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第六章 样本及抽样分布
第一节 总体与样本
第二节 样本分布函数 直方图
第三节 样本函数与统计量
第四节 抽样分布
第三节 样本函数与统计量
为了通过对样本观测值的整理、分析、研究，对总体 的某些概率特征作出推断，往往需要考虑各种适用的样本函数
因为一组样本 可以看作是一个 维随机变量 所以任何样本函数
都是 维随机变量的函数,
显然也是随机变量.根据样本 的观
测值 计算得到的函数值
就是样本函数 的观测值.
定义 若样本函数 中不含有任何未知量，则称这类样本函数为统计量。
1.样本均值 (1)
观测值记为 (2)
2.样本方差 (3)
观测值记为 (4)
数理统计中最常用的统计量及其观测值有：
3. 样本标准差 (5)
它的观测值记为 (6)
4. 样本k 阶原点矩 (7)
它的观测值记为 (8)
显然，样本的一阶原点矩就是样本均值。
5.样本k阶中心矩 (9)
它的观测值记为 (10)
显然，样本一阶中心矩恒等于零。
当样本容量 较大时，相同的样本观测值 往
往可能重复出现，为了使计算简化，
应先把所得的数据整理，设得到下表：
观测值 … 总计
频数 …
其中 . 于是样本均值 ，样本方差
样本二阶中心矩 可以分别按下列公式计算：
(11)
(12)
(13)
若总体 的 阶矩 存在
独立且与 同分布。故有
与样本二阶中心矩
显然，当样本容量 充分大时，样本方差
是近似相等的
则当 时
独立且与X同分布 ，所以
因为
进而由第五章中关于依概率收敛的序列的性质知道
其中 为连续函数，这就是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据。
从而由第五章的大数定理知
习题6－3
1.从某工人生产的铆钉中随机抽取5只，测得其直径分别为（单位：mm）：
13.7 13.08 13.11 13.11 13.13
（1）写出总体、样本、样本值、样本容量
（2）求样本观测值的均值、方差。
2．设抽样得到样本观测值为
38.2 40.2 42.4 37.6 39.2 41.0 44.0 43.2 38.8 40.6
计算样本均值、样本标准差、样本方差与样本二
阶中心矩。
3．设抽样得到100个样本观测值如下：
观测值 1 2 3 4 5 6
频数 15 21 25 20 12 7
计算样本均值、样本方差与样本二阶中心
矩。
4．设 ， 为 的样本均值与样本方差.作数据变换：
设 ， 为 的样本均值与样本方差，
证明（1） 　　（2）
5. 从总体中抽取两组样本，其容量分别为 及 ，
设两组的样本均值分别为 及 样本方差分别为
及 ,把这两组样本合并为一组容量为 的联
合样本，证明：
（1）联合样本的样本均值
（2）联合样本的样本方差
第四节 抽样分布
统计量的分布称为抽样分布。
在使用统计量进行统计推断时常需知道它的分布.
当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的，然而要求出统计量的精确分布，一般来说是困难的.
本节介绍来自正态总体的几个常用统计量的分布.
今后，我们将看到这些分布在数理统计中有重要的应用.
一、三个重要分布
为了讨论正态总体下的抽样分布，先引入由正态
分布导出的统计量中的三个重要分布，即
分布，分布，分布。
1. 分布
设 是来自总体 的样本，则称统计量
（1）
服从自由度为 的 分布，
记为
此处，自由度是指（1）式右端包含独立变量个数
分布的概率密度为
的图形如图6－3所示。
（2）
图6-3
此结论可推广：设 且相互
独立
分布的可加性
设
,
并且 独立，则
（证明略）
则
若 ，则有
分布的数学期望和方差
因
故
因此
又
所以 也相互独立
由于 相互独立
于是
则称点 为 的上 分位点
分布的分位点
定义 设有分布函数 ,若对给定的
有
(6)
当 有密度函数 时，式（6）可写成
(7)
由上述定义得 分布的上 分位点为
(8)
如图6-4所示，对于不同的 上 分位点的值已制成表格，可以查用（参见附表4）。
图6-4
例如 对于 ，查得
但该表只详列到 ．费歇（R.A.Fisher）曾
证明，当 充分大时，近似地有
（9）
其中 是标准正态分布的上 分位点。利用（8）式
可以求得当 时， 分布的上 分位点的近似值
例如由（9）式可得
（由更详细的表得 ）
2. 分布
设 ， ，且 独立
服从自由度为 的 分布
则称随机变量
（10）
记为
分布又称为学生氏（student）分布
分布的概率密度函数为
(11 )
图6-5中画出了 的图形 的图形关于 对称，当 充分大时，其图形类似于标准正态变量概率密度的图形。事实上，利用 函数的性质可得
故当 足够大时， 分布近似于 分布。
但对于较小的 ， 分布与 分布相差较大（见附表3 与附表2）
（12）
图6-5
的点 为 分布的上 分位点.(见图6-6)
分布的分位点
对于给定的 ， ，称满足条件
（13）
图6-6
由 分布上 分位点的定义及 图形的对称性知
在 时，对于常用的 的值，就用正态近似
（14）
分布的上 分位点可自附表查得.
（15）
3. 分布
设
且 独立，
则称随机变量
服从自由度为 的 分布
记为
（16）
的概率密度为
（17）
图6-7中画出了 的图形
由定义可知，若 则 （ 18）
图6-7
分布的分位点
对于给定的 ,称满足条件
（19）
的点 为 分布的上 分位点(图6-8)
图6-8
容易证明等式：
（20）
利用这个等式，查附录表，可以计算当
时的 的值
例如
F分布的上 分位点有表格可查（见附表 5）
二、正态总体统计量分布
研究数理统计的问题时，往往需要知道所讨论的统计量 的分布．一般说来，要确定某个统计量的分布是困难的，有的甚至是不可能的．然而，对于总体服从正态分布的情形已经有了详尽的研究.
下面我们讨论服从正态分布的总体的统计量的分布.
假设 是来自正态总体 的样本，即它们是独立同分布的,皆服从 分布,
样本均值与样本方差分别是
定理1 设总体 服从正态分布 ，
（21）
即
则
因为随机变量 相互独立且与总体 服从相同的正态分布
证
所以
由正态分布的性质可知，它们的线性组合服从
正态分布
即
这个定理的证明从略，我们仅对自由度作一些说明
定理2 设总体 服从正态分布 则
（1）样本均值 与样本方差 相互独立；
（2）统计量 服从自由度 的 分布
即
（22）
虽然是 个随机变量的平方和，但是这些随机变量不是相互独立的 。因为它们的和恒等于零：
由样本方差 的定义易知
所以统计量
由于受到一个条件的约束，所以自由度为
上述两定理是正态总体统计推断的基础，因而是十分重要的，下面列举其应用
（有些结论我们放在习题6-4中）
例1 设 是来自 的样本，则统计量
（23）
由定理1知，统计量
又由定理2知，统计量
因为 与 相互独立
与 也相互独立
所以
证
于是 ，由 分布的定义可知，统计量
例2 设 来自 ， 是来自 的两个独立样本，记
则统计量
（24）
由定理1可知，统计量
证
且 与 相互独立
由正态分布的性质知
即
又由定理2知：
因为 与 相互独立， 与 相互独立
所以统计量 与 也相互独立
因为 与 相互独立，所以由 分布的可加性可知
统计量
于是，由 分布定义可知，统计量
由假设， ， 相互独立，则由 分布的定义
例3 （续上例）记
则
（25）
证
由定理2
知
注：若两个正态分布的方差 与 不相等，
则统计量
本节所介绍的几个分布以及几个重要结论，在下面各章中都起着重要的作用。应注意，它们都是在总体为正态这一基本假定下得到的。
习题6-4
服从自由度为 的 分布
2．设总体 服从正态分布 ，总体
服从正态分布 ，则统计量
1．设总体 服从 分布 ， 是已知常数
是来自总体 的一个容量为 的
简单随机样本，证明：统计量
服从自由度为n的 分布。
2
c
3．设 服从 分布，求下列随机变量的分布：
4．设 是独立且服从相同分布的随机
变量，且每一个 都服从
（1）试给出常数 使得 服从 分布
并指出它的自由度。
（2）试给出常数 使得 服从 分布，并指出它的自由度。
5．查表求
6．设 ，求常数 ，使
7．求总体 的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。
8．设 为 的一个样本，求
9．设在总体 中抽取一容量为16的样本，这里 均为未知，
（1）求 ，其中 为样本方差，
（2）求

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