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第八章 假设检验
习题课
假设检验是数理统计的基本问题之一,本章介绍了假设检验的基本原理和步骤, 给出了正态总体的未知参数的假设检验具体求法. 分三块讲解,一是“主要内容归纳”,二是“例题分类解析”,三是“学习与研究方法”总结. 在“例题分类解析”部分,讲解了1. 单个正态总体方差已知时关于均值的假设检验问题;
内容简介：
2. 单个正态总体方差未知时关于均值的
假设检验问题; 3. 单个正态总体关于
方差的假设检验问题; 4. 两个正态总体方差已知时关于均值差的假设检验问题;5. 两个正态总体关于方差比的假设检验问题.
本章重点：
1. 假设检验的基本思想与步骤;
本章难点：
1. 假设检验的原理, 备择假设的选定;
2. 单个及两个正态总体均值与方差的假
设检验的拒绝域.
一、 主要内容归纳
1. 基本概念
2. 单个及两个正态总体均值与方差的
假设检验.
表8-1 基本概念
假设
检验 假设检验是在总体的分布函数完全
未知或只知其形式但不知其参数的情
况下,为了推断总体的某些性质,先对总体的分布类型或总体分布的参数提出某种假设,然后根据样本提供的信息, 对所提出的假设做出接受或者拒绝的决策, 这一过程就是假设检验.
参数
假设
检验 分布类型已知,仅对总体分布中的未知参数提出假设的检验问题称为参数假设检验.
非参数
假设
检验 对总体的分布表达式或分布类型提出假设的检验问题,称为非参数假设检验.
第一类错误
(弃真错误)
当原假设H0为真时犯拒绝H0的错误.
第二类错误
(取伪错误)
当原假设H0不真时犯接受H0的错误.
显著性水平 只对犯第一类错误的概率α加以控
制, 而不考虑犯第二类错误的概率的检验称为显著性检验.α是一个事先指定的很小的正数, 称为显著性水平或检验
水平.
(2) 给定显著性水平α (一般取较小的正数如0.05, 0.01等);
(3) 选取合适的检验统计量及确定拒绝域的形式;
(4) 令P{当H0为真时拒绝H0}≤α, 求出
拒绝域;
2. 假设检验的基本步骤
(1) 根据实际问题本身提出合理的
原假设H0 和备择假设H1;
(5) 由样本值计算检验统计量的值, 并做
出决策: 拒绝H0或接受H0.
讲评
(1) 在假设检验中, 拒绝域的确定至关
重要, 而拒绝域的确定与备择假设、检验统
计量和显著性水平α有关.
(2) 若只检验总体参数是否增大,如
, 称为右侧检验.
若检验总体参数是否减少,如
, 称为左侧检验.
左侧检验和右侧检验统称为单侧检验;
(3) 根据检验统计量的形式, 假设检验分
为Z检验法, t 检验法, χ2检验法和F 检验法.
3. 基本结论
表8-3 正态总体双侧假设检验拒绝域(取显著性水平为α)
单个 正态总体 　
均值　　 假设检验 　已知
　未知
方差　 假设检验 　　
已知
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
单个 正态总体 方差　 假设检验
未知
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
=
=
,但
两个 正态总体
均值差　
假设检验 　　　　
已知
　
未知
方差
比　
假设检验 　　
均未知
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　
二、 例题分类解析　　　　　　　　　　　　　　
1.单个正态总体方差已知时关于
均值的假设检验问题——Z 检验法
　 分析 本题目是正态总体方差已知时关
于均值的假设检验问题, 用Z检验法.
　 在某大学06级男同学中随机抽取
9名同学的跳远测验成绩, 得样本均值
=4.38m ,假设跳远成绩X服从正态分布, 且标准差σ =0.3m. 取显著性检验水平α = 0.10, 问是否可以认为06 级男同学的跳远平均测验成绩为μ= 4.40m
　　
例1
解
提出假设: H0:μ=μ0=4.40; H1:μ≠μ0.
选取检验统计量
对于α=0.10, 查表, 得到拒绝域为
所以, 接受原假设H0:μ=μ0=4.40, 即可以
认为06级男同学的跳远平均成绩为μ = 4.40m.
代入, 计算得到
将
　 改变显著性检验水平α取值, 会影
响假设检验的结论; 原假设改变为H0:μ=μ0=4.50 (不是原来4.40), 也会影响假设检验的结论.读者结合本题分析一下, 改变哪些因素(或数据) 会影响假设检验的结论
　 解题关键在于分清总体分布类型,
判断总体方差是否已知;正确选择检验
统计量, 熟悉拒绝域. 易失误有检验统计量的选择和拒绝域的具体形式.
讲评
扩展
2. 单个正态总体方差未知时关于均值的假设检验问题——t 检验法
例2 假设某种钢筋的抗拉强度服从正态分布N (μ,σ2 ). 现在从一批新产品中随意抽出了10条, 测得抗拉强度的样本标准差s = 30千克, 抗拉强度平均比老产品的抗拉强度多20千克. 取显著性检验水平α = 0.05, 问抽样结果是否说明新产品的抗拉强度比老产品有显著提高
　 分析 本题目是正态总体方差未知时关于
均值的右侧假设检验问题, 用t 检验法.
解
以μ0表示老产品的均值,提出假设:
H0:μ≤μ0 ， H1: μ > μ0.
选取检验统计量
对于α=0.05, 查表, 得到拒绝域为
所以, 拒绝原假设H0:μ≤μ0, 即抽样结
果能够说明新产品的抗拉强度比老产品有显
著提高.
评讲
参见例1.
扩展
(1) 问题是“有显著提高 ”,一般应该
选择右侧假设检验, 即假设H0:μ≤μ0 ，
H1: μ > μ0.
代入检验统计
将
量得
　 (2) 本题如果采用双边拒绝域
会得到完全相反的结论.请读者计算.
3. 单个正态总体关于方差的
假设检验问题 ——χ2 检验法
例3 某厂生产的电子产品使用寿命X服从正态分布, 且σ =1.6. 改进生产工艺后, 从新产品中抽出9件, 测得s2 = 1.19. 取显著性检验水平 α = 0.05, 问用新工艺后该产品的使用寿命的方差是否发生变化
分析
本题目涉及正态总体方差的假设检验.
解
提出假设:
选取检验统计量
对于α=0.05, 查表, 得到拒绝域为
或
代入检验统计量,
得到
分析“2.18<3.72<17.535”，改变哪
些数据可以使得“2.18>χ2”, 从而得到相反的
结论.
问题是“方差是否发生了变化 ”,
一般应该选用双边假设检验.
因为2.18<3.72<17.535, 即χ2的值不落在拒绝域内, 所以在显著性检验水平
α=0.05下接受H0, 即认为σ2=1.62, 也就是,
认为用新工艺后仪表的使用寿命的方差没有发生变化.
讲评
扩展
例4 某批保险丝的熔断时间X服从正态分布, 抽出10根测得s2 = 121.8, 取α = 0.05,
问可否认为整批保险丝的熔断时间的方差不大于80
分析
涉及正态总体方差的左侧假设检验.
解
提出假设：
选取检验统计量
对于显著性水平α=0.05, 查表, 得到拒绝域为
代入检验统计量,得到
因为3.325<13.7, 即χ2的值不落在拒绝域内, 所以接受原假设, 即认为整批保险丝的熔断时间的方差大于80.
讲评
将样本数据
问题“方差不大于80 ？”，一般
选用假设
数据“3.325<13.7”决定了判断
结论. 如果要得到与此相反的判断结论,
可以从哪些方面修改条件 请读者用逆推分析法分析一下.
扩展
4. 两个正态总体方差已知时关于均值差
的假设检验问题——Z 检验法
例5 某大学从经常参加体育锻炼的男生中随机选出50名, 测得平均身高174.34厘米; 从不经常参加体育锻炼的男生中随机选出50名, 测
得平均身高172.42厘米.统计资料表明:
两类男生的身高都服从正态分布, 其标
准差分别为5.35厘米和6.11厘米. 取显著性检验水平α = 0.05, 问该校经常参加体育锻炼的男生是否比不经常参加体育锻炼的男生身高要高些
分析 本题目涉及两个正态总体方差已
知时关于均值大小的假设检验问题, 用Z 检验法.
以X和Y表示经常锻炼和不经常锻炼的男生身高.由题设知
依题意,提出假设:
H0:μ1-μ2≤0; H1: μ1-μ2>0.
选取检验统计量
根据α=0.05, 查表, 得到拒绝域为
解
代入样本数据
所以, 拒绝原假设H0, 即可以认为该校经常参加体育锻炼的男生比不经常参加体育锻炼的男生身高要高些.
得到
问题“身高要高？”, 确定假设为
H0:μ1-μ2≤0; H1: μ1-μ2>0. 一般常用假设“H0: μ1≤μ2; H1: μ1>μ2” 来描述.
扩展 如果问题是 “是否身高要高2厘米？”,应该假设H0:μ1-μ2≤2; H1: μ1-2>2. 其解法与此题类似.
讲评
5. 两个正态总体关于方差比的
假设检验问题 ——F 检验法
例6 某化工厂为了提高某种化学药品的得率, 提出两种方案. 为了研究哪种方案好, 分别
对两种工艺各进行了10次试验, 得到数据如下:
甲方案得率X(%) 68.1 62.4 63.3 64.7 68.4 66.0 65.5 66.7 67.3 66.2
乙方案得率Y(%) 69.1 71.0 69.1 70.0 69.1 69.1 67.3 70.2 72.1 67.3
假设得率服从正态分布,取α=0.01,问方案
乙的方差是否与方案甲的方差有显著区别
设甲方案得率 乙方案得
率 提出假设:
分析本题目涉及关于两个正态总体
方差大小的假设检验.μ1,μ2未知, 用F检验法.
解
选取检验统计量
利用α=0.01, n1=10, n2=10, 查表, 得到拒绝域
或
利用所给数据n1=10, n2=10, 计算得
即F的值不落在拒绝域内, 所以在显著性水平
α=0.01下接受原假设H0 , 即认为两种工艺产品得率的方差没有显著区别.
因为
所以
万一得到结论“两正态总体方差具有显著差异”, 我们下一步的工作思路会有哪些 请读者把自己当作试验人员, 探究上述问题.
扩展
在得到结论“两正态总体方差
没有显著区别”后, 可以继续考虑问题“
两正态总体均值是否有显著差异”,继续用t检验法.就是人们常说的“先通过F检验法检验方差没有显著差异,再用t检验法检验均值是否有显著差异”.
讲评

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