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第六章 数理统计的基本概念
6.3 正态总体的常用抽样分布
第六章 数理统计的基本概念
内容摘要: 本节课给出了常用统计量的分布——抽样分布, 包括χ2分布、t分布和F分布.这三个分布是统计学的三大分布.抽样分布及后面的四个定理, 在数理统计中起着重要的作用.
6.3 正态总体的常用抽样分布
6.3.1 提出问题
(2) 正态总体的样本均值和样本方差服从什么样的分布呢
(1) 统计量是随机变量，统计量服 从什么样的分布呢？
6.3.2 预备知识
随机变量函数的概率分布, 统计量，独立性，上α分位点，样本均值，样本方差.
6.3.3 建立理论
统计量是样本的函数, 是依赖于样
本的. 而样本是随机变量, 所以统计量也是随机变量, 因而统计量就有它们自己的分布. 一般称统计量的分布为抽样分布. 在使用统计量进行统计推断时常常需要知道它的分布. 当总体的分布函数已知时, 抽样分布是确定的, 然而要求出统计量的精确分布, 实际操作起来是很困难的.
本节介绍正态总体的常用统计量的分布.
1. 分布
是来自标准正态总体
N(0, 1)的样本, 则称统计量
定义1 设
服从自由度为n的 分布, 记为
(3.1)
此处自由度是表达式 中所
包含的独立变量的个数.
(1) 应该认识到 统计量是相互独
立的同标准正态分布的随机变量的平方和；
(2) 若随机变量服从正态分布，则应该利用标准化变换公式，转化为新随机变量服从标准正态分布，然后利用上述的定义1.
讲评
性质1
分布实际上就是参数为
的 分布,即 分布的概率密度为
(3.2)
分布的概率密度
的图像见图6-2.
图6-2
分布的概率密度曲线
性质2( 分布的可加性) 设
并且 独立, 则有
(3.3)
性质3( 分布的数学期望和方差) 若
则有
(3.4)
证明从略.
根据 分布的定义易得 分布的可加性.
证 因为Xi～N(0,1), 所以，
于是，
例6.3.1 设总体X服从N(0, 22), 而是来 自总体X的样本. 问：
(1) 随机变量 服从什么分布？
(2) 随机变量 服从什么分布？
(3) 随机变量Y1和Y2相互独立吗？
因为 是来自总体X的样本，
解
所以，样本各分量相互独立，各分量 与总体X服从同一正态分布N(0, 22).
由2.4节定理，作标准化变换：
(1) 由χ2的定义，得到
即，随机变量 服从自由度为10的χ2分布.
(2) 同理， 服从自由度为5的χ2分布.
(3) 由 相互独立, 依据3.3节定义2知得到 和 独立. 再由3.3节定理3结论(2)知，Y1和Y2相互独立.
讲评
充分运用 分布的定义来求解：把所求随机变量问题化成几个服从标准正态分布的随机变量的平方和. 提示考研同学重视.
(3.5)
定义2 ( 分布的分位点) 对于给
定的正数 , 称满足条件
的点 为 分布的上 分位点.
对于不同的 与n,上 分位点可查表求得.
例如, 对于 ,查得
该表只列到n = 45为止.费歇(R. A.
Fisher)曾证明, 当n充分大时, 有近似公式
(3.6)
费舍尔
其中 是标准正态分布的上 分位点.
由上式可求得当 时的 分布的上
分位点 的近似值.
例如, 对于 ,n = 50, 由(3.6)式得
2. t 分布
定义3 设X～N(0, 1),
且X与Y相互独立,则称随机变量
(3.7)
服从自由度为n 的t 分布, 记为
t～t (n).
t分布又称学生氏(Student)分布.
讲评 (1) 应该认识到：t分布的分子是 服从标准正态分布的，分母是相互独立 的同标准正态分布的随机变量的平方和除以 随机变量个数再开平方；
(2) 若随机变量服从正态分布，则应该利用标准化变换公式，转化为新随机变量服从标准正态分布，然后利用上述的定义3.
性质1 t(n)分布的概率密度为
(3.8)
证明从略.
t 分布的概率密度
的图像见图6-4.
图6-4 t 分布的概率密度h(t)曲线
t分布的概率密度曲线h(t)关于y轴对称,
其函数为偶函数, 很像标准正态分布的
密度曲线,由 函数的性质可得
故当n足够大时, t分布近似于正态分布N(0,
1).但对于较小的n, t分布与标准正态分布
有较大差别.
性质2
t(n)分布的数学期望 方差
证明从略.
例6.3.2 继续深入研讨例6.3.1：设总体X服从N(0, 22)： 是来自总体
X的样本. 继续追问：统计量
服从什么分布？
由例6.3.1知，
解
因为 Xk～N(0, 2)，k=1,2,…,15，利用2.4节定理1知，
X1+ X2+…+ X10～N(0, 20).
由t分布的定义知
所以统计量U服从自由度为5的t分布.
对其标准化变换，得到
讲评
本题考查的是t 分布的定义, 服从t 分布的随机变量是服从标准正态分布的随机变量与服从 分布的随机变量再开方的商的形式,它是结构型定义.它和F分布有“商相似”的地方，容易混淆.
定义4 (t分布的分位点) 对于给定的正数
称满足条件
(3.9)
分位点 为t(n)分布的上 分位点 .
由t 分布的上 分位点的定义及概率
密度h(t)图像的对称性知
t 分布的上 位点可查表得到.在
时, 对于常用的 值, 就用正态分布的上 分
位点近似计算:
(3.10)
例如,查表得
3. F分布
(3.11)
服从自由度为n1, n2的F分布, 记为
定义5 设 并且
相互独立, 则称随机变量
(1) 应该认识到：F分布的分 子是相互独立的同标准正态分布的随机 变量的平方和除以随机变量个数，分母 也是相互独立的同标准正态分布的随机变量的平方和除以随机变量个数. 但是，和t分布的分母不同，F分布的分母没有开方； (2) 若随机变量服从正态分布，则应该利用标准化变换公式，转化为新随机变量服从标准正态分布，然后利用上述的定义5.
讲评
性质1 分布的概率密度为
证明从略.
图6-6 F分布的概率密度 曲线
由F分布的定义立即得到下面的性质2.
性质2 若 则
定义6(F分布的分位点) 对于给定的正数
, 称满足条件
(3.12)
的点 为 分布的上 分位点.
其几何意义见图6-7.
F分布的上 分位点可从表中查到.
图6-7 F分布的上 分位点
性质3 F分布的上 分位点有性质
(3.13)
证 设F～F(n1, n2), 则有
从而
讲评 我们经常用此性质来求F分布表中未
列出的常用的上 分位点.
所以，
例如,
因为 ，由性质2得到
所以，
例6.3.3 继续深入研讨例6.3.1：设总体X
服从 而 是来自总体X
的样本,再继续追问：统计量
服从什么分布？
解 由例6.3.1得到
且Y1，Y2相互独立.于是，由F分布的 定义，得到
也就是，
(1) 应该认识到：分子及分母是
相互独立的同正态分布的随机变量的平方
和的形式，分母没有开方，对比例6.3.2；
(2) 题设随机变量服从正态分布，应该利用标准化变换公式，转化为新随机变量服从标准正态分布，然后利用F分布的定义.
(3) 对比例6.3.1,例6.3.2,例6.3.3，在解题分析、确定方法、联系比对等方面总结.
讲评
4. 正态总体的样本均值与
样本方差的分布
我们假设6.2节的定理1中总体
于是我们得到如下有关抽样分布的定理:
定理１设 是来自正态总体
的样本, 是样本均值, 为样本方差, 则有
(1) (3.14)
(2) (3.15)
(3) 与 独立;
(4) (3.16)
证 结论(2),(3)的证明略. 结论(1)由6.2节定理1的结论(1)得到. 主要证明结论(4). 由结论(1), (2)和(3)知
且两个随机变量相互独立, 再由 t分布的
整理上式，得到
所以，结论(4)得证.
定义知
定理1和下面的定理2揭示了样本 均值和样本方差（或算术表达式）所服从的概率分布，通常称为“抽样分布定理”. 它们在理论上和实用方法上均非常重要，是我们以后学习“区间估计”、“假设检验”的常用的重要结论. 提示读者一定给以重视.
讲评
对于两个正态总体下的样本均值与样本方差有以下定理:
定理2 设 与 分别
是来自正态总体 与
的样本, 且这两个样本相互独立.设
分别是这两个样本的样本均值,
分别是这两个样本的样本方差, 则有
(1) (3.17)
其中,
(2) 当 时,
(3.18)
证 结论(2)证明略.
我们只证结论(1).由定理1中的结论
(2)得到
因为 独立, 由F分布的定义知
整理上式，得到
例6.3.4 设 是来自正态总体 的样本, 求
由抽样分布的定理1的结论(2)知
解
由于
所以，
反查表,当n = 29时,有
所以
6.3.4 内容小结
解决问题:
(1) 统计量服从什么样的分布呢？有χ2分布、t分布合F分布.
(2) 正态总体的样本均值和样本方差服从 什么样的分布呢
(1) 统计量是随机变量，统计量服从什么
样的分布呢？
(2) 三个常用抽样分布及后面的定
理1和定理2, 在数理统计中起着重要的
作用. 而正态总体的样本均值与样本方差的分布定理是统计推断的重要基础理论.
费歇耳(R. A. Fisher,1890—1962)， 英国统计学家、遗传学家，推断统计的 创始人. 主要统计学著作有：《数理统 计学的数学基础》(1922)，《统计估计理论》(1925)，《研究人员用统计方法》(1925)，《统计方法与推断科学》(1956). 对统计推断的主要贡献是：给出了t分布的数学论证，最先提出了F分布的理论，奠定了数理统计中的小样本理论；首先倡导了实验设计、方差分析，提出了随机化的概念；创立了点估计和区间估计的数学理论；设计了研究多元统计法.

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