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第一章 随机事件的概率
第一节 随机事件
第二节 随机事件的概率
第三节 条件概率
第四节 独立性 主观概率
第三节 条件概率
一、条件概率
二、乘法公式
三、全概率公式与贝叶斯公式
一、条件概率
例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？
（假定生男生女是等可能的）
由题意，样本空间为
(1)
表示事件“至少有一个是女孩”，
表示事件“两个都是女孩”，则有
由于事件已经发生，所以这时试验的所有可能结果只有三种，而事件包含的基本事件只占其中的一种， 所以有
解
在这个例子中，若不知道事件已经发生的信息，那么事件发生的概率为
其原因在于事件 的发生改变了样本空间，使它由原来的 缩减为 ，而 是在新的样本空间 中由古典概率的计算公式而得到的．
这里
(2)
关系式（2）不仅对上述特例成立，对一般的古典概型和几何概型问题，也可以证明它是成立的．
上例中计算 P(B|A)的方法并不普遍适用．如果回到原来的样本空间W 中考虑，显然有
从而
即
(3)
可以验证，条件概率P( |A)满足概率公理化定义中的三条公理
定义1
事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
根据具体的情况，可选用下列两种方法之一来计算条件概率P(B|A)
（1）在缩减后 WA 的样本空间中计算；
（2）在原来的样本空间W中，直接由定义计算．
1 非负性
2 规范性
3 可列可加性
例2 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球， 依次从袋中不放回取两球．
（1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；
（2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率．
解
（1）可以在缩减的样本空间 WA1上计算。
因为A1已发生，即第一次取得的是黑球，第二次取球时，所有可取的球只有9只．WA 中所含的基本事件数为9，其中黑球只剩下2个．所以
记
（2）由于第二次取球发生在第一次取球之后，故WA2的结构并不直观．因此，直接在W中用定义计算P(A1 |A2)更方便些．
因为
所以
例3 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄段的人在下一年仍然存活的概率．根据统计资料可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718，存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人，能够活到51岁的概率是多少？
解
记
因此
要求
显然
因为
从而
可知该城市的人在50岁到51岁之间死亡的概率约为0.00643．在平均意义下，该年龄段中每千个人中间约有6.43人死亡．
二、乘法公式
定理1 （乘法公式）
则由归纳法可得：
则由
可得
例4 一袋中有a个白球和b个红球。现依次不放回地从袋中取两球.试求两次均取到白球的概率 .
解
记
要求
显然
因此
例5 已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品．为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，则他拒绝购买这一批产品．求采购员拒绝购买这批产品的概率
解
则
从而
设
由乘法定理
于是
由题意，有
三、全概率公式与贝叶斯公式
下面用概率的有限可加性及条件概率的定义和乘法定理建立两个计算概率的公式．先引入一个例子
例6 某工厂的两个车间生产同型号的家用电器。据以往经验，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12．两个车间生产的成品混合堆放在一个仓库里且无区分标志，假设第1、2车间生产的成品比例为2:3．
(1)在仓库中随机地取一件成品,求它是次品的概率;
(2)在仓库中随机地取一只成品，若已知取到的是次品,问该此次品分别是由第1,2车间生产的概率为多少？
从而
于是
解(1)
记
因为
（2）问题归结为计算 和
由条件概率的定义及乘法公式，有
定义2
定理2（全概率公式）
则
设试验E的样本空间为
定理3 （贝叶斯（Bayes）公式）
与全概率公式刚好相反，贝叶斯公式主要用于当观察到一个事件已经发生时，去求导致所观察到的事件发生的各种原因、情况或途径的可能性大小 ．
例7 假设在某时期内影响股票价格变化的因素只有银行存款利率的变化．经分析，该时期内利率下调的概率为60％，利率不变的概率为40％ ．根据经验，在利率下调时某支股票上涨的概率为80％，在利率不变时，这支股票上涨的概率为40％．求这支股票上涨的概率．
解
故由全概率公式
例8 由医学统计数据分析可知，人群中患由某种病菌引起的疾病占总人数的0.5%．一种血液化验以95%的概率将患有此疾病的人检查出呈阳性，但也以1% 的概率误将不患此疾病的人检验出呈阳性．现设某人检查出呈阳性反应，问他确患有此疾病的概率是多少？
解
显然
且已知
由贝叶斯公式可得
记
B1与B2形成W的一个划分
例9 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应地为0.8，0.1和0.1．一顾客欲买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回．试求：
（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率 a ；
（2）在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率 b．
解
（1）由全概率公式
（2）由贝叶斯公式
记

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