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第十章 应用MATLAB软件
10.2 数理统计问题与MATLAB
第十章 应用MATLAB软件
10.2 数理统计问题与MATLAB
内容简介: 针对高等院校、科研单位和厂矿企业等进行教学、科学研究和生产试验过程中试验数据处理、寻求统计规律以及验证科学结论等问题，把概率论与数理统计的方法和常用数学软件MATLAB的应用相结合,利用前九章的有关例题，优选设置了28个实验案例.
1. 例6.2.3：正态分布的判断
解 在命令窗口中输入:
load('p198.mat');
[h,p,lstat,cv]=lillietest(L)
注： 用Lilliefors检验是否服从正态分布
回车后显示：
h =0 p =0.5000 lstat =0.0539 cv =0.0890
计算结果: 返回值h等于0，说明在默认显著水平下不拒绝原假设，统计量值lstat=0.0539小于接受假设的临界值cv=0.0890, 因而接受原假设, 即可以认为刀具寿命服从正态分布.
2. 例7.4.1：正态总体方差已知时的关于均值的
置信区间估计
解 在命令窗口中输入:
X= [14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32];
XA=mean(X); 注：得到样本的均值
a=XA-0.2/sqrt(6)*1.96
b=XA+0.2/sqrt(6)*1.96
回车后显示：
a =14.9000 b =15.2200
计算结果: 得到置信水平为0.95的置信区间
(14.90, 15.22).
3. 例7.4.2：正态总体方差未知时的关于均值的
置信区间估计
解 (1) 在命令窗口中输入:
X= [506 508 499 503 504 510 497 512 514
505 493 496 506 502 509 496];
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=
normfit(X,0.05); 注：默认置信水平为0.95
回车后显示：
muhat =503.7500； sigmahat =6.2022
muci =500.4451 507.0549
sigmaci =4.5816 9.5990
计算结果: muhat表示的是均值的点估计，sigmahat是标准差的点估计，muci为置信度为0.95的置信区间，sigmaci是标准差的置信度为0.95的置信区间.
4. 例7.4.3：正态总体均值未知时的关于方差的
置信区间估计
解 在命令窗口中输入:
s=2.4;
n=8;
a=(n-1)*2.4^2/20.278
b=(n-1)*2.4^2/0.989
回车后显示：
a=1.9884 b=40.7685
计算结果: 置信区间为（1.9884，40.7685）.
5. 例7.4.4：两个正态总体的方差比、均值差的
置信区间估计
解 在命令窗口中输入:
A=[185.82 175.10 217.30 213.86 198.40];
B=[152.10 139.89 121.50 129.96 154.82 165.60];
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(A,0.05); [muhat2,sigmahat2,muci2,sigmaci2]=normfit(B,0.05);
a1=finv(0.975,4,5) ;注：自由度为4和5的上分位数
a2=finv(0.975,5,4) ;注： 自由度为5和4的上分位数
a= sigmahat /( sigmahat2*sqrt(a1))
b= sigmahat / sigmahat2*sqrt(a2)
回车后显示：
a=0.4003 b=3.3294
计算结果: 所得置信区间为（0.4003,3.3294）.
6. 例7.6.1：正态总体方差未知时的关于均值下限
的单侧置信区间
解 在命令窗口中输入:
t=tinv(0.95,15); 注：t分布的上0.05分位点
Ex=41116 ;
n=16 ;
d=6346 ;
u=Ex-d/(sqrt(n))*t
回车后显示：
u=3.8335e+004
计算结果: 正态总体均值的下限为38335，即该轮胎平均行驶不少于38334公里，而不是寿命均值41116.
7. 例8.2.1：正态总体方差已知时关于均值双侧
假设检验
解 在命令窗口中输入:
n=25; d=200;
E=1500; Ex=1675;
z= norminv(0.975);
z2= norminv(0.95);
zx=(Ex-E)/(d/sqrt(n))
回车后显示：
zx =4.3750
计算结果: zx=4.3750>z=1.9600,故认为采用新工艺灯管寿命有显著变化,同时，z0.05 =1.658. 例8.2.2：正态总体方差未知时关于均值的双侧
假设检验
解 在命令窗口中输入:
n=36; 注：样本个数
Ex=70; 注：假设
E=66.5; 注：样本均值
d=15; 注：标准差
ta= tinv(0.975,35); 注：拒绝域
t=abs((E-Ex)/(d/sqrt(n)))
回车后显示：
t=1.4000
计算结果: t=1.4009. 例8.3.1：正态总体关于标准差的右侧假设检验
解 检验统计量服从自由度为4的 分布，设S为标准差.
在命令窗口中输入:
d0=0.5;
n=5;
k=chi2inv(0.95,4) ; 注：拒绝域为
V{ >=k}={4*S^2/0.5^2>=k}={S>=0.77}
结果显示：样本标准差的观测值S>=0.77时认为
机床的精度降低.
10. 例8.3.2：正态总体关于方差是否相等及均值的 双侧假设检验
解 在命令窗口中输入:
s1=15;
s2=12;
k1=finv(0.95,30,29);
k2= 1/finv(0.95,30,29);
F= (s1/s2)^2
回车后显示：
F=1.5625
计算结果:可见F不在拒绝域内，所以认为两样本来自方差没有显著差异的正态总体.
解 在命令窗口中输入:
a=0.1; s1=15; s2=12; n1=31;
n2=30; E1=88; E2=82;
sw=((n1-1)*s1^2+(n2-1)*s2^2)/(n1+n2-2);
t=(E1-E2)/( sqrt(sw)* sqrt (1/n1+1/n2))
回车后显示：
t=1.7216
计算结果: 本观察值t=1.7216> =1.6449,因此拒绝原假设，即认为两种不同的教学方法的教学效果产生了显著性差异.
11. 例9.2.1：回归直线方程(经验公式)计算
某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有关，
下表是24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍
数的实测记录. 试求这两个变量间的经验公式.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
拉伸倍数x 1.9 2.0 2.1 2.5 2.7 2.7 3.5 3.5 4.0 4.0 4.5 4.6
强度Y
（Mpa） 1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3.0 2.7 4.0 3.5 4.2 3.5
编号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
拉伸倍数x 5.0 5.2 6.0 6.3 6.5 7.1 8.0 8.0 8.9 9.0 9.5 10.0
强度Y
（Mpa） 5.5 5.0 5.5 6.4 6.0 5.3 6.5 7.0 8.5 8.0 8.1 8.1
解 在命令窗口中输入:
x=[1.9;2.0;2.1;2.5 ;2.7 ;2.7 ;3.5 ;3.5 ;4.0 ;4.0 ;
4.5 ;4.6 ;5.0 ;5.2 ;6.0 ;6.3 ;6.5 ;7.1 ;8.0 ;8.0 ;
8.9 ;9.0 ;9.5 ;10];
y=[1.4 ;1.3 ;1.8 ;2.5 ;2.8 ;2.5 ;3.0 ;2.7 ;4.0 ;3.5 ;4.2 ;3.5 ;5.5 ;5.0 ;5.5 ;6.4 ;6.0 ;5.3 ;6.5 ;7.0 ;8.5 ;8.0 ;8.1 ;
8.1];
plot(x,y, '*');
回车后显示：
可以看出拉伸倍数x和强度Y(Mpa)之间大致呈现线性关系.
在命令窗口中输入:
X=[ones(length(x), 1), x];
[b, bint, r, rint, stats]=regress(y,X)
回车后显示：
b =0.1505 0.8587
bint =-0.3508 0.6517
0.7735 0.9440
r = -0.3821
-0.5679
略
rint =-1.3784 0.6142
略
stats = 0.9520 436.3370 0.0000 0.2573
计算结果: 输出结果中的b就是回归方程的系数, 所以回归方程是:
y=0.1505+0.8587x.
输出结果中的bint是回归方程系数的95%的置信区间. r是残差; rin是残差的95%置信区间.
从输出结果的stats中的值可以知道: 可决系数是0.9520, 非常接近于1, 说明回归效果非常好. 回归的p值为0, 说明回归效果高度显著. 这里需要说明的是, p值为0, 通常只是p值接近于0, 因为显示的小数点位数的关系, 所以表示为0.
12. 例9.2.2：回归直线方程的显著性检验
解 在命令窗口中输入:
F=finv(0.975,1,22) 注：选用统计量F(1,22).
Sy=117.95; 注：见例9.2.1
U=112.35 ;
Q=5.6 ;
F1=U/(Q/22)
回车后显示：
F =5.7863；
F1 = 441.3750
计算结果: 可见F1>F, 所以拒绝原假设，也就是可以认为所得的经验回归方程有显著性意义.
13. 例9.2.3：点预测与区间预测计算
解 在命令窗口中输入:
n=24; x0=7.5; Q=5.6;
y0=6.59; Ex=5.313 dd=Q/(n-2);
Sxx=152.266 ； tt=tinv(0.975,22);
d=tt*sqrt(dd)*sqrt(1+1/n+(x0-Ex)^2/Sxx) ;
a= y0-d b= y0+d
回车后显示：
a=5.5061 b=7.6739
计算结果: 对于拉伸倍数为7.5，对应强度的置信水平为0.95的预测区间是(5.5061,7.6739)
已知回归方程为y=0.15+0.859*x,y0=6.59, Sxx=152.266,Q=5.6,Ex=5.313.
14. 例9.3.1：不同拟合曲线的回归效果对比
炼钢过程中盛放钢水的钢包，由于受钢
水的浸蚀作用，容积会不断扩大，下表给出使用次数和容积增大量的15对试验数据. 试求钢包容积Y和使用次数x的经验公式.
使用次数 增大容积 使用次数 增大容积
2 6.42 10 10.49
3 8.20 11 10.59
4 9.58 12 10.60
5 9.50 13 10.80
6 9.70 14 10.60
7 10.00 15 10.90
8 9.93 16 10.76
9 9.99
解 在命令窗口中输入: Y=[6.42;8.20;9.58;9.50;9.70;10.00;9.93;9.99;
10.49;10.59;10.60;10.80;10.60;10.90;10.76];
X=2:16;
X=X';
plot(X,Y, '*')
回车后显示：
计算结果: 可见图线呈现出双曲线状.
带回到原变量中，可以得到
整理后得到
即为Y关于x的经验公式.
在命令窗口中继续输入:
x=1./X ;
y=1./Y;
XX=[ones(length(x ), 1), x];
[b, bint, r, rint, stats]=regress(y,XX)
回车后显示：b=0.0823 0.1312
计算结果:可得到线性回归方程 .
继续上例，使用倒指数拟合：
在命令窗口中输入: Y=[6.42;8.20;9.58;9.50;9.70;10.00;9.93;9.99;
10.49;10.59;10.60;10.80;10.60;10.90;10.76];
X=2:16; X=X’; x=1./X ; y=log(Y);
XX=[ones(length(x ), 1), x];
[b, bint, r, rint, stats]=regress(y,XX)
回车后显示： b=2.4578 -1.1107
带回到原变量中，可以得到
即为Y关于x在倒指数拟合下的经验公式.
计算结果: 可得到线性回归方程 .

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