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第七章 参数估计
习题课
参数估计是统计推断的基本问题之一. 如果我们确定了总体的未知参数, 或者接受了未知参数的的某个取值, 我们就完全掌控了所研究的总体性质已知其分布类型(包含未知参数), 通过样本对总体中的未知参数进行估计的问题就是本章的参数估计问题. 分三块讲解:一是“主要内容归纳”，二是“例题分类解析”，三是“学习与研究方法”总结.
内容简介：
在“例题分类解析”部分，讲解了：1. 参数的矩估计法；2. 估计量的评判标准； 3. 参数的最大似然估计法；4. 参数的区间估计；5. 区间估计方法的综合问题举例.
本章重点：
2.置信区间的基本概念;
1.矩估计法和最大似然估计法,估计量的
三个评选标准;
3.正态总体均值和方差在给定置信水平条件下的置信区间的求法;
4.单侧置信区间的概念.
本章难点：
1.最大似然估计法的应用;
2.正态总体均值和方差的单侧置信区间的
求法.
一、 主要内容归纳
1. 参数的点估计
表7-1 参数点估计的概念
点估计问题 总体X的分布函数的形式已知,有一个或多个未知参数,借助其样本估计总体未知参数的值.这类问题称为参数的点估计问题.
估计量与
估计值 设总体X的分布函数F(x;θ)的形式已知,其中θ是未知参数(待估参数),X1,X2,…,Xn是X的一个样本, x1,x2,…,xn是相应的样本值.我们构造一个适当统计量
矩估计法 用相应的样本的l阶矩作为总体的l阶矩的估计量, 这种估计方法称为矩估计法.
为θ的一个估计量.
,用它的观察值
作为未知
参数θ的估计值.称
最大似然原理 在多个随机事件中, 实际发生的事件应该是概率最大的事件,此即为极大似然原理(又称大概率原理).
最大似然
估计法 已知样本值x1,x2,…,xn, 在θ取值的可能范围Θ内挑选使似然函数L(x1,x2,…,xn;θ)达到最大的参数值
, 把
作为未知参数θ的估计值. 即取
这样得到的
(x1,x2,…,xn)称
为参数θ的最大似然估计值, 而相应的统计量
(X1,X2,…,Xn)称为参数θ的最大似然估计量.
使L(
我们一定要注意区分“估计量”与“估计值”这两个作用不同的概念.同时要注意区分大小写字母.
讲评
2. 矩估计法与最大似然估计法
常用的构造估计量的具体步骤
矩估计法的具体步骤:
(1) 写出总体的l阶矩:
设
这是包含k个未知参数
的方程组.
(2) 写出样本的l阶矩:
(3) 令
(4) 解由(3)确定的方程组
解出上面的方程组, 得到
并记为
这种估计量称为矩估计量.
矩估计量的观察值称为矩估计值.记为
(5) 确定矩估计量和矩估计值：
以
作为
的估计量.
最大似然估计法的基本步骤
(1) 由总体分布写出样本的似然函数L(θ).
若总体X属于离散型, 其分布律P{X=x}=p(x,θ)
的形式为已知, θ为待估参数,
是θ可
能取值的范围.
设X1,X2,…,Xn是来自X的一个样本,
则X1,X2,…,Xn的联合分布律为
　 又设x1,x2,…,xn是相应于样本X1,X2,…,Xn 的一组样本值, 则事件{X1= x1,X2= x2,…, Xn= xn}发生的概率, 即样本的似然函数为
　 若总体X属于连续型, 其概率密度f(x;θ)的形式已知,θ为待估参数,
是θ可能取值的范围.
　 设X1,X2,…,Xn是来自X的样本, x1,x2,…,xn是相应于样本X1,X2,…,Xn的一组样本值.
则样本的似然函数为其联合概率密度
(2) 建立似然方程, 即令
(这个方程也称为对数似然方程);
.
.
(3) 解上面的似然方程或对数似然方程即得
.
.
.
　 (1) 似然函数中的未知参数可以有 多个. 若未知参数有两个或两个以上,则在第二步中就改为求偏导. 在第二步中我们要求的是L(θ)的最大值点, 而lnL(θ)的最大值点与L(θ)的最大值点是相同的.
讲评
　　(2) 关于“最大似然估计”的方法, 我们一 定要注意: 本质是求L(θ)的最大值点. 所以, 如果似然函数没有导数为零的点, 应分析L(θ)或ln L(θ)的单调性质, 得到最大值点.
3．估计量的评判标准
(1) 无偏性
的数学期望
,则
,有
对于
若估计量
是θ的无偏估计
量.
(2) 有效性
使上式中
设
与
都是
的无偏估计量,若对于任意
, 有
,且至少对于某一个
的不等号成立.
则称
较
有效.
则称
是θ的一致估计量.
一致估计量又称为相合估计量.
即, 若对于任意的
满足: 对于任意
有
设
为参数
的估计量,
, 当
时
依概率收敛于θ,
则称
是θ的一致估计量.
若对于任意
(3) 一致性(相合性)
对于任意
满足
是
则称随机区间
的置信水平为
α(0<α<1),
对于给定值
确定两个统计
若由总体X的样本
和
量
4．区间估计
的置信区间.
和
分别称为置信水平
的双侧置
信区间的置信下限和置信上限.
称为置信水平,又叫置信度.
求未知参数
的置信区间的具体做法:
(1) 寻求一个样本
的函数
,而不含
,它包含待估参数
其它未知参数,并且
的分布已知且不依赖于
任何未知参数(当然也不依赖于待估参数
(2)对于给定的置信水平
,定出两个
常数 使
讲评
那么
就是
的一个置信水平为
的置信区间.
都是统计量,
(3) 若能从
得到
等价不等式
,其中
以上三步中,第一步是关键.寻找函
的方法,一般从
着手考虑.
数
的点估计
量 较大,对于给定的置信水平
,于是可有
从总体中抽取样本
,因样本容
5．大样本非正态总体参数的区间估计
设总体
的分布函数为
,其中
是未知参
数.于是总体均值
,总体方差
都是
的函数.
的置信水平为
那么
就是
的近似
的置信区间.
6．单侧置信区间
解出等价不等式
设已知样本的观察值为
, 若能
从不等式
总体X中含有未知参数θ, 对于给定值
,若由来自总体
的样本
α
称为θ的置信水平
间,
又若统计量
,对于任意
满足
，则称随机区间
是θ的置信水平为
的单侧置信区
单侧置信上限.
的
单侧置信区间,
,对于任意
满足
则称随机区间
置信水平为
的
置信水平为
的
单侧置信下限.
确定的统计量
是θ的
称为θ的
单个正态总体
均值的置信区间
已知
未知
方差的置信区间
7. 正态总体均值与方差的置信区间
两个正态总体
均值差的置信区间
均为已知
= 但
方差比
的置信区间
=
为
未知
二、 例题分类解析
1. 参数的矩估计法
例1 设某打字员一天中打错字的次数X服从参数为λ的泊松分布,λ未知.有以下统计数据:
打错字次数k 0 1 2 3 4 5 6 k
发生打错字k次天数nk 75 90 54 22 6 2 1
试用矩估计法估计参数λ.
　 本题目涉及矩估计的概念或性质,
是离散型总体的点估计问题.
令
, 则得λ的矩估计量为
代入样本值, 得到λ的矩估计值为
　 先求总体矩和样本矩.又总体只有一个
待估参数,则只用一阶原点矩即可.
分析
解
讲评 解题关键步骤在于:用离散型总 体的样本矩代替总体矩计算.这是离散 型总体情形,关于连续型总体的矩估计法参见下例.
扩展 本题目条件改为指数分布, 或者考虑连续型总体的点估计问题.
分析 本题目涉及矩估计的概念(或性质), 是连续型总体的点估计问题.
为来自X的一个样本,
例2 设总体X的概率密度为
X1, X 2, … , X n
求θ的矩估计量.
由矩估计的基本思想,先求总体矩和样本
矩.由于只有一个待估参数,用一阶原点
矩即可.
令
, 则得θ的矩估计量为
讲评 解题关键在于: 用连续型总体的样
本均值代替总体均值计算.
扩展 改变概率密度，用正态分布等.
解 计算得到
分析 本题目涉及估计量的评判标准, 直接利用无偏估计量和有效性定义即可.
证 由于
例3 设总体
为来自X的样
试证:
和
都是总体期望的无偏估计,并比较哪一个更有效
本.
2. 估计量的评判标准
故
与
都是
的无偏估计量.
又因为
可见
故
是比
更有效的估计量.
讲评 本题旨在使学生理解与掌握估计 量的无偏性及有效性概念及判别的具体 方法.
扩展 有效性是在满足无偏性条件下的标准,应先检验无偏性;如果此题直接问“哪一个更有效 ”,
读者需要注意什么问题
3. 参数的极大似然估计法
例4 设总体X的概率密度为
其中a>0为待估参数, X1, X 2,…, X n为来自X的
一组样本, 求a的最大似然估计量.
分析 本题是在连续型总体的假设下, 涉
及最大似然估计量的求法.
解 设x1, x2,…, xn是样本X1, X 2, … , X n的
观察值,则似然函数为
取自然对数得到
求导,得似然方程
a的最大似然估计量为
讲评 本题旨在加强学生对最大似然估计理论的理解,训练最大似然估计量的求法,关键在于似然函数的写出和其最大值点的求法.
解上述对数似然方程,可得
a的极大似然估计
值为
扩展
(1) 用最大似然估计法求待定参数的 最大似然估计量,要先写出样本值(见本题),得到最大似然估计值,再改写大写字母,得到最大似然估计量.
(2) 在实际应用中,通常样本值x1, x2,…, xn是一组具体的数值, 这样得到具体的 最大似然估计值. 比如, x1=0.1,x2=0, x3=0.5, x4=0.8, x5=0.2, 请读者求解这个问题. 注意解答时正确书写解题过程.
(3) 关于离散型总体应用最大似然估计理论参见下例题.
X 0 1 2 3
P
例5 设总体X的概率分布为
其中
是未知参数,利用样本值
的矩估计值
,求
和最大似然估计值.
分析 本题目是在离散型总体条件下,考查读者掌握矩估计法和最大似然估计法 的应用能力.
解 因为总体一阶矩
而样本一阶矩
令
,即
的矩估计量
故
所以
的矩估计值
对于给定的样本值, 似然函数为
取对数得
令
解得
讲评 矩估计法和最大似然估计法是两种求未知参数点估计的方法,这两种方法求出的估计量或估计值可能是不一样的,见本例解法及答案.
因 不合题意, 所以的最大似 然估计值为.
扩展 (1) 如果要求“求
的最大似然估计
量”,读者考虑一下,怎样书写解答过程
(2) 条件
可以去掉, 解题时自己
挖掘出来, 想一想为什么
4. 参数的区间估计
例6 某自动包装机包装食用糖, 其重量服从正态分布N(μ,σ2). 今随机抽查12袋, 测得重量(单位:克)分别为: 1001, 1004, 1003, 1000, 997, 999, 1004, 1000, 996, 1002, 998, 999.
(1)求总体平均袋重μ的矩估计值;(2)求总体 方差σ2的矩估计值;(3)求μ的置信水平 为0.95的置信区间;(4)求σ2的置信水平为0.95的置信区间;(5)若已知σ2=8,求μ的置信水平为0.95的置信区间.
分析 本题涉及比较全面的参数估计方法,包括点估计和区间估计,考查矩估计和区间估计的理论.
解
(1) 总体平均袋重μ的矩估计值为
(2) 总体方差σ2的矩估计值为
(3) 由于σ2未知, μ的置信水平为0.95的置信区间 应为
由样本得s=2.6328, n=12, 查表得
则所求μ的置信水平为0.95的置信区间为
(4) 由于μ未知, σ2的置信水平为0.95的 置信区间应为
查表得
所以σ2的置信水平为0.95的置信区间为
由样本得n=12, 查表得
,则
所求μ的置信水平为0.95置信区间为
(5) 由于假设总体方差已知σ2 = 8, 所以 μ的置信水平为0.95的置信区间应为
讲评 本题旨在训练矩估计量和置信区 间的求法, 本题比较综合地考查了根据 样本全面估计、了解总体性质的具体方法和步骤, 体现了通过样本深入挖掘总体信息的整体思路.
扩展 (1) 总体方差的矩估计量
但是样本方差
,对此,读者应明
确些什么问题
(2) 何时应该大写字母,还是应该小写字母, 读者能区分开吗 考查本题的整个 解析过程.
例7 在测量人对某事件的反应时间时, 某专家估计的标准差为0.05秒. 为了以0.95的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过0.01秒, 问应取多大的样本容量n
分析 本题涉及到区间估计问题,考查区间估计方法的灵活应用, 应从区间估计基本方法入手.
解 以X表示反应时间, 则μ=E(X)为平
均反应时间.由条件知, 样本标准差s=0.05,
以样本均值 估计μ
.当n充分大时统计量
近似服从标准正
态分布N(0,1).
根据条件, 要求样本容量n满足
即
, 查表得
得到
即取样本容量n为68即可满足要求
讲评 本题说明根据区间估计的思想和方法可以求出所需的样本容量, 这在设计对总体的估计时很重要,尤其是在总体分布参数未知时根据中心极限定理, 大样本下可将总体视为正态总体.
分析置信区间 的结构,可以理解: 如果给定了其中的某些数据, 就可以求得剩余变量的取值，如本例求样本容量n.如果样本容量n已知, 我们可以计算总体标准差σ或置信区间长度.
扩展
n2=50的样本, 且算得
Y~N(μ2, 36),从
= 82,
中分别抽取容量为n1=75,
与
例8 设两总体
与
独立, X~N(μ1, 60),
= 76. 在置信水平
0.95下,试求
的置信区间.
本题是在两正态总体方差已知的条
件下,求均值差的置信区间,可直接套用公式.
分析
解 由公式知,所求置信区间为
查表可得
, 代入相应的数据,
可得
置信度为0.95的置信区间为
讲评 此题旨在考查两个正态总体均值 差的置信区间,关键在于置信区间的理 论和公式要理解并掌握.
扩展 考查总体均值差
,本质上是在
考查两个总体之间的均值相差多少.本题的实
,即
际意义:
.假设性能指标服从正
. 在置信水平0.90下, 求
两正态总体方差比的置信区间.
态分布
例9 甲、乙两工厂生产同一种产品. 为比较两种产品的性能, 从甲乙两厂产品中 分别抽取了8件和9件, 测得其性能指标X,得到两组数据. 计算得到：
分析 本题是求两正态总体方差比的置 信区间,可直接利用公式.
解 因为
公式得
的置信水平为
的置信区间为
，则由
已知
,查表并计算得
故
的置信水平为0.90的置信区间为
扩展 考查总体方差比,本质上是在考查两个总体之间的方差是否可以认为相等,或者相差多少.以本题为例,可以认为两总体的方差相等吗
讲评 此题旨在考查两个正态总体方差
比的置信区间, 关键在于置信区间的理论
和公式
要理解并掌握.
5. 区间估计方法的综合问题举例
例10 假设0.50, 1.25, 0.80, 2.00 是 来自总体X 的简单随机样本值. 已知Y= lnX服从正态分布N(μ ,1).
(1) 求总体X 的数学期望E(X)(记E(X)为b)；
(2) 求总体均值μ的置信度为0.95 的置信
区间；
(3) 利用上述结果,求总体数学期望b 的置
信度为0.95 的置信区间.
分析 本题目涉及正态分布随机变量函 数的数学期望以及对数学期望进行区 间估计的方法,再利用函数的单调性求出随机变量函数的置信区间.
解 (1) Y 的概率密度为
于是有
(2) 当置信度1 α =0.95时,标准正态分布
对应于α = 0.05 的上分位点等于1.96.
故由
可得
参数μ的置信度为0.95 的置信区间为
令
,于是
其中
表示总体Y 的样本均值，且有
将其代入上式,得μ的置信度为0.95的置信区间为 ( 0.98, 0.98).
(3) 由指数函数ex 的严格单调性，知
b 的置信度为0.95 的置信区间为(e 0.48,e1.48).
讲评 解题关键步骤在于利用X与Y
的函数关系. 该题目旨在考查学生处理函数关系的两个随机变量的置信区间的能力.
扩展 本题目涉及知识点比较多,考查了读者的综合分析问题和解决问题的能力.
(1) 可以不给方差σ2=1, 求解同样问题;
(2) 将E(X)改为D(X), 再求解同样问题.
(1) 求总体X的分布函数F(x);
例11 设总体X的概率密度为
其中
为未知参数, 又设
是X的一组
样本,记
(2) 求统计量
的分布函数
(3) 如果用
作为θ的估计量, 讨论它是否
具有无偏性.
解 (1) 总体X的分布函数
(2) 统计量
的分布函数
的分布函数,需要求出
求统计量
分析 本题目考查由概率密度求分布函数,
的
数学期望,才好讨论是否具有无偏性.
即
(3)
的概率密度为
因为
所以,
作为θ的估计量不具有无偏性.
讲评 该题目意在加深对分布函数概念和估计量的无偏性的理解,训练求最小随机变量的分布函数的方法和估计量的无偏性的方法, 是一道综合性很强的题目.
扩展 题设条件可以改变为
, 其余不变. 请读者解之.

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