为 的近似的置信区间.
1. 0-1分布总体的未知参数的置信区间 下面我们以0-1分布总体为例来学习求解不等式(7.5.2).
设有一容量n>50的大样本, 它来自服从0-1分布的总体X, 即总体X的分布律为
其中p为未知参数 .
下面求p的置信水平为 的置信区间.
设 是来自X的一组样本.因样本容量n较大, 由5.2节独立同分布中心极限定理(2.2)式知
已知0-1分布的均值和方差分别为
近似地服从标准正态分布. 于是取
而不等式
等价于不等式
也就是等价于不等式
解上式关于p的二次不等式, 并记
于是,我们得到p的置信水平为 的一个近似的置信区间为
其中
可见成立
（5.4）
例7.5.1 设在一大批产品的100个样品中, 得到一级品60个. 求这批产品的一级品率p的置信水平为0.95的置信区间.
解 一级品率p是0-1分布的参数 ， 此时 n=100，
查表得
按公式(7.5.4)求p的置信区间, 其中
于是，
附表2-2
讲评 若总体X的分布函数 ,其中 是未知参数,且它不知道是否服从正态分布，这时如果样本容量较大(n>50),我们可以借助于中心极限定理来求置信区间. 此例是这一问题的通用解法，在数据统计分析中常用.
所以，p的置信水平为0.95的一个 近似的置信区间为
（0.50，0.69）.
7.5.6 内容小结
(1) 如果总体不是服从正态分布, 如何求 解这样的总体的未知参数的置信区间呢？
用中心极限定理近似地求出置信区间.
(2) 当样本容量很大时,如何求出近似的置信区间呢？
确定概率近似式，解等价不等式.
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0 0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987 0.9463
0.9564
0.9648
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9990 0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9993 0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9995 0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9871
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9997 0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9998 0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9998 0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9999 0.9535
0.9625
0.9700
0.9762
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.9999 0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9858
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
1.0000
1.96
附表2-2
标准正态分布表

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