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1.4 角平分线 第1课时
素养目标
1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理.
2.会应用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题.
◎重点:角平分线的性质定理及其逆定理的证明.
预习导学
知识点一 角平分线的性质定理
阅读课本本课时“想一想”之前的内容,思考下列问题.
1.书上证明PD=PE的思路是什么
2.你还能想出其他的证明方法吗 并说明理由.
归纳总结　 角平分线上的点到这个角两边的距离　 　.
【答案】1.先证△PDO≌△PEO,再根据全等三角形的性质得出PD=PE.
2.能,另证如下:
∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDA=∠PEB=90°.∵∠PDA=∠1+∠OPD,∠PEB=∠2+∠OPE,∠1=∠2,∴∠OPD=∠OPE.∵OP=OP,∴△PDO≌△PEO(ASA),∴PD=PE.
归纳总结　相等
知识点二 角平分线的性质定理的逆定理
阅读课本本课时“想一想”至“随堂练习”之间的内容,思考下列问题.
1.角平分线的性质定理的条件是什么 结论呢
2.交换1中的条件和结论,得到命题“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”,这个命题能作为角平分线的性质定理的逆命题吗 为什么
归纳总结　 在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的　 　上.
【答案】1.条件:角平分线上的点;结论:这点到这个角两边的距离相等.
2.不能作为角平分线的性质定理的逆命题,因为原命题中的点P位于角的内部,而得到的命题恰好忽视了这一点.
归纳总结　平分线
合作探究
任务驱动一 如图,AD,AE分别是△ABC中∠BAC的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系
【答案】解:∵AD平分∠CAB,
∴∠BAD=∠CAD=∠CAB,
又∵AE平分∠CAF,∴∠CAE=∠EAF=∠CAF,∵∠CAB+∠CAF=180°,
∴∠CAD+∠CAE=(∠CAB+∠CAF)=×180°=90°,即AD⊥AE.
任务驱动二 阅读下面用尺规作角平分线的方法,请你说明OE为什么是∠AOB的平分线.
已知∠AOB,请用尺规作图的方法作出该角的平分线.
(1)以O为圆心,以任意长为半径,画圆,交OA,OB于C,D两点.
(2)分别以C,D为圆心,以大于CD的长为半径作圆弧,这两段圆弧相交于点E.
(3)连接OE,则OE就是∠AOB的平分线.
方法归纳交流　判定一条射线是角平分线的方法有哪些
【答案】解:由作法可知:OC=OD,CE=DE,又因为OE=OE,所以△OCE≌△ODE(SSS),所以∠COE=∠DOE,故OE就是∠AOB的平分线.
方法归纳交流
(1)看这条射线所分的两个角相等不相等;(2)看其中一个角是不是大角的二分之一;(3)看这条射线上的点到角两边的距离相等不相等.
任务驱动三 如图,两条笔直的公路l1、l2相交于点O,C村的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D,已知AB=BC=CD=DA=5公里,村庄C到公路l1的距离为4公里,则村庄C到公路l2的距离是多少公里
【变式训练】如图,利用尺规求作所有点P,使点P同时满足下列两个条件:①点P到A,B两点的距离相等;②点P到直线l1,l2的距离相等.(要求保留作图痕迹,不必写出作法)
方法归纳交流　角平分线和它的邻补角的平分线到这个角两边的距离都分别相等.
【答案】解:如图,连接AC,作CF⊥l1,CE⊥l2.
∵AB=AD,BC=DC,OC=OC,
∴△OCD≌△OCB(SSS),
∴∠CAE=∠CAF,即OC为∠EOF的角平分线,
∴CE=CF=4公里.
【变式训练】
解:图略.提示:作∠AOB的角平分线或外角平分线,作AB的垂直平分线,取交点.
任务驱动四 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,AE平分∠DAC,EF⊥BC交AC于F,连接BF.求证:BF是∠ABC的平分线.
【答案】证明:∵AE平分∠DAC,∴∠DAE=∠CAE.
∵∠ADC=∠FEC=90°,∴AD∥EF,∴∠DAE=∠AEF,∴∠AEF=∠EAF,∴AF=EF.
∵∠BAC=∠BEF=90°,∴BF是∠ABC的平分线(在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上).

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