资源简介

(共23张PPT)
第十章 应用MATLAB软件
10.1 概率论问题与MATLAB
第十章 应用MATLAB软件
10.1 概率论问题与MATLAB
内容简介: 针对高等院校、科研单位和厂矿企业等进行教学、科学研究和生产试验过程中试验数据处理、寻求统计规律以及验证科学结论等问题，把概率论与数理统计的方法和常用数学软件MATLAB的应用相结合, 利用前九章的有关例题，优选设置了28个实验案例.
1. 例3.4.4：利用定积分和二重积分计算条件概率
解 在命令窗口中输入:
syms x;
syms y;
P1= int(int(1,y,0,2*x),x,0,1/4)
P2= int(int(1,y,0,1/2),x,1/4,1/2)
P=P1+P2 注：P{X<=1/2,Y<=1/2}
Ps=int(2*x,x,0,1/2) 注：P{X<=1/2}
p=P/Ps 注：计算所求概率
回车后显示：
P1 =1/16 P2 =1/8 P =3/16 Ps =1/4 p =3/4
计算结果：算得条件概率P{Y<=1/2|X<=1/2}为3/4.
2. 例4.1.1：离散型随机变量的数学期望计算
解 在命令窗口中输入:
X=[11 3 -3];
Px=[0.2 0.7 0.1];
Y=[6 4 -1];
Py=[0.2 0.7 0.1];
Ex=sum(X.*Px)
Ey=sum(Y.*Py)
回车后显示：
Ex =4 Ey =3.9000
计算结果: 可见Ex>Ey，所得结果为期望值.
3. 例4.1.2：已知二维随机变量概率密度计算数学
期望
解 (1) 在命令窗口中输入:
syms x;
syms y;
Ex=int(int(x/pi,x,-sqrt(1-y^2),sqrt(1-y^2)),
y,-1,1) 注：随机变量X的期望值
回车后显示：
Ex =0
计算结果: 由对称性，可见随机变量X和Y的数学
期望都是0.
3. 例4.1.2：已知二维随机变量概率密度计算数学
期望
解 (2) 在命令窗口中输入:
syms x;
syms y;
Ex=int(int(x^2/pi,x,-sqrt(1-y^2),sqrt(1-y^2)),
y,-1,1) 注：随机变量X^2的期望值.
回车后显示：
Ex =1/4
4. 例4.1.3：已知边缘概率密度计算数学期望
解 (1) 为求解E(x)，在命令窗口中输入:
syms x;
Ex=int(2*x^2,x,0,1)
注：2*x^2事实上是fx(x,y)和x的乘积
回车后显示：
Ex =2/3
计算结果: 随机变量X的期望是2/3.
已知随机变量（X,Y）的概率密度f(x,y)=4*x*y,所以fx(x,y)=2x,fy(x,y)=2y.
(2) 为求解E(y)，由对称性得到E(y)=E(x)=2/3.
解 (3) 为求解E(x^2)，在命令窗口中输入:
syms x;
Ex2=int(2*x^3,x,0,1)
注：2*x^2事实上是fx(x,y)和x^2的乘积
回车后显示：
Ex2 =1/2
计算结果: 随机变量X^2的期望是1/2.
解 (4) 为求解E(XY)，首先 ，在命令窗口中输入:
syms x;
syms y ;
Exy=int(int(4*x^2*y^2,y,0,1) ,x,0,1)
注：定积分
回车后显示：
Exy =4/9
5. 例4.1.4：0-1分布随机变量和的数学期望计算
解 在命令窗口中输入:
p=9/10 ;
p2=1-(9/10)^20 ;
Ei=p*0+p2*1 ; 注：第i站下车人数的期望
E=10*Ei
回车后显示： 8.784
计算结果: 平均停车次数约为9次.
6. 例4.1.6 : 数学期望的最大值
解 在命令窗口中输入:
syms x;
syms y;
Er=int((4*x-y)/2000,x,2000,y)+ int((3*y)/
2000,x,y ,4000)
注：得到期望的方程
回车后显示：
Er =((y - 2000)*(y + 4000))/2000 - (3*y*(y -
4000))/2000 注：整理后得到
Er=(-y^2+7000*y-4*10^6)/1000
解 在命令窗口中继续输入:
Ep=diff(Er) ; 注：对该期望方程求导数
Y=solve(Ep, ‘y’)
回车后显示：
Y =3500 注：即为最优进货量
syms y Err ;
y=3500 ;
Err= ((y - 2000)*(y + 4000))/2000 - (3*y*(y -
4000))/2000
回车后显示：
Er =8250
计算结果: 当进货量是3500吨的时候，可以期望获得最大平均收益8250万元.
7. 例4.1.7：候车问题的数学期望计算
解 在命令窗口中输入:
syms x ;
E1=int(10-x,x,0,10) ; 注：在0到10分时间
E2=int(30-x,x,10,30) ; 注：在10到30分时间
E3=int(55-x,x,30,55) ; 注：在30到55分时间
E4=int(70-x,x,55,60) ; 注：在55到60分时间
E=(E1+E2+E3+E4)/60 注：乘客平均等待时间
回车后显示：
E =125/12（10.4167）
计算结果: 乘客平均的等待时间为10.4167.
8. 例4.2.1：投资风险的数学期望及方差计算
解 在命令窗口中输入:
X=[11 3 -3]; XX=X.^2 ;
Px=[0.2 0.7 0.1];
Y=[6 4 -1]; YY=Y.^2 ;
Py=[0.2 0.7 0.1];
Ex=sum(X.*Px)
Exx=sum(XX.*Px) ;
Ey=sum(Y.*Py)
Eyy=sum(YY.*Py) ;
Dx=Exx-Ex^2 注：用公式D(X) 计算.
Dy=Eyy-Ey^2 注：用公式D(Y) 计算.
回车后显示：
Ex = 4 Ey =3.9000
Dx =15.4000 Dy =3.2900
计算结果: 随机变量X的期望值比Y要大，但是其方差要比Y大很多，也即是风险要大很多.收益与风险综合权衡，投资者还是应该选择投资商业比较好.
9. 例4.2.2：二维离散型随机变量的数学期望与方
差计算
解 在命令窗口中输入:
X=[0 1] ;
XX=X.^2 ;
Y=[1 2] ;
XY=[0 1 2]
Px=[1/3 2/3] ; 注：概率
Py=[1/2 1/2] ; 注：概率
pxy=[1/3 1/3 1/3] ;
Ex=sum(X.*Px)
Exx=sum(XX.*Px)
Exy=sum(XY.*pxy)
Dx=Exx-Ex^2
回车后显示：
Ex =2/3
Exx =2/3
Dx =2/9
计算结果: 得到所求的期望和方差.
10. 例4.2.3：已知二维连续型随机变量概率密度， 计算方差
解 回顾前例：已知随机变量（X,Y）的
概率密度为f(x,y)=4*x*y,所以fx(x,y)=2x,
fy(x,y)=2y,
(1) 求解E(x)，在命令窗口中输入:
syms x;
Ex=int(2*x^2,x,0,1)
注：2*x^2事实上是fx(x,y)和x的乘积
回车后显示：
Ex =2/3
计算结果:
随机变量X的期望值是2/3.
解 (2) 为求解E(x^2)，在命令窗口中输入:
syms x;
Ex2=int(2*x^3,x,0,1)
注：2*x^3事实上是fx(x,y)和x^2的乘积
回车后显示：
Ex =1/2
计算结果: 由对称性来，可以得到Dy=Dx=1/18 .
在命令窗口中输入:
Dx=Ex2-Ex^2
注：即方差用公式D(X) 计算.
回车后显示：
Ex =1/18
11. 例4.3.2：二维离散型随机变量的协方差与相关
系数计算
解 在命令窗口中输入:
X=[0 1] ; XX=X.^2 ;
Y=[1 2] ; XY=[0 1 2] ; YY=Y.^2 ;
Px=[1/3 2/3] ; 注：概率
Py=[1/2 1/2] ; 注：概率
pxy=[1/3 1/3 1/3] ;
Ex=sum(X.*Px) ; Ey=sum(Y.*Py);
Exx=sum(XX.*Px);
Exy=sum(XY.*pxy);
Eyy=sum(YY.*Py);
Dx=Exx-Ex^2; Dy=Eyy-Ey^2;
回车后显示：Ex =2/3 Ey =3/2 Exx =2/3
Exy =1 Eyy =5/2 Dx =2/9 Dy =1/4
计算结果: 此处算得相关系数为0，说明随机变量X 与Y 不相关.
在命令窗口中继续输入:
cov=Exy-Ex*Ey
注：此处用公式Cov(X,Y)=E(XY)- E(X)E(Y)
回车后显示：cov =0
在命令窗口中继续输入:
rxy=cov/(sqrt(Dx)*sqrt(Dy)); 注：相关系数
回车后显示：rxy =0
12. 例5.2.1：利用独立同分布中心极限定理计算
概率
解 在命令窗口中输入:
P=1- normcdf(sqrt(2),0,1)
注： 独立同分布中心极限定理，标准正态分布
回车后显示：
p=0.0786
计算结果: 计算结果为总重超过2510的概率.
13. 例5.2.2：利用独立同分布中心极限定理计算 最小试验次数
解 分析，由独立同分布中心极限定理， 题目转化为(1000-10*n)/(n)^1/2>2的问题
在命令窗口中输入:
syms E ;
syms n ;
E=2*n^0.5+10*n-1000 ;
result=solve(E)
回车后显示：
result=98.0199
计算结果: 由分布函数 Φ(x)的单调递增性，知道n应该小于98.0199，取最大整数值，得到每辆卡车最多可以装98箱.
14. 例5.2.4：利用中心极限定理计算二项分布的
概率
解 在命令窗口中输入:
v1=(75-0.80*100)/sqrt(100*0.80*0.20);
P=1-normcdf(v1,0,1)
回车后显示：
p=0.8944

展开更多......

收起↑