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第一章 随机事件的概率
第一节 随机事件
第二节 随机事件的概率
第三节 条件概率
第四节 独立性 主观概率
第二节 随机事件的概率
一、频率与概率
二、概率的性质
三、等可能概型（古典概型）
四、几何概型
一、频率与概率
概率
定义1
的概率.
量度称为事件
发生的可能性大小的
在一次试验中事件
A
A
A
n
n
A
n
A
即
发生的频率，记为
为事件
次，则称比值
次重复试验中出现了
在这
次试验，如果事件
了
在相同的条件下，进行
抛硬币实验
试验者
德摩根
蒲丰
K．皮尔逊
K．皮尔逊
罗曼诺夫斯基
2048
4040
12000
24000
80640
1061
2048
6019
12012
39699
0.5181
0.5069
0.5016
0.5005
0.4923
试验次数
出现正面的次数
出现正面的频率
当
常常会不一样
不同时，得到的
)
(
A
f
n
n
这表明频率具有一定的随机波动性
对于可重复进行的试验，当试验次数 逐渐增大时，事件 的频率 都逐渐稳定于某个常数 ，呈现出 “稳定性”．
因此，可以用频率来描述概率，定义概率为频率的稳定值．
我们称这一定义为概率的统计定义．
这种“稳定性”也就是通常所说的统计规律性．
频率具有如下性质
1．非负性
2．规范性
3．有限可加性
若
是一组两两互不相容的事件
则
设E是随机试验，W是它的样本空间，对E的每一个事件A，将其对应于一个实数，记为P(A )，称为事件A的概率，如果集合函数P( )满足下列条件：
概率的公理化定义
1．非负性
2．规范性
3．可列可加性
二、概率的性质
性质1
性质2（有限可加性）
性质3
性质4
性质5
性质6（加法公式）
性质5
证：
证明 性质5
证明 性质6
性质6（加法公式）
证明：
因为
且
故由性质2和性质3得：
性质6可以推广到多个事件的情形．
例如
可由归纳法证得．
一般地，对任意n个事件
例1 设 ， 为两事件，
且设 ， 求
解
而
所以
于是
例2 设
证明
证
三、等可能概型（古典概型）
1．试验的样本空间只含有有限个元素，即
2．试验中每个基本事件发生的可能性相同，即
具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以也称之为古典概型．
中某k个不同的数，
是
这里
则有
T
H
T
H
H
H
T
T
例3 将一枚硬币抛二次
（2）
解（1）
先给出一个记号，它是组合数的推广，规定
例4 设袋中有只4白球和4只黑球，现从袋中无放回地依次摸出4只球（即第一次取一球不放回袋中，第二次再从剩余的球中再取一球，此种抽取方式称为无放回抽样）.试求
（1）取到的两只球都是白球的概率；
（2）取到的两只球颜色相同的概率；
（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率
解 记
(1)
（3）
类似于（1），可求得
（2）
例5 将 个球随机地放入 个盒子中去，盒子的容量不限，试求
（1）每个盒子至多有一只球的概率；
（2） 个盒子中各有一球的概率
解 将 个球放入 个盒子中去，每种放法是一个基本事件。显然这是古典概型问题。因每一个球都可以放入 个盒子中的任一个盒子，故共有
种不同的方法．
个盒子可以有 种不同的选法。对选定的 个
盒子，每个盒子各有一个球的放法有 种。由乘
法原理，共有 种放法，因此所求概率为
(1)每个盒子中至多只有一只球,共有
种不同的方法，因此所求的概率为
例6 （女士品茶）一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放茶冲制而成.做了10次测试，结果是她都正确地辨别出来了.问该女士的说法是否可信？
10次试验一共有 个等可能的结果
解
假设该女士的说法不可信，即纯粹是靠运气猜对的。
在此假设下，每次试验的两个可能结果为：
奶＋茶 或 茶＋奶
且它们是等可能的，因此是一个古典概型问题。
若记
则 只包含了 个样本点中一个样本点，故
由实际推断原理，该女士的说法可信．
实际推断原理
概率很小的事件在一次试验中实际上几乎不会发生
四、几何概型
古典概型是关于试验的结果为有限个,且每个结果出现的可能性相同的概率模型.一个直接的推广是：保留等可能性，而允许试验的所有可能结果为直线上的一线段、平面上的一区域或空间中的一立体等具有无限多个结果的情形，称具有这种性质的试验模型为几何概型．
若在一个面积为 的区域 中等可能地任意投点，这 里“等可能”的含义是：点落入 中任何区域 的可能性的大小与区域 的面积 成正比，而与其位置和形状无关．
由
知
从而
——几何概率
记事件
则有

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