资源简介

(共31张PPT)
第六章 数理统计的基本概念
习题课
在第六章中，主要是通过所研究
对象的其中一部分的性质和数量指标来推断研究对象的整体性质和数量指标，即用样本特征来推断总体特征. 分三块讲解，一是“主要内容归纳”，二是“例题分类解析”，三是“学习与研究方法”总结. 在“例题分类解析”部分，讲解了：1. 确定统计量服从什么样的抽样分布2. 利用抽样分布进行有关概率计算.
内容简介：
本章重点：
1. 简单随机样本的概念;
2. 统计量定义;
3. 常用的抽样分布及抽样分布定理.
本章难点：
1. 简单随机样本的利用问题;
2. 统计量的判断;
3. 抽样分布的有关证明.
一、主要内容归纳
1. 数理统计的基本概念
表6-1 数理统计的基本概念
总体 具有一定共同属性的研究对象的全体.
个体 组成总体的每一个元素.
简单随机样本 若X1,X2,…,Xn相互独立且与总体X同分布, 则称X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本, 简称为样本.
统计量 样本X1,X2,…,Xn的任一不含未知参数的函数.
抽样分布 统计量的分布, 称为抽样分布.
分位点 设随机变量X的分布函数为F(x), 对于给定的数a(0Fa}=a, 则称Fa为随机变量X的分布的上a分位点.
讲评
　 (1) 统计量包含两个关键词: 一是
样本的函数, 二是不包含未知参数.
　 (2) 上a 分位点是一个数, 它是指服从某一分布的随机变量大于这个数的概率正好等于a, 这个数就称为这个分布的上a分位点. 这个定义在参数估计和假设检验中有重要作用.
2. 常用的统计量
表6-2 常用的统计量
样本均值 .
样本方差 .
样本标准差 .
样本k阶原点矩
样本k阶中心矩 .
X~N(0,1),Y~ (n )
c
　　上述常用的统计量, 我们在以后学习
中经常使用, 读者应该熟练掌握计算公式.
3. 常用的抽样分布
分布 设 是来自总体N(0,1)的样本, 则称统计量 服从自由度为n的
分布, 记为
t分布 设 且相互独立, 则称
服从自由度为n的t分布, 记为t~t(n).
讲评
2
F分布 设 且相互独立, 则称
服从自由度为m,n的F分布,记为
F~F(m,n). 　　　　　　　　　　　　　
　　讲评 上述三个抽样分布的定义, 在一些证明题中会经常遇到; 常用的抽样分布与分位点结合起来, 在后面的参数估计与假设检验中经常使用; 三个抽样分布都是利用标准正态分布和独立性给出的结构型的定义,如果给出了正态分布,需要将随机变量标准化为服从标准正态分布,即可利用三个抽样分布的定义解决问题.
4. 常用的重要结论
是总体
的样本,
设
是样本均值与样本方差,有
分别
(1)
(2)
与
(3)
独立;
(4)
设
分别是来自正态
的样本,且这
两个样本相互独立,
总体
与
与
设
分别是这两个样本的样
本均值,
分别是这两个样本的样本方差, 则有
(1)
(2)
当
时
其中
二、 例题分类解析
1. 确定统计量服从什么样的抽样分布
例1 是总体X~B(1, p)的样本, 则
的分布为 , 当n很大时, 样本均值
近似服从 分布.
　　解 因 是来自总体X~B(1, p)的样本, 故 相互独立且Xi~B(1,p)(i=1,2,…,n), 由两点分布可加性和二项分布的定义, 知
的
布, 所以由二项分布的定义可以求得和
分析 相互独立,且服从两点分
分布.
　　 讲评 样本均值是样本的函数且不含未知
参数, 从而样本均值也是统计量,其服从的极限
分布由中心极限定理求出.
由于E(X)=p, D(X)=p(1-p). 由中心极限定理知
, 所以样本均值近似
服从正态分布，即
　扩展 可修改条件为X~N(μ, σ2),考查同
样问题.
　　例2 设总体X~N(0, σ2)(σ>0), X1,X2,…,
X6是取自总体X的样本,设
Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2,
则当c= , cY服从自由度为 的 分布.
分析 由
分布的定义,只要把括号里面的
统计量化为服从标准正态分布的随机变量即可.
解 因为Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2, 因为
所以
　　扩展 一般情况下, 只要是服从正态分布的随机变量的平方和, 则它多服从
故
所以
即
, 自由度为2.
讲评 本题考查了
分布的定义, 服从
随机变量是服从标准正态分布的随机
变量的平方和.
分布的
分布. 注意,一定要标准化随机变量.
服从什么分布
相互独立, 则统计量
例3 设总体
, 是来自
总体X的一组样本.
与
分别是样本均值与
样本方差, 又设
且与
分布有
　 分析 统计量Y的分子是两个服从正态分
布的随机变量的差,而分母可能与
关, 因此统计量Y 可能服从t分布.
解 由抽样分布的定理知,
又因为
且与 相互独立,
所以,
故标准化随机变量
又因为
且
与
相互独立，所以
讲评 本题考查的是t分布的定义,但它
的形式不明显,我们要构造出它的形式,这是
本题的难点.
扩展 题目要具体问题具体分析, 主要
是看它是否服从正态分布的随机变量与服从
分布的随
机变量的商的形式.参见例4,
并比较分母的形式.
分析 统计量Y的分子与分母是服从正态分布的随机变量的平方,所以它可能服从F分布.
解 由题设,
, 所以
例4 题设条件同例3,问统计量
服从什么分布
注意到
, 且与
两者独立,
由F分布的定义得,
即
讲评 在分子中的Xn一定不能在分母的
求和中出现,否则分子与分母就不相互独立了, 这样就不一定服从F分布了.
扩展 题中分子与分母的形式可以变化,
只要满足都是服从正态分布的随机变量的平
方和且二者相互独立即可. 参见例3, 并比
较分母的形式.
2. 利用抽样分布进行有关概率计算
以出其概率.
分析 显然, 只要确定了
的分布就可求
,
例5 设X1,X2,…,X25是取自总体X~N(20,3)
的样本,记
为X1,X2,…,X10的样本均值,
为X11,X12,…,X25样本均值.
求
所求概率为
,
,
,
=0.67.
解 由抽样分布的定理, 知
.题设二者相互独立,于是
即
讲评 本题型在前面多次遇到,利用正
态分布的标准化公式就可以处理.
扩展 求
的概率与此题方法
类似.
例6 在总体
X~N(
)中抽出容量为21
的样本, 求
分析 只要确定了
的分布就可以计算
其概率.
解 由抽样分布定理知
得到
于是，
讲评 本题的关键是求出其分布, 再结合
分位点的定义(需要查表)就可轻松解出.
扩展 分位点的使用一般有三种情况:
(1) 已知自由度n与a, 查出分位点.
(2) 已知自由度n与分位点, 查出a.
(3) 已知分位点与a, 查出自由度n.
例7 设X,Y相互独立, X~N(4,9),
求概率
解 因为X~N(4,9), 故
,它与
于是
.所求概率为
Y相互独立,
分析 本题中一边是服从正态分布的随机
变量,一边是服从
分布的随机变量, 把服从变量除
分布的随机
到服从正态分布的随机变量的一边, 这样这个
随机变量可能就服从t分布.
随机变量可能服从t分布.
分母上的 分布的自由度相同.
讲评 本题的关键是找到随机变量所服从
的分布形式. 注意t分布的定义, 它的自由度与
扩展 见例7扩展部分.
例8 设X1,X2,…,X8是取自总体X~N(μ1,20)
的样本, Y2,Y2,…,Y10是取自总体Y~N(μ2, 35)的
样本,且X与Y相互独立,
为X的样本方差,
为Y的样本方差,求概率
分析 要求关系式的概率, 一定要找出其
分布.
解 由抽样分布定理, 知
因此
所求概率为
题设条件中的数学期望没有用到; 可以求
形如
(其中a,b已知常数)的概率.
本题中不等式左、右两端都是样本
方差, 而总体方差已知,所以两边相除所得随机变量服从F分布.
讲评
扩展

展开更多......

收起↑