资源简介

(共26张PPT)
第八章 假设检验
8.3 正态总体方差的假设检验
第八章 假设检验
8.3 正态总体方差的假设检验
内容简介: 给出单个和两个正态总体关于方差的假设检验方法, 这些方法在解决实际问题中, 往往和正态总体均值的假设检验方法综合使用.
(1) 已知考生成绩服从正态分布，是否可以认为该次考试成绩的标准差是15分
(2) 已知两个年级的考生成绩服从正态分布，是否可以认为今年的《高等数学》考试成绩与上一年级同样稳定 (3) 问两台机器工作的稳定性相同吗？问两射手射击水平的稳定性等等.
8.3.1 问题提出
8.3.2 预备知识
样本均值, 样本方差, χ2分布, F分布.
1. 单个正态总体 方差的检验
检验法
设 X1, X2, …, Xn 是来自正态总体 N( , 2)的样本, 均未知.
8.3.3 方法研究
真正实用的是总体均值 未知的情形. 因为样本均值 是总体均值 的无偏估计, 我们用样本均值 代替总体均值 .
选用检验统计量
所以其双侧假设检验的拒绝域为
H0 : 2 = , H1: 2 .
要检验假设
类似地, 可以求出
左侧假设检验的拒绝域为
同样, 可以求出
右侧假设检验的拒绝域为
例8.3.1 在生产条件稳定的情况下,一
自动机床所加工零件的尺寸服从正态分
布. 标准差是衡量机床加工精度的重要特征,假设设计要求σ≤0.5mm. 为控制生产过程, 定时对产品进行抽验: 每次抽验5件, 测定其尺寸的标准差S. 试制定一种规则, 以便根据S的值判断机床的精度是否降低了(取显著性水平 ).
这里要求为样本标准差确定一个上限S0: 当S≤S0时认为机床加工精度符合设计要求, 当S>S0时则认为机床加工精度比设计要求降低了. 临界值S0的确定可以通过构造假设检验的方法解决.
解
设零件的尺寸X～N(μ,σ2).考虑假设 , 的检验，其中. 检验基于来自总体X的容量为n=5的简单随机样本，检验统计量
服从自由度为 分布.
对于 和自由度4，查表得到 .从而得假设 的水平 的拒绝域
附表4-1
2≤ 02
2> 02
2< 02
2≥ 02
2= 02
2 02
( 已知)
原假设
H0
备择假设
H1
检验统计量
拒绝域
检验法
关于 2 的
2≤ 02
2> 02
2< 02
2≥ 02
2= 02
2 02
原假设
H0
备择假设
H1
检验统计量
拒绝域
( 未知)
检验法
关于 2 的
2. 两个正态总体方差比的检验(F检验法)
设 X1, X2, …, Xn是总体 X ~ N( 1 , 12)的样本,
设 Y1, Y1 …, Ym是总体 Y ~ N( 2 , 22)的样本,
且两样本相互独立,
1, 2
均未知.
H0 : 12= 22, H1: 12 22.
要检验假设
选用检验统计量
所以其拒绝域为
类似地, 可以求出
左侧假设检验的拒绝域为
同样,可以求出右侧
假设检验的拒绝域为
例 8.3.2 某校从2011年级抽取两个班的学生, 用两种不同的教学方法, 学习相同的内容, 一段时间后测得31人的一班平均分88分, 均方差S1 =15分; 测得30人的二班平均分82分, 均方差S2 =12分. 假设学生成绩均服从正态分布, 且相互独立. 取显著性水平a=0.1. 问: 这两种教学方法效果是否有显著差异？
思考题 反映“教学效果优劣”的数量指标有哪些呢？
查表得
选用检验统计量
H0 : 12= 22, H1: 12 22.
假设
解 (1) 首先进行方差相等的假设检验
于是拒绝域为
F≥2.09或 F≤0.478,
计算得
因F值没有落入拒绝域, 故只好接受H0. 所以，可以认为两种方法的效果的方差(稳定性)没有显著差异.
(2) 检验均值是否有显著差异
由(1)结论可知, 两个正态总体的方差
可以认为相等, 现在应进一步检验假设
选用检验统计量
其中，
由α=0.10, n1+ n2-2=59大于一般样本容量45, 利用6.3节(6.3.10)式知, 得到 t0.05(59)≈z0.05=1.645. 故拒绝域
|t|≥
也就是
.
计算得
所以，t 的值为
讲评 (1) 此例没有给出这两个正态总体各自的均值和方差，问题“效果是否出现显著差异 ”提示我们: 首先要检验两个总体方差是否相等, 即检验“教学效果”精度怎样;
因为样本观察值 , 因此应拒绝H0, 即认为两种不同的教学 方法的教学效果产生了显著差异.
1.767>1.645
在“方差可以认为相等时”, 接着要检 验两个总体均值是否相等, 即检验“教 学效果的平均成绩” 是否不同或有 较大差别. 应该首先选用F 检验法双侧假设检验的拒绝域形式, 再选用t 检验法双侧假设检验的拒绝域形式. 此检验过程可以抽象为“先F后t 检验”.
(2) 要特别注意“显著性水平0.1”
对半分, 查表分别得到F 检验法和
t 检验法的两个临界值点.
(3) 此例特别实用, 许多科技论文在进行数据统计分析时常常采用此法. 提示读者一定给以足够重视.
12 = 22
12 22
12≤ 22
12 > 22
12 ≥ 22
12 < 22
关于方差比 12 / 22 的检验
( 1, 2
均未知)
原假设
H0
备择假设
H1
检验统计量
拒绝域
(1)总体均值已知时, 用 检验法;
(2)总体均值未知时, 用 检验法.
2. 两个正态总体情形
1. 单个正态总体情形
8.3.4 内容小结
(1) 两总体均值均未知时, 用F 检验法.
3. 如何选择原假设和备择假设
在假设检验中, 原假设与备择假设的 确定没有硬性标准. 在实际问题中, 我 们一般根据具体问题的检验目的与心 理需求而定. 当我们希望利用样本观察值取得对某一检验目的具有强有力的支持时, 通常把这一检验目的的否定作为原假设. 例如我们希望得到总体方差显著变小( )的论断, 这时我们提出的假设为 这是我们提出假设检验的主要原则.
附表4-1
分布表
n α=0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
1 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
2 2.773 4.605 5.991 7.378 9.210 10.597
3 4.108 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838
4 5.385 7.779 9.488 11.143 13.277 14.860
5 6.626 9.236 11.071 12.833 15.086 16.750
6 7.841 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548
7 9.037 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278
8 10.219 13.362 15.507 17.535 20.090 21.955
9 11.389 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589
10 12.549 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188
11 13.701 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757
12 14.845 18.549 21.026 23.337 26.217 28.299
13 15.984 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819
14 17.117 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319
15 18.245 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801
16 19.369 23.542 26.296 28.845 32.000 34.267
9.488

展开更多......

收起↑