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第九章 回归分析
9.3 可线性化为线性回归模型的基本类型
第九章 回归分析
9.3 可线性化为线性回归模型 的基本类型
内容简介: 给出回归分析统计中的几个常见的基本类型, 通过对基本类型的线性化处理, 借助于线性回归分析的理论与方法, 可以得到这些基本类型的经验公式. 这些处理方法在解决实际问题中更加适用、实用.
为了工程项目，进行多次试验, 获
得了大量的实验数据. 通过散点图可以
得到大致的分布趋势. 如何确定一个经验公式, 以精确反映变量之间的变化关系 如何利用线性回归分析的理论与方法
9.3.1 问题提出
9.3.2 预备知识
函数类型及其图像, 线性变换, 线性回 归分析.
作变换 回归函数化为线性函数
y'=a+bx'.
下面简介一些通过变量代换可以化为
线性回归的曲线回归模型.
1. 双曲线
a>0
b<0
a>0
b>0
9.3.3 方法应用
2. 幂函数
对幂函数两边取对数, ,
作变换
回归函数化为线性函数
b>1
b=1
00b>1
b=1
3. 指数函数
两边取对数 ,
令
回归函数化为线性函数
4. 倒指数函数
两边取对数后作变换，
回归函数化为线性函数
a
a
5. 对数函数 y=a+bln x
作变换x'=lnx, 则回归函数化为
线性函数 y=a+bx'.
(2) 通过散点图判断和选择曲线回归函数的类型;
(3) 通过变量代换化上述曲线回归函数为线性函数,并对原始观测数据(xi,yi), i=1, 2,…, n, 进行对应地变换得到数据 ,i=1, 2,…, n;
可化为线性回归的曲线回归模型的
步骤是：
(1) 利用观测数据(xi,yi), i=1, 2,…, n, 作
散点图;
(4) 利用上述数据 , i=1, 2,…, n, 计算线性回归模型的经验公式, 进行显著性检验、点预测和区间预测等统计分析;
(5) 将上述线性回归模型的经验公式、点预测和预测区间通过逆变量代换转化为原曲线回归模型的对应结果;
(6) 选用几种不同的曲线进行拟合, 比较
其残差平方和最小者为最优拟合.
例9.3.1 炼钢过程中用来盛钢水的钢包, 由于受钢水的浸蚀作用, 容积会不断扩大. 下表给出了
使用次数和容积增大量的15对试验数据:
试求钢包容积Y关于使用次数x的经验公式.
使用次数(xi) 增大容积(yi) 使用次数(xi) 增大容积(yi)
2 6.42 10 10.49
3 8.20 11 1.59
4 9.58 12 10.60
5 9.50 13 10.80
6 9.70 14 10.60
7 10.00 15 10.90
8 9.93 16 10.76
9 9.99
解 首先要知道Y关于x的回归函数是什么
类型, 我们先作散点图. 参见图9-3, 从散
点图上看到, 开始浸蚀速度较快, 然后逐
渐减缓, 变化趋势呈双曲线状.
图9-3 例9.3.1数据散点图
因此可设y 与x 之间具有如下双曲线关系
这是一种非线性回归问题.
令 则可得到线性回归方程
由x, y的数据利用变换 可得v, u
的数据
(0.5000, 0.1558),…,(0.0625, 0.0929).
对得到的15对新数据, 用最小二乘法(9.2.4)式可得线性回归方程
代回原变量得
所以
为Y关于x的经验公式.
在例9.3.1中, 假设了y与x之间满 足双曲线回归模型, 显然这是一种主 观判断, 因此所求得的回归曲线不一 定是最佳的拟合曲线. 在实际应用中, 往往是选用不同的几种曲线进行拟合, 然后分别计算相应的残差平方和
进行比较SSE或 ，其中最小者为最优拟合.
解 对 两边取对数得
例9.3.2 (续例9.3.1)由例9.3.1的散点图
看出, 除双曲线拟合外, 本例还可选择
倒指数拟合: y=aeb/x.
令 A=lna, 则 变为如下的回归方程
经计算双曲线拟合时 =0.3328, 而倒指数拟合时 =0.2168, 可见倒指数拟合效果更好些.
利用最小二乘法(9.2.4)式求得 = -1.1107,
=2.4578, 因此线性回归方程为
代回原变量得代回原变量得到倒指数拟合关系
利用实测数据,画出散点图. 根据 散点图的曲线形状, 提出几种拟合曲线类型.通过线性化得到线性回归函数. 再利用线性回归分析的方法, 研究显著性、预测等问题.然后再利用逆变换, 得到原来的回归结论. 可以求最优拟合曲线.
9.3.4 内容小结

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