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1.1 等腰三角形 第1课时
素养目标
1.熟悉两个三角形全等的判定方法,会证明角角边定理.
2.会利用三角形全等证明等腰三角形的性质.
3.会利用等腰三角形的性质解题.
◎重点:会证明角角边定理及等腰三角形的性质.
预习导学
知识点一 角角边定理(AAS)
阅读课本本课时第1个“想一想”中的内容,思考下列问题.
1.若要证明“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这一命题为真命题,你能写出“已知”和“求证”吗
2.你能根据(1)中的“已知”和“求证”,完成后面的证明过程吗
归纳总结　两角分别相等且其中一组等角的　 　相等的两个三角形全等(简称　 　).
【答案】1.已知:∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证:△ABC≌△DEF.
2.证明:∵∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和等于180°),
∴∠C=180°-(∠A+∠B),∠F=180°-(∠D+∠E),
又∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知),∴∠C=∠F,
又∵BC=EF(已知),∴△ABC≌△DEF(ASA).
归纳总结　对边　AAS
知识点二 等腰三角形的性质
阅读课本本课时“议一议”及第2个“想一想”中的内容,思考下列问题.
1.等腰三角形是轴对称图形吗 如果是,请你折一折后再观察:原等腰三角形被折痕分成了几个三角形 它们之间有什么关系
2.等腰三角形的两个底角相等吗 线段AD具有怎样的性质
3.除了书上的证明方法外,你还能用其他的方法证明△ABD与△ACD全等吗
归纳总结　 等腰三角形的两　 　相等;等腰三角形顶角的平分线、底边的中线及底边上的高　 　.
【答案】1.原等腰三角形被折痕分成2个三角形,它们全等.
2.因为全等三角形的对应边相等、对应角相等,所以等腰三角形的两个底角相等,AD是△ABC的底边上的中线,顶角的角平分线及底边上的高线.
3.
证明:如图,作顶角的平分线AD,
∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SAS),
∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等).
归纳总结　底角　三线合一
合作探究
任务驱动一 将下述证明过程补充完整.
已知:如图,△ABC≌△FED,点A、D、C、F在一条直线上.
求证:AB∥EF.
证明:∵△ABC≌△FED,
∴　 　(　 　),
∴AB∥EF(　 　).
【变式训练】如上图,点A、D、C、F在一条直线上,AB∥EF,AB=EF,AD=CF,求证:DE∥BC.
【答案】∠A=∠F　全等三角形对应角相等　内错角相等,两直线平行
【变式训练】
证明:∵AB∥EF,
∴∠A=∠F.
∵AD=CF,
∴AD+DC=CF+CD,
∴AC=DF.
∵AB=EF,
∴△ABC≌△FED(SAS),
∴∠EDF=∠BCA(全等三角形对应角相等),
∴DE∥BC.
任务驱动二 如图,在△ABC中,AB=AC,D在BC上,且BD=AD,DC=AC.求∠B的度数.
【答案】解:∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).
同理:∠B=∠BAD,∠CAD=∠CDA.设∠B为x°,则∠C=x°,∠BAD=x°.
∴∠ADC=2x°,∠CAD=2x°.
在△ADC中,∵∠C+∠CAD+∠ADC=180°,
∴x°+2x°+2x°=180°.
∴x°=36°,即∠B为36°.
任务驱动三 如图,在△ABC中,AB=AC,直线AE交BC于点D,O是AE上的动点但不与A重合,且OB=OC,试猜想AE与BC的关系,并说明理由.
【答案】猜想:AE⊥BC.
证明:∵AB=AC,OB=OC,
AO=AO(公共边),
∴△ABO≌△ACO(SSS),
∴∠BAO=∠CAO,
∴AE⊥BC(等腰三角形底边上中线,底边上高线与顶角平分线互相重合).
任务驱动四 如图,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l经过点C,AD⊥l于点D,BE⊥l于点E.求证:(1)△ADC≌△CEB;(2)DE=AD+BE.
【答案】证明:(1)∵AD⊥l,BE⊥l,
∴∠ADC=∠CEB=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠ECB=90°.
∵∠1+∠ACD=90°,
∴∠1=∠ECB.
∵AC=BC,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
(2)由(1)知△ADC≌△CEB,
∴AD=CE,DC=BE,
∴DE=CE+DC=AD+BE.

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