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1.3 线段的垂直平分线 第1课时
素养目标
1.会证明线段的垂直平分线的性质定理.
2.会判定一条直线是已知线段的垂直平分线.
◎重点:会证明线段的垂直平分线性质定理.
预习导学
知识点一 线段的垂直平分线的性质定理
阅读课本本课时“想一想”之前的内容,思考下列问题.
1.当一条直线MN满足哪些条件时,它就是线段AB的垂直平分线
2.若P是直线MN上任意一点,则PA与PB有什么关系呢 △PAB是什么三角形
3.除了课本上所给的证明方法外,你还能想出其他的证明PA与PB关系的方法吗
归纳总结　 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离　 　.
【答案】1.直线MN垂直于线段AB,并且平分线段AB.
2.PA=PB,△PAB是等腰三角形.
3.能,如图,在Rt△PAC中,由勾股定理有PA=,同理
PB=.∵AC=BC,∴PA=PB.
归纳总结　相等
知识点二 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理
阅读课本本课时“想一想”至“随堂练习”之间的内容,思考下列问题.
1.线段的垂直平分线的性质定理的条件是什么 结论呢
2.你能写出它的逆命题吗
3.请你完善下列解题过程.
已知:如图,线段AB,P为平面内一点,且PA=PB.
求证:点P在线段AB的垂直平分线上.
归纳总结　 到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的　 　上.
【答案】1.条件:线段垂直平分线上一点.
结论:这一点到这条线段两个端点的距离相等.
2.逆命题:到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
3.证明:方法一:取AB的中点C,连接PC,
∵AC=BC,PA=PB,PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SSS),
∴∠PCA=∠PCB=90°.
即PC垂直AB并且通过线段AB的中点C,所以点P在线段AB的垂直平分线上.
方法二:过点P作已知线段AB的垂线PC.
∵PA=PB,PC=PC.
∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL),
∴AC=BC.
即点P在线段AB的垂直平分线上.
归纳总结　 垂直平分线
合作探究
任务驱动一 阅读课本“例1”的内容,请你用其他方法进行证明.
方法归纳交流　证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有哪两种方法
【答案】
证明:记AO与BC的交点为D.
∵AB=AC,OB=OC,AO=AO,
∴△ABO≌△ACO(SSS),
∴∠AOB=∠AOC,
∴∠BOD=∠COD.
又∵OB=OC,∴∠OBD=∠OCD,
∴△OBD≌△OCD(AAS),
∴BD=CD,∠ODB=∠ODC=90°,
即直线AO垂直平分线段BC.
方法归纳交流
第一种:根据线段垂直平分线的定义,也就是经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.使用这种方法必须满足两个条件:一是垂直,二是平分.
第二种:可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上,根据两点确定一条直线,就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线.
任务驱动二 在△ABC中,AB=AC,BC=10,AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE=4,则AD+AE的值为( )
A.6　　　　　　　　　B.10
C.6或14 D.6或10
【变式训练】如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,BE=3 cm,△ACD的周长是13 cm,求△ABC的周长.
方法归纳交流　如何求几条线段长度的和
【答案】C
【变式训练】
解:∵DE是BC的垂直平分线,
∴BC=2BE=6 cm,BD=CD.
∵AD+DC+AC=13 cm,∴AD+BD+AC=13 cm,
∴AB+AC+BC=13+6=19 cm.
方法归纳交流
利用线段的垂直平分线的性质转化为已知长度的线段再求解.
任务驱动三 在平面直角坐标系中,已知A(-1,3),B(-1,-1).下列四个点中,在线段AB垂直平分线上的点是( )
A.(0,2) B.(-3,1)
C.(1,2) D.(1,0)
方法归纳交流　通过观察可知AB平行于　 　轴,则AB的垂直平分线平行于　 　轴,只要计算出AB的　 　的纵坐标,判断答案中纵坐标是否与中点的纵坐标一致即可.
【答案】B
方法归纳交流
y　x　中点
任务驱动四 如图,P是∠AOB的平分线OM上任意一点,PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,连接EF.求证:OP垂直平分EF.
方法归纳交流　证明直线是线段的垂直平分线时,可以证明直线上的两点到线段两个端点的距离　 　,则这两点确定的直线就是线段的　 　.
【答案】证明:∵PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,
∴∠PEO=90°=∠PFO.
在△PEO和△PFO中,
∴△PEO≌△PFO(AAS),
∴PE=PF,EO=FO,
∴O、P在EF的垂直平分线上,∴OP垂直平分EF.
方法归纳交流
相等　垂直平分线

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