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第七章 参数估计
7.4 正态总体均值与方差的区间估计
内容摘要：根据事先给定的置信水平, 当总体服从正态分布时, 可对单个总体的均值和方差进行区间估计，也可以对两个总体的均值差和方差比进行区间估计，还可以得到估计区间的精确度.在生产技术活动中，时常关心的是元器件的平均寿命指标的下限或者上限; 关心反映机器工作状态的稳定性指标(即方差)的最大上限. 因此建立了单侧置信区间的概念和理论.
7.4 正态总体均值与方差的区间估计
7.4.1 提出问题
在上一节，对正态总体方差σ2已知时的未知参数μ分析了置信区间. 这就提出了一个问题：正态总体方差σ2为未知时如何分析未知参数μ的置信区间呢 对两个正态总体如何分析总体均值μ以及方差σ2置信区间呢？
7.4.2 预备知识
标准正态分布，t分布,χ2分布, F分布，上α分位点.
1. 单个总体 的情况
由上节例可知:
7.4.3 建立理论与方法应用
设给定置信水平为1-α,并设 为取自总体X的样本,且总体X ～N(μ,σ2)，和S2分别是样本均值和样本方差.
(1) 总体方差σ2已知时μ的置信区间
μ的置信水平为1-α的一个置信区间为
例7.4.1 某车间生产滚珠, 从长期实践知, 滚珠直径 . 从当天生产的产品中任取6个, 量得直径(单位: mm)如下:
求此车间生产的滚珠直径的均值 的置信区间.
思考题 总体方差是否已知？
由(7.3.1)式知, 当已知σ2时均值μ的置信区间为
解
查表得
得到μ的置信水平为0.95的置信区间是
附表2-2
讲评
上述置信区间的实际意义是：
(1) 估计滚珠直径的均值14.9mm与15.22mm之间, 并且这个估计的可信程度可达95%；
(2) 若以此区间内任一值作为μ 的近似值, 其估计误差不大于
这个误差的可信程度为95%.
此时, 正态总体方差σ2未知, 因此不能利用(7.3.1)式给出的置信区间, 因其中含未知参数σ2.
(2) σ2未知时均值的置信区间
考虑到样本方差S2是总体方差σ2的无偏估计, 将 中的σ换成S= , 由6.3节抽样分布定理1知, 样本函数
并且t(n-1)分布不依赖于任何未知参数.
参见t分布概率密度的对称性(见图7-2),
图7-2 t分布的双侧置信区间
我们取
(4.1)
于是得 的置信度为 的置信区间
分析例题可知正态总体方差未知，用(7.4.1)式求解.
解
有一大批糖果,现从中随机抽取16袋, 称得质量(单位：g)如下:
设袋装糖果的质量服从正态分布, 试求总体均值
附表3-1
例7.4.2
由给出的数据算得
由 (7.4.1)式知, 总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间为
即
思考题 区间估计的可信度是多少？精确度呢？总体均值是否偏大了？
(1) 此例是研究一个正态总体
方差未知时的均值的置信区间问题，在
实际问题中最为常见、常用.
(2) 结论“均值μ的置信水平为0.95的置信区间为(500.4, 507.1)”的实际意义是：1) 在正态总体方差σ2未知的条件下，该总体均值μ的大小为500.4～507.1; 2)总体均值μ位于区间(500.4, 507.1)内，这里结论的可信度达到95%.
讲评
根据实际问题的需要, 在此我们只
介绍总体期望μ未知的情况.
因为样本方差S2为总体方差σ2的无偏估计, 由6.3节抽样分布定理1知,
2. 总体方差σ2 的置信区间
并且χ2(n-1)分布不依赖于任何未知参数.
图7-3 χ2分布双侧置信区间
参见χ2分布的概率密度的图像(见图7-3),我们仍取对称的分位点来确定置信区间：
就是令
变形得到
因此, 方差σ2的置信水平为1-α的一个置信区间为
(4.2)
同时, 还容易得到标准差 σ的置信水平为1- 的一个置信区间为
注意: 在概率密度图像不对称时, 如χ2分布和F分布, 习惯上仍取概率对等的分位点来确定置信区间, 但这样确定的置信区间的长度并不一定最短. 求最短置信区间的计算过于麻烦, 一般不去求解.
(4.3)
例7.4.3 假设某种香烟的尼古丁含量 服从正态分布. 现随机抽取此种香烟8 支为一组样本, 测得其尼古丁平均含量为18.6毫克, 样本标准差s=2.4毫克. 试求此种香烟尼古丁含量得总体方差的置信水平为0.99的置信区间．
解
已知n=8, s2=2.42. 由置信水平水平0.99得 = 0.01, 查表可得
附表4-1
附表4-2
所以，方差σ2的置信区间为
=(1.988, 40.768).
思考题 题型是怎样的？区间估计的实际意义是什么？
2. 两个总体 的情况
在客观现实活动中, 我们常常遇到下面的问题：已知产品的某一质量指标服从正态分布, 但由于原料、设备条件、操作人员不同, 以及工艺过程的改变等因素, 可能会引起总体均值、总体方差有所改变. 因此我们需要知道这些变化究竟有多大. 这就需要考虑两个正态总体均值差或方差比的估计问题.
设已给定置信水平为1-α, 并且设
是来自第一个正态总体X～(μ1， )的样本; 是来自第二个正态总体Y～(μ2, )的样本, 这两个样本相互独立. 再设 , 分别为第一、第二个总体的样本均值, , 分别是第一、第二个总体的样本方差.
(1)
因样本均值 , 分别为总体均值μ1,μ2的无偏估计, 故 是μ1-μ2的无偏估计. 由 , 的独立性以及6.3节抽样分布定理1有
所以得
将其标准化, 得到
类同于(7.3.1)式推导过程, 我们即得
μ1-μ2的置信水平1-α为的一个置信区间
(7.4.4)
由6.3节抽样分布定理2知
类同于(7.4.1)式推导过程, 我 们可得μ1-μ2的置信水平为1-α的一 个置信区间
(4.5)
思考题 置信区间(7.4.4)和置信区间(7.4.5)的应用前提是什么呢？
考虑到实际问题的需要,我们在这里只讨论总体均值μ1，μ2未知时的情况.
(2)
由6.3节抽样分布定理2知
并且 分布不依赖于任何未知参数.
参见F分布的概率密度的图像(见图7-4),
图7-4 F分布双侧置信区间
我们仍取概率对等的分位点来确定置信区间, 就是令
整理, 得到
这样我们就得到: 方差比 的置信水平为1-α的一个置信区间
(4.6)
例7.4.4 用两种工艺或原料A和B生产 同一种橡胶制品. 为比较两种工艺下产 品的耐磨性，从两种工艺的产品中各随意抽取了若干件，测得如下数据：
假设两种工艺下产品的耐磨性X和Y都服从正态分布：
(1) 建立 的0.95的置信区间；
(2) 建立μx-μy的0.95的置信区间；
(3) 问能否认为工艺A产品的平均耐 磨性明显高于工艺B产品？
解
经计算，得
(1) 由附表6，分别查出自由度为4,5和5,4的F分布两个上分位数:
所以 的0.95的置信区间为
附表6
由于所得置信区间(0.40,3.34)包含1，故在显著性水平0.05下可以认为 ，即
(2) 根据问题(1)可以认为 ，故可以按(7.4.5)构造μx-μy的0.95置信区间.
经计算，得 . 查自由度为5+6-2=9的分布水平0.05的双侧分位点为 .
1. 对于设备元件的寿命来说, 我们更希望平均寿命长一些, 因此我们更关心它们平均寿命(即数学期望)的下限;
2. 在考虑化学药品中杂质含量的均值时, 我们主要关心的杂质含量的上限.
3. 工作状态是否稳定，要考虑方差(或标准差)的最大上限.
3.单侧置信区间
定义 设总体X的分布函数 中含有 未知参数 .对于给定的正数 , 若由来自总体X的样本 确定的统计量
则称随机区间 是 的置信水平为 的单侧置信区间, 称为 的置信水平为 的单侧置信下限.
对于任意 满足
(4.8)
则称随机区间 是 的置信水平为 的单侧置信区间, 称为 的置信水平为 的单侧置信上限.
又若统计量
对于任意 满足
(4.9)
(1) 单个正态总体,方差未知时关于 均值的单侧置信区间
对于正态总体X, 均值 和方差 均为未知, 设 是来自总体X的一组样本, 由6.3节抽样分布的定理1知
并参考图7-5, 我们可以令
整理得到
图7-5 t分布的单侧置信 区间
于是得到 的置信水平为 的一个单侧置
因此 的置信水平为 的单侧置信下限为
信区间
例7.4.5 从一批汽车轮胎中随机抽取16 只进行磨损试验, 记录其磨坏时所行驶 路程(单位: 公里), 算得样本均值 , 样本标准差s=6346. 设此样本来自正态总体 均未知. 取置信水平为0.95, 问该种轮胎平均行驶路程至少是多少
解
这里正态总体方差未知，故可利用(7.6.4)式.
已知 =1-0.95=0.05, n=16, 查表得, , 将 , s=6346代入, 得到
附表3-1
若正态总体X的均值 , 方差 均未知,设 是来自X的一组样本,由6.3节抽样分布的定理1知
所以正态总体均值μ的置信水平为 0.95的单侧置信下限为38335, 也就是该种轮胎平均行驶不少于38335公里. 可见，并不是16只磨损轮胎的寿命均值 公里.
(2)单个正态总体,均值未知时关于方差 的单侧置信区间
图7-6 分布的单侧置信区间
同样地, 参考图7-6, 我们考虑关系式
整理, 得到
单侧置信上限为
于是,我们得到总体方差 的置信水平
为 的一个单侧置信区间
例7.4.6 从一批灯泡中随机地抽取5只 作寿命试验, 测得寿命(单位:小时)为
1050, 1100, 1120, 1250, 1280.
设灯泡寿命服从正态分布.置信水平为0.95，分析生产该批次灯泡的稳定性.
已知n=5, 查表得到
解 分析生产该批次灯泡的稳定性，可用灯泡寿命的方差或标准差考量. 需要计算总体方差的最大值，就是方差的单侧置信上限.
附表3-2
讲评 单侧置信区间的求法与双侧置信区间的求法基本是一样的,只是双侧置信区间用的是上 分位点或者是 上分位点,而单侧置信区间用的是 上分位点或者是上 分位点,其它的都是一样的(如样本函数的构造等).
计算得到
所以，由(7.6.6)式得到所求总体方差的 单侧置信上限为
即得总体标准差的单侧置信上限为236.6(单位:小时)
将以上各个数据代入(7.4.5)，得 μx-μy的0.95置信区间（30.55，77.69）.
（3）由于μx-μy以概率0.95包含在区间中，因此以概率0.95可以断定μx-μy>30，即μx明显大于μy，可以认为工艺A产品的平均耐磨性明显高于工艺B的产品.
7.4.4 内容小结
1. 单个正态总体均值μ的置信区间
2. 单个正态总体方差σ2的置信区间
(1)
(2)
3. 两个正态总体均值差μ1- μ2的 置信区间
4. 两个正态总体方差比 的置信区间
总体均值μ1，μ2未知时，
附表3-1
=0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16 1.0000
0.8165
0.7649
0.7407
0.7267
0.7176
0.7111
0.7064
0.7027
0.6998
0.6974
0.6955
0.6938
0.6924
0.6912
0.6901 3.0777
1.8856
1.6377
1.5332
1.4759
1.4398
1.4149
1.3968
1.3830
1.3722
1.3634
1.3562
1.3502
1.3450
1.3406
1.3368 6.3138
2.9200
2.3534
2.1318
2.0150
1.9432
1.8946
1.8595
1.8331
1.8125
1.7959
1.7823
1.7709
1.7613
1.7531
1.7459 12.7062
4.3027
3.1824
2.7764
2.5706
2.4469
2.3646
2.3060
2.2622
2.2281
2.2010
2.1788
2.1604
2.1448
2.1315
2.1199 31.8207
6.9646
4.5407
3.7469
3.3649
3.1427
2.9980
2.8965
2.8214
2.7638
2.7181
2.6810
2.6503
2.6245
2.6025
2.5835 63.6574
9.9248
5.8409
4.6041
4.0322
3.7074
3.4995
3.3554
3.2498
3.1693
3.1058
3.0545
3.0123
2.9768
2.9467
2.9208
分布表
1.7531
附表3-2
分布表
n α=0.995 0.99 0.975 0.95 0.90 0.75
1 － － 0.001 0.004 0.016 0.102
2 0.010 0.020 0.051 0.103 0.211 0.575
3 0.072 0.115 0.216 0.352 0.584 1.213
4 0.207 0.297 1.484 0.711 1.064 1.923
5 0.412 0.554 0.831 1.145 1.610 2.675
6 0.676 0.872 1.237 1.635 2.204 3.455
7 0.989 1.239 1.690 2.167 2.833 4.255
8 1.344 1.646 2.180 2.733 3.490 5.071
9 1.735 2.088 2.700 3.325 4.168 5.899
10 2.156 2.558 3.247 3.940 4.865 6.737
11 2.603 3.053 3.816 4.575 5.578 7.584
12 3.074 3.571 4.404 5.226 6.304 8.438
0.711
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0 0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987 0.9463
0.9564
0.9648
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9990 0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9993 0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9995 0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9871
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9997 0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9998 0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9998 0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9999 0.9535
0.9625
0.9700
0.9762
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.9999 0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9858
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
1.0000
1.96
附表2-2
标准正态分布表
附表3-1
=0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16 1.0000
0.8165
0.7649
0.7407
0.7267
0.7176
0.7111
0.7064
0.7027
0.6998
0.6974
0.6955
0.6938
0.6924
0.6912
0.6901 3.0777
1.8856
1.6377
1.5332
1.4759
1.4398
1.4149
1.3968
1.3830
1.3722
1.3634
1.3562
1.3502
1.3450
1.3406
1.3368 6.3138
2.9200
2.3534
2.1318
2.0150
1.9432
1.8946
1.8595
1.8331
1.8125
1.7959
1.7823
1.7709
1.7613
1.7531
1.7459 12.7062
4.3027
3.1824
2.7764
2.5706
2.4469
2.3646
2.3060
2.2622
2.2281
2.2010
2.1788
2.1604
2.1448
2.1315
2.1199 31.8207
6.9646
4.5407
3.7469
3.3649
3.1427
2.9980
2.8965
2.8214
2.7638
2.7181
2.6810
2.6503
2.6245
2.6025
2.5835 63.6574
9.9248
5.8409
4.6041
4.0322
3.7074
3.4995
3.3554
3.2498
3.1693
3.1058
3.0545
3.0123
2.9768
2.9467
2.9208
分布表
2.1315
附表4-2
分布表
n α=0.995 0.99 0.975 0.95 0.90 0.75
1 － － 0.001 0.004 0.016 0.102
2 0.010 0.020 0.051 0.103 0.211 0.575
3 0.072 0.115 0.216 0.352 0.584 1.213
4 0.207 0.297 1.484 0.711 1.064 1.923
5 0.412 0.554 0.831 1.145 1.610 2.675
6 0.676 0.872 1.237 1.635 2.204 3.455
7 0.989 1.239 1.690 2.167 2.833 4.255
8 1.344 1.646 2.180 2.733 3.490 5.071
9 1.735 2.088 2.700 3.325 4.168 5.899
10 2.156 2.558 3.247 3.940 4.865 6.737
11 2.603 3.053 3.816 4.575 5.578 7.584
12 3.074 3.571 4.404 5.226 6.304 8.438
0.989
附表4-1
分布表
n α=0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
1 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
2 2.773 4.605 5.991 7.378 9.210 10.597
3 4.108 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838
4 5.385 7.779 9.488 11.143 13.277 14.860
5 6.626 9.236 11.071 12.833 15.086 16.750
6 7.841 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548
7 9.037 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278
8 10.219 13.362 15.507 17.535 20.090 21.955
9 11.389 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589
10 12.549 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188
11 13.701 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757
12 14.845 18.549 21.026 23.337 26.217 28.299
13 15.984 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819
14 17.117 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319
15 18.245 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801
16 19.369 23.542 26.296 28.845 32.000 34.267
20.278
n1
n2 1 2 3 4 5 6 7
1
2 647.8
38.51 799.5
39.00
864.2
39.17
899.6
39.25 921.8
39.30 937.1
39.33 948.2
39.36
3 17.44 16.04 15.44 15.10 14.88 14.73 14.62
4 12.22 10.65 9.98 9.60 9.36 9.20 9.07
5 10.01 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85
6 8.81 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70
7 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99
附表6 F分布表 α = 0.025
7.39
9.36

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