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1.4 角平分线 第2课时
素养目标
1.知道三角形三个内角平分线的性质.
2.会应用角平分线定理解决问题.
◎重点:角平分线定理的应用.
预习导学
知识点一 三角形三个内角平分线的性质
阅读课本本课时“例2”中的内容,思考下列问题.
1.(1)为证明三条角平分线相交于一点,例2证法的思路是什么
(2)“设∠ABC和∠BAC的角平分线相交于点P,证∠BCA的角平分线经过点P.”以上思路证明“三角形的三条角平分线相交于一点”可行吗
2.已知△ABC中,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且交于点P,若P到边AB的距离为3 cm,△ABC的周长为18 cm,则△ABC的面积为　 　cm2.
归纳总结　三角形的三条角平分线交于一点,若设这一点到其中一边的距离为m,三边长分别为a、b、c,则三角形的面积S=　 　.若三角形的周长为C,则三角形的面积S=　 　.
【答案】1.(1)先作出两条角平分线的交点,再证明这个交点在第三条角平分线上.
(2)可行.
2.27
归纳总结　m(a+b+c)　mC
知识点二 角平分线定理的应用
阅读课本本课时“例3”中的内容,思考下列问题.
1.(1)在例3中(1)问解法的启发下,你能求出AB的长吗
(2)根据AB的长,在证明AB=AC+CD时,你能想到其他的方法吗 并说明理由.
2.如图,若将上题中条件“Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°”改为“△ABC中,∠C=2∠B”请问上题中的结论是否仍然成立 证明你的猜想.
归纳总结　证明一条较长的线段和两条较短线段相等时,常利用　 　的性质或　 　的方法,将两条较短线段转化到较长的线段上.
【答案】1.(1)能,在Rt△ABC中,AC=(4+4)cm,由勾股定理有AB===×(4+4)=(8+4)cm.
(2)能,因为AC=(4+4)cm,CD=4 cm,
AB=(8+4)cm,∴AB=AC+CD.
2.解:结论仍然成立.
理由如下:∵AD是∠CAB的角平分线,
∴将△CAD沿AD折叠,使点C落在AB边上的C'处,
∴△ACD≌△AC'D,
∴AC=AC',CD=C'D,∠C=∠1=2∠B.
又∵∠1=∠2+∠B,∴∠2=∠B,
∴C'D=C'B,∴AB=AC'+BC'=AC+CD,
即AB=AC+CD.
归纳总结　角平分线　折叠
合作探究
任务驱动一 如图,已知∠AOB,点M、N.求作一点P,使得它到∠AOB两边的距离相等,且到M、N两点的距离也相等.则点P为　 　.
方法归纳交流　三角形的内角平分线的交点有一个,外角平分线的交点有三个,它们到三条线段的距离都相等.
【答案】∠AOB的平分线和MN的垂直平分线的交点
任务驱动二 如图,在△ABC中,∠ABC的平分线BD与∠ACB的外角平分线CE交于点P.求证:点P到三边AB、BC、CA所在的直线的距离相等.
【答案】证明:如图,过点P作三边AB、BC、CA所在直线的垂线,垂足分别是Q、M、N.垂线段PQ、PM、PN,即点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离.
∵P是∠ABC的平分线BD上的一点,∴PM=PQ.
∵P是∠ACM的平分线CE上的一点,∴PM=PN.
∴PQ=PM=PN.∴点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等.
任务驱动三 如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=　 　.
【答案】4∶5∶6
任务驱动四 先阅读下面的材料,然后解答问题:
已知:如图1,等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,AD是角平分线,交BC边于点D.
求证:AC=AB+BD.
证明:如图1,在AC上截取AE=AB,连接DE,则由已知条件易知,△ADB≌△ADE(SAS),
∴∠AED=∠B=90°,DE=DB.
又∵∠C=45°,∴△DEC是等腰直角三角形.∴DE=EC.∴AC=AE+EC=AB+BD.
解决问题:现将原题中的“AD是内角平分线,交BC边于点D”换成“AD是外角平分线,交BC边的延长线于点D,如图2”,其他条件不变,请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系,并证明你的猜想.
方法归纳交流　这种证明一条线段等于另外两条线段之和的方法称为“截长法”.即　 　.
【答案】解:猜想BD=AB+AC.
如图,在CA的延长线上截取AE=AB,连接DE.
则由已知条件易知:△ADB≌△ADE(SAS).∴∠AED=∠ABD=90°,DB=DE,
又∵∠C=45°,∴△DEC是等腰直角三角形.∴DE=EC.
∴BD=DE=AE+AC=AB+AC.
方法归纳交流
在较长的线段上截取一个较短的线段的长,再证明余下的线段和另一较短的线段相等

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