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1.1 等腰三角形 第4课时
素养目标
1.会判定一个三角形是等边三角形.
2.知道含30°角的直角三角形的性质,并能利用其解决简单的问题.
3.经历探究含30°角的直角三角形性质的过程,逐步养成合情推理的习惯.
◎重点:含30°角的直角三角形性质定理的探究与证明.
预习导学
知识点一 等边三角形的判定
阅读课本“一个三角形满足……”至本页末的内容,并完成下面的问题.
1.一个三角形满足什么条件为等边三角形 请证明.
2.一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形 请你证明自己的结论.
归纳总结　　 　或　 　相等的三角形是等边三角形;有一个角是　 　度或　 　相等的等腰三角形是等边三角形.
【答案】1.(1)三边相等;
(2)三个角相等.(证明略)
2.(1)条件1:腰和底相等.条件2:有一个角等于60°.
(2)证明思路:等腰三角形有一个角是60°,则其他两个角都是60°.根据等角对等边,可以得到三条边都相等,所以这个等腰三角形是等边三角形.
归纳总结　三条边　三个角　60　腰和底
知识点二 含30 °角的直角三角形的性质 　
阅读课本本节“做一做”至“随堂练习”上面的内容,解决下列问题.
1.完成课本“做一做”中的问题.
2.在你所拼得的等边三角形中,有哪些线段存在相等关系
3.30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系 你能证明吗
(1)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的　 　等于　 　.
(2)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°.求证:BC=AB.
归纳总结　在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的　 　等于斜边的　 　.
【答案】1.如图,可以拼成一个等边三角形.
理由:∵△ABC≌△ADC,
∴AB=AD.
又∵Rt△ABC中,∠BAC=30°,
∴∠ABD=60°,
∴△ABD是等边三角形.(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)
2.AB=AD=BD,BC=CD.
3.(1)直角边　斜边的一半
(2)证明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∠B=60°.
延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如图所示).
∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°.
∵AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SAS),
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等),∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形),
∴BC=BD=AB.
归纳总结　直角边　一半
合作探究
任务驱动一 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,P是边BC上的动点,则AP的长不可能是 ( )
A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
【答案】D
任务驱动二 如图,在△ABC中,AB=AC,DA⊥AB,∠BAC=120°,BD=4,求DC.
【变式训练】如图,D是等边△ABC的边BC的中点,DE⊥AC.若AB=4,则CE=　 　.
归纳总结　注意“30°的角所对直角边等于　 　”在直角三角形中的应用.
【答案】解:∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.
∵DA⊥AB,BD=4,∴AD=2.
∵∠DAC=120°-90°=30°,
∴∠DAC=∠C,∴CD=AD=2.
【变式训练】
1
归纳总结　斜边的一半
任务驱动三 如图,在等边三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,
DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,求证:△DEF是等边三角形.
【答案】证明:在等边三角形ABC中,∠A=∠B=∠C=60°,
∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,
∴∠AEF=∠BFD=∠CDE=30°,
∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°,
∴△DEF是等边三角形.
任务驱动四 如图,O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连接AC和BD,与OB、OC分别相交于点E、F.求证:(1)DB=AC;(2)△OEF是等边三角形.
【答案】证明:(1)证法不唯一.∵△DOC和△ABO都是等边三角形,且O是线段AD的中点,
∴OD=OC=OB=OA,∠COD=∠AOB=60°,
∴∠DOB=∠AOC,∴△DOB≌△COA,∴DB=AC.
(2)由(1)知△DOB≌△COA,∴∠OAC=∠OBD.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,∴∠OAC=∠ODB.
又∵∠BOA=∠DOC=60°,OA=OD,
∴△AOE≌△DOF,∴OE=OF.
又∵∠EOF=180°-60°-60°=60°,
∴△OEF是等边三角形.

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