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第八章 假设检验
8.2 正态总体均值的假设检验
第八章 假设检验
8.2 正态总体均值的假设检验
内容简介: 给出单个及两个正态总体关于均值的假设检验方法, 这些方法在解决实际问题中是重要的一个环节.
(1) 已知考生成绩服从正态分布, 是否可以
认为该次考试平均成绩是70分
(2) 已知两个年级的考生成绩服从正态分布, 是否可以认为今年的《高等数学》考试平均成绩比上一年高6分
8.2.1 问题提出
8.2.2 预备知识
正态分布的均值, 假设检验的基本思想, 拒绝域的三种形式.
1. 单个正态总体 均值μ的检验
(1) 方差 2已知
Z 检验法
1) 双侧检验
H0 : = 0 , H1: ≠ 0 .
要检验假设
构造检验统计量
设 X1, X2, …, Xn 是总体 X ~ N( , 2)的样本,
,S 2 分别是其样本均值和样本方差.
8.3.3 研究方法
对给定的显著性水平 ,由
得 H0 的拒绝域：|Z|≥ z /2 或
检验: 若统计值z落入拒绝域 内, 则拒绝 H0 ,
否则, 不得不接受原假设H0 .
由样本观测值算出 Z 的统计值
得 H0 的拒绝域: Z ≥z 或
由样本观测值算出 Z 的统计值
检验: 若z落入拒绝域 C 内, 则拒绝 H0 ,
否则, 接受 H0 .
2) 右边检验
H0 : ≤ 0 , H1: > 0 .
要检验假设
构造检验统计量
得 H0 的拒绝域: Z ≤-z 或
由样本观测值算出 Z 的统计值
检验: 若z落入拒绝域 C 内, 则拒绝 H0 ,
否则, 接受 H0 .
3) 左边检验
H0 : ≥ 0 , H1: < 0 .
要检验假设
构造检验统计量
例8.2.1 某灯管制造厂生产一种灯管,
其寿命(单位:小时) ,从过去经验看 . 今采用新工艺进行生产后, 从产品中随机抽取25只进行测试, 得到寿命的平均值为1675. 取显著性水平 =0.05. 问：
(1) 采用新工艺后, 灯管寿命是否有显著变化
(2) 采用新工艺后, 灯管寿命是否有显著高
依据题意知σ2=2002, 故利用Z法检验.
解
(1) 要检验假设
取检验统计量
, 拒绝域为
查表得临界值
根据
算出
由于
故拒绝 , 即可以认为采用新工艺后灯管寿命有显著变化.
(2) 要检验假设
此时拒绝域变为
临界值变为
检验统计量的观测值仍是
由于
故拒绝 , 即可以认为采用新工艺后灯管寿 命有显著提高.
思考题 问题“有显著变化”和“有显著提高” 怎样提出假设呢？关键的区别在哪？假如问“是否有显著的降低”怎样提出假设？
Z 检验法 ( 2 已知)
原假设
H0
备择假设
H1
拒绝域
0
0
≥ 0
≤ 0
< 0
> 0
检验统计量
(2) 方差 2未知时
1) 双侧检验
t检验法
H0 : = 0 , H1: ≠ 0.
要检验假设
取检验统计量
对给定的水平 ,求分位数 t / 2(n-1), 使得
由此可得 H0 的拒绝域:
由样本观测值算出 T 的值
检验：若 t落入拒绝域 C 内, 则拒绝 H0 ,
否则, 只好接受原假设 H0 .
|T|≥ t /2(n-1), 或者
2) σ2未知时单侧检验(右边检验)
H0 : ≤ 0 , H1: > 0 .
要检验假设
构造检验统计量:
当H0 成立时, 则 ≤ 0 , 又有
对给定的水平 ,求分位数 t (n-1), 使得
由此可得H0 的拒绝域:
|T|≥t ,或
检验: 若 t 落入拒绝域 C 内, 则拒绝 H0 ,
否则, 则接受 H0 .
由样本观测值算出T 的值
例8.2.2(考研题)　设某次考试的
学生成绩服从正态分布, 从中随机地
抽取36位考生的成绩 , 算得平均成绩为66.5分, 标准差为15分. 问在显著性水平0.05下, 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分 并给出检验过程.
解 设该次考试的考生成绩为X, 则
X～N( ).
提出假设
由n=36,
算得
即, 在显著性水平0.05下, 可以认为这次考试
的全体考生的平均成绩为70分.
所以接受
没有落入拒绝域
拒绝域为
讲评
(1) 此例没有给出总体方差, 应该
利用样本方差参与计算；要检验总体均值, 应该选用t 检验法;
(2) 问题“是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分 ”提示我们, 应该用双侧假设检验的拒绝域形式. 要注意“显著性水平0.05”对半分,查表得到临界值点.
0
0
≥ 0
≤ 0
< 0
> 0
T 检验法 ( 2未知)
原假设
H0
备择假设
H1
检验统计量
拒绝域
2. 两个正态总体均值差的检验
t检验法
(1) 方差相同且未知的情形
设 X1, …, Xn是总体 X ~ N( 1 , 2)的样本,
设 Y1, …, Ym是总体 Y ~ N( 2 , 2)的样本,
两样本相互独立,
未知.
假设检验
常用的是 1 = 2
样本方
差分别为
记这两个样本的均值分别为
其中
又因P{当H0为真时拒绝H0}
选用检验统计量:
同理, 若我们提出的是右边假设检验
常用的是 1 ≥ 2
于是, 我们得到拒绝域为
此时我们可得拒绝域为
同理, 若我们提出的是左边假设检验
常用的是 1≤ 2
此时, 我们可得拒绝域为
构造检验统计量：
双边假设检验
通常取δ=0
(2) 方差已知的情形
因为 已知，于是，
z检验法
我们可得拒绝域为
右边假设检验
可得拒绝域为
左边假设检验
可得拒绝域为
1. 单个正态总体情形
8.2.4 内容小结
(1) 总体方差已知时，用Z检验法;
(2) 总体方差未知时, 用t 检验法.
2. 两个正态总体情形
(1) 总体方差已知时, 用Z检验法;
(2) 总体方差未知但是相同时, 用t 检验法.
3. 如何选择原假设和备择假设
在假设检验中,原假设与备择假设 的确定没有硬性标准. 在实际问题中, 我们一般根据具体问题的检验目的与 心理需求而定. 当我们希望利用样本观察值取得对某一检验目的具有强有力的支持时, 通常把这一检验目的的否定作为原假设. 例如我们希望得到总体均值显著增大( )的论断, 这时我们提出的假设为 这是我们提出假设检验的主要原则.

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