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2024年高三数学立体几何初步一轮模拟练习（真题演练）
一、选择题
1．（2024·南京高考模拟）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．（2024·青海宁夏模拟）在四面体中，，则四面体外接球的体积为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·天津市模拟）木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的体积为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·锡林郭勒盟模拟）已知四面体的体积为3，从顶点出发的三条棱两两垂直，若，则该四面体外接球表面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·锡林郭勒盟模拟）已知一个正四棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角的大小为，则该四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为（　　）
A． B． C．3 D．6
6．（2024·天津市月考）粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米 泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（　　）（参考数据：）
A． B． C． D．
7．（2023·邵阳月考）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一如图所示的“堑堵”，其中，若，则“阳马”的体积最大为（　　）
A． B．2 C． D．4
8．（2023·东莞期中）如图，正方体的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为的点P的轨迹长度为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2024·杨家坪月考）在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的有（　　）
A．直线平面
B．三棱锥体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
10．（2024·密山期末）已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为，是的中点，
则（　　）
A．任意，
B．存在，直线与直线相交
C．平面与底面交线长为定值
D．当时，三棱锥外接球表面积为
11．（2024·巴南模拟）如图，平行六面体中，，，与交于点O，则下列说法正确的有（　　）
A．平面平面
B．若，则平行六面体的体积
C．
D．若，则
12．（2024·昌乐模拟）如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x。现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，CA折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P－ABC。现有以下结论：（　　）
A．AP⊥平面PBC；
B．当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，三棱锥P－ABC的外接球的表面积为6π；
C．x的取值范围为(0，4－2)；
D．三棱锥P－ABC体积的最大值为。
三、填空题
13．（2024·南宁模拟）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为，高为1，E和F是底面圆周上两点，△PEF面积的最大值为 　 　．
14．（2023·金山模拟） 设圆台的上底面和下底面的半径分别为和，母线长为，则该该圆台的高为　 　.
15．（2023·浦东月考）一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为　 　.
16．（2023·成都月考）在棱长为1的正方体中，点是对角线.的动点(点与不重合)，则下列结论正确的有　 　.
①存在点，使得平面平面；
②分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，存在点，使得；
③对任意的点，都有；
④对任意的点的面积都不等于.
四、解答题
17．（2024咸阳高考模拟）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，是的中点.
（1）证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求三棱柱的体积.
18．（2024·青海宁夏模拟）如图，在直三棱柱中，是的中点．
（1）证明：平面．
（2）求点到平面的距离．
19．（2023·天津市月考）如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点．若，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（2023·静安月考）如图，在四棱锥中，，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小．
21．（2024·密山期末）如图，在多面体中，四边形是正方形，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的大小．
22．（2024·安徽模拟）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为，求点到直线的距离．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】A,B,D
10．【答案】A,C
11．【答案】A,B,D
12．【答案】A,B,C
13．【答案】2
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】①②③
17．【答案】（1）证明：菱形中，，所以为等边三角形，
是的中点，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：由（1）知平面，因为为中点，所以，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立
如图所示的空间直角坐标系，，设，则，
，所以，
.
设平面的法向量是，
由令，
得.
设平面的法向量是，
由令，得，
所以.由，解得，
，
18．【答案】（1）证明：在直三棱柱中，由，得平面．
因为平面，所以．
因为，所以．
又是的中点，，所以，则，
故．
因为，所以平面．
（2）解：连接，则．
因为平面，所以．
因为，所以．
设点到平面的距离为，则．
由，得，解得，即点到平面的距离为．
19．【答案】（1）证明：设为的中点，连接，，
为的中位线，
又为的中点，，
为平行四边形，
平面，平面，
平面；
（2）解：设到平面的距离为，
平面，，
又为矩形，，
，平面，为矩形，
为等腰直角三角形，是棱锥的高，
四棱锥的体积，
，，由余弦定理可得，
；
四棱锥的体积=三棱锥体积的倍=三棱锥体积，
，，
点到平面的距离为；
（3）解：作平面于，
是与平面所成的角，
由知，在中，，
平面，，又，
所以平面，，
根据数据可得：，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
20．【答案】（1）证明：因为在四棱锥中，，所以，，
又，所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面
（2）解：取中点，连结，，所以
所以平面，平面，所以
因为，所以底面，
设，求得，，
因为四棱锥的体积为，
所以解得
所以，
因为底面，所以为与平面所成的角
在中，，所以
所以与平面所成的线面角为
21．【答案】（1）证明：如图，设，连接，
由四边形ABCD是正方形得，
因H为BC的中点，故且，
又因且，则有且，
故得平行四边形，则有，
因平面，平面，故得平面.
（2）解：由（1）得：，，则有，
因，平面，故平面，
又平面，则，故，
又，则，
因平面，故平面，
因平面，则，故，
因平面，故平面.
（3）解：如图，由（2）知平面，
分别以为正方向建立空间直角坐标系.
不妨设正方形边长为2，在中，故，
则有
于是，设平面的法向量为，
则故可取：，
，设平面的法向量为，
则故可取：，
设二面角的平面角为，易知为锐角，
则，
故得，即二面角为.
22．【答案】（1）证明：如图，过作，交底面弧于，连接，易知：为平行四边形，
所以，又为弧的中点，则是弧的中点，
所以，而由题设知：，则，
所以，即，
由底面，面，得，又，平面，
所以面，又面，
所以面面．
（2）解：由题意可构建如图所示的空间直角坐标系，令半圆柱半径为，高为，则，，，，
所以，，，，
若是面的一个法向量，
则，
令，则，
若是面的一个法向量，
则，
令，则，
所以，，
整理可得，则，
由题设可知，此时点，，，
则
所以点到直线的距离．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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