资源简介

(共27张PPT)
第二章 一维随机变量及其分布
第一节 随机变量
第二节 离散型随机变量
第三节 随机变量的分布函数
第四节 连续型随机变量及其概率密度
第五节 随机变量的函数的分布
第一节 随机变量
定义 设X ＝X (w )是定义在样本空间W上的实值函数，称X ＝X (w )为随机变量.
随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，...等表示．
下图给出样本点w与实数X ＝X (w )对应的示意图
W
x
这个定义表明，随机变量 X是样本点 的一个函数，这个函数可以是不同样本点对应不同的实数，也允许多个样本点对应同一个实数.这个函数的自变量（样本点）可以是数，也可以不是数，但因变量一定是实数.
掷一颗骰子，出现的点数X是一个随机变量.
每天进入某超市的顾客数Y；顾客购买商品的件数U；顾客排队等候付款的时间V. Y，U，V是三个不同的随机变量.
电视机的寿命T是一个随机变量.
例如
对于样本点本身不是数的随机试验，这时可根据需要设计随机变量。
例3 一射手对目标进行射击，击中目标记为1分，未中目标记为0分.设X表示该射手在一次射击中的得分，它是一个随机变量，可以表示为
例4 观察一个电话交换台在一段时间（0，T）内接到的呼叫次数．如果用X表示呼叫次数，
那么 表示一随机事件，
显然 也表示一随机事件．
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此，本章主要研究离散型及连续型随机变量.
定义 如果随机变量的全部可能取的值只有有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量.
X 取各个可能值的概率，即事件 的概率为
（1）
称（1）式为离散型随机变量X的分布律 .
一般地，设离散型随机变量 X 所有可能取的值为
第二节 离散型随机变量
分布律也可以直观地用下面的表格来表示：
由概率的定义，式（1）中的 应满足以下条件：
随机变量X的所有取值
随机变量X的各个取值所对应的概率
例1 某系统有两台机器相互独立地运转．设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X表示系统中发生故障的机器数，求X 的分布律．
解
故所求概率分布为：
（一）（0－1）分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值，它的分布律是
则称 X 服从（0－1）分布或两点分布．
（0－1）分布的分布律也可写成
抛一枚硬币，观察出现正面H还是反面T，正面X＝0,反面X＝1
T
H
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即 ，我们总能在W上定义一个服从（0－1）分布的随机变量．
来描述这个随机试验的结果。
检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用（0-1）分布的随机变量来描述．
伯努利试验是一种非常重要的概率模型，它是“在同样条件下独立地进行重复试验或观察”的一种数学模型，有着广泛的实际应用．
设试验 只有两个可能结果： 及 , 则称 为伯努利（Bernoulli）试验．设 ，此时
,将E 独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验.
（二） 伯努利试验与二项分布
现在求它的分布律 ．
由试验的独立性，得
这种项共有 个，而且两两互不相容．
同理可得上式右边各项所对应的概率均为
即
利用概率的加法定理知
显然
注意到 刚好是二项式 的展开式中
～
例2 已知某类产品的次品率为0.2，现从一大批这类产品中随机地抽查20件，问恰好有k (k=0,1,2,…,20)件次品的概率是多少？
解 这是不放回抽样．但由于这批产品的总数很大，且抽查的产品的数量相对于产品的总数来说又很小，因而可以当作放回抽样来处理．这样做会有一些误差，但误差不大.我们将检查一件产品是否为次品看成是一次试验，检查20件产品相当于做20重伯努利试验．以X记抽出的20件产品中次品的件数，那么X是一个随机变量，且X～b(20,0.2)
则所求的概率为
将计算结果列表如下：
k
k
0
1
2
3
4
5
0.012
0.058
0.137
0.205
0.218
0.175
6
7
8
9
10
≥11
0.109
0.055
0.022
0.007
0.002
< 0.001
作出上表的图形，如下图所示
例3 设某种鸭在正常情况下感染某种传染病的概率为20%.现新发明两种疫苗，疫苗A注射到9只健康鸭后无一只感染传染病，疫苗B注射到25只鸭后仅有一只感染，试问应如何评价这两种疫苗，能否初步估计哪种疫苗较为有效？
解 若疫苗A完全无效，则注射后鸭受感染的概率仍为0.2，故9只鸭中无一只感染的概率为
同理，若疫苗B完全无效，则25只鸭中至少有一只感染的概率为
因为概率0.0274较小，并且比概率0.1342小得多，
（三）泊松分布
1.泊松分布
例4 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为l= 10的泊松分布．为了以95%以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？
解
由附录的泊松分布表知
只要在月底进货15件(假定上个月没有存货)，就可以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销．
证明略．
2.二项分布的泊松近似
解
注意 此种情况下，不但所求概率比（1）中有所降低，而且3名维修工负责90台设备相当于每个维修工负责30台设备，工作效率是（1）中的1.5倍.
注意 此种情况下所求概率与(2)中基本上一样，而10名维修工负责500台设备相当于每个维修工负责50台设备，工作效率是(2)的1.67倍，是(1)中的2.5倍.
由此可知 若干维修工共同负责大量设备的维修，将提高工作的效率.

展开更多......

收起↑