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第二节 随机事件的概率
二、古典概型与几何概型
四、小结
一、频率与概率
三、概率的公理化定义及其运算性质
在相同的条件下重复进行n次试验，随机事件
一、频率与概率
定义1：
A发生的次数 称作频数，比值 称作随机事件A的频率，记作 ，即
在相同的条件下进行大量重复试验，试验结果具有一定的内在规律性，即随机事件在这种大量重复试验的条件下出现的机会是稳定的。所以，我们可以将随机事件的出现机会与一定数值相对应。
如：
实践证明：
相同条件下的大量重复试验中，事件 A的
频率具有稳定性．也就是说，当试验次数n充分大时，事件 A的频率 在某一个确定的数字附近摆动.
抛一枚质地均匀的硬币，
当抛的次数足够大时，硬币正面朝上的频率越来越稳定于0.5.
历史上一些著名统计学家进行过抛硬币试验，得到的结果结果见下表
试验者 抛硬币次数/次 正面朝上次数/次 正面朝上的频率
Buffon 4040 2048 0.5069
Fisher 10000 4979 0.4979
Pearson 12000 6019 0.5016
Pearson 24000 12012 0.5005
n充分大时，事件 A的频率 在0.5附近摆动.
例1：
祖冲之第一次把它计算到小数点后七位，此纪录随后被保持了1000多年．人们对于圆周率的计算从未停止过，此后一直有人不断将 π 算得越来越精确.
1873年，英国学者沈克士公布了一个π的数值，该数值小数点后面一共有707位．当时人们都是采用手动计算，即便对他的计算有疑问，也无法确切知晓真实结果．
圆周率 π是一个无限不循环小数，我国数学家
几十年后，曼彻斯特的费林生对沈克士计算的结果产生疑问，他统计了沈克士计算结果的608位小数，得到的结果如表
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
出现次数 60 62 67 68 64 56 62 44 58 67
费林生产生怀疑的理由是什么？
圆周率 π 是一个无限不循环小数，因此理论上每个数字的出现都不会具有某种偏好性，即每个数字出现的次数应近似相等，或者这些数字的出现频率应都接近0.1，但是数字7出现的频率过小．
这就是费林生产生怀疑的原因．
频率的性质：
（1）非负性：
（2）规范性：
（3）有限可加性：
频率稳定性的事实说明随机事件发生的可能
具有客观存在性．
设 m 个随机事件
两两不相容，
有
在相同的条件下重复进行 n 次试验，随机事
定义2：
件A发生的频率 随着试验次数 n 的增大而稳定地在某个常数 p 附近摆动，则称 p 为事件A的概率，记为
注1:
随机事件A发生的概率具有频率所具备的性质．
这是利用频率的稳定性对随机事件概率的统计
注2:
定义，实际应用中常常用频率来估计概率，即当n足够大时，有
为了估计某个鱼塘里的鱼数，从该鱼塘捕捞
例2：
100 条鱼，做完标记后再放入鱼塘．过些时日后，从鱼塘里捕捞40条鱼，发现其中两条有标记．试问，鱼塘里大约有多少条鱼？
则利用概率与频率的关系，
解：
设鱼塘中有 x 条鱼，
于是
即鱼塘里大约有2000条鱼．
有
二、古典概型与几何概型
定义3：
（1）古典概型
如果随机试验具有下述两个特征：
（1）随机试验只有有限个可能的结果；
则称这样的随机试验模型为古典概型．
（2）每个结果发生的可能性大小相同．
在古典概型中，设随机试验的样本空间
且
由概率的规范性和有限可加性，知
则对于包含 k 个样本点的随机事件A发生的概率为
分析：
辅助知识：
（1）加法原理：
（2）乘法原理：
设完成一件事有 m 种方式，第 i 种
方式有 方法（每种方法均可完成这件事），则完成这件事的方法总数为
设完成一件事有 m 个步骤，第 i 步
有 方法（必须完成每一步骤才能最终完成这件事）,则完成这件事的方法总数为
（3）排列公式：
当 时称为 n 个元素的全排列，即
（4）组合公式：
从 n 个元素中任取 个
排成一排，则不同的排列总数为
从 n 个元素中任取 个
组成一组，则不同的组合总数为
例3：
掷一枚质地均匀的骰子两次，求两次点数之和
为7的概率．
解：
令骰子先后两次出现的结果为
样本空间
记“两次点数之和为7”为事件 A
事件
则两次点数之和为7的概率
本题若按照两次点数之和作为样本空间，即
注：
而“和为7”只是样本空间中的
一个样本点，若按照古典概型的概率计算公式会得出 的结果.
这样做不对.
这样做
对吗？
错误的根源在于将“点数之和”出现的每个结果视为等可能的了．
（随机抽样问题） 设有一批产品共N 件，其中
例4：
有 M 件次品．从中抽取 n 件产品，求恰好抽到 k 件次品的概率．考虑如下两种情形：
解：
（1）放回抽样，即每次抽取一件，检验后放回，再抽取下一件；
（2）不放回抽样，即每次抽取一件，检验后不再放回，继续抽取下一件．
记“恰好抽到 k 件次品”为事件 D
则
（2）因为是不放回抽样，故从N件产品中抽取 n 件
（1）因为是放回抽样，故从 N 件产品中抽取 n 件产
品总的方法数是
产品总的方法数是
则
注：
本题不放回抽样情形，根据排列组合关系，有
由此可知，可将不放回抽样理解为一次性抽取
n 件产品（而不是一次只抽取一个）．
实际计算中，常将不放回抽样等价地视作后一
种情形加以处理，这样可避免考虑次序的复杂问题．
（抽签公平问题） 有设 a 张好签和 b 张坏签放
例5：
到一起供人们抽取，试说明抽签的公平性．
解：
记“第 k 个人抽到好签”为
第 k 个人抽到的好签只能来自 a 张好签之一，
故有 a 种方法，
意一张签（有 a+b-1张），
说明结果与抽签次序无关，故抽签是公平的．
其余的 k -1个人可以抽取其他的任
则
（生日问题） 求 个人至少有两人
例6：
生日相同的概率，所谓生日相同是指同月同日（不要求年份相同）．
不妨设一年的天数为
解：
记“至少有两人生日相同”为 C．
则将 n 个小球放入 N 个盒子中总的方法数是
若将每一天视作盒子，每个人的生日看作小球，
而每个盒子里最多放一个小球的方法数是
因此
下面列举几个至少两个人生日相同的概率
30 40 50 60 70 80
0.7063 0.8912 0.9704 0.9941 0.9992 0.9999
古典概型的计算公式在实际生活中用处很广泛，比如抽检产品的合格率（或者次品率）、彩票的中奖概率等等.
（2）几何概型
古典概型包括两要素：所有结果的有限性以及每个结果的等可能性．
在等可能的情形下，我们也会遇到所有的结果并不是有限的情形，比如样本空间是一条线段、平面区域或空间立体等．
定义4：
设样本空间 Ω是一个区域（一条线段、平面
区域或有限空间立体），它的度量记为
（度量的含义是线段的长度、平面区域的面积或空间立体的体积），样本点落入样本空间的部分区域 A的可能性只与 成比例，而与区域 A的位置和形状无关，若将样本点落入区域A的事件仍记为A ，则事件A的概率
此时的概率称为几何概率．
例7：
（会面问题） 两位同学约好8点到9点之间在某
公园门口见面，先到者最多等候另一个人20分钟，过时就离开．若两个人均可在8点到9点之间任意时刻到达某公园门口，试计算两人能见面的概率．
记8点为0时刻，
解：
记“两人能见面”为A ，
时刻（单位：分钟），
于是
x, y 表示两人到达某公园门口的
则样本空间为
则
三、概率的公理化定义及其运算性质
前文定义的概率作为随机事件发生可能性的度量，在等可能概型（包括古典概型和几何概型）中应用比较成功．但是，在有些情况下，“等可能性”就不太明确了，以至于会出现某些看似“矛盾”的结果．
1899年，法国学者贝特朗提出一个问题：在一个圆内任意选择一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形的边长的概率是多少．
人们基于对“任意选择”的不同理解，得到了不止一个结果，这在根本上动摇了人们早先对于几何概率的认识，该问题后来被称为贝特朗奇论（Bertrand's Paradox）．
为什么同一个随机事件会有不同的概率呢？
直到1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫通过公理化形式给出概率应该满足的几条本质特性（而不是直接定义随机事件的概率），完美解释了贝特朗奇论不同结果的合理性，并在此基础上展开了概率理论和应用的研究．
设随机试验 E 的样本空间Ω ，若存在对应
定义5：
法则 ，对于任意随机事件 ，
是一个实数且满足：
（1）非负性：
（2）规范性:
（3）可列可加性：
则称 为随机事件A的概率．
有
对于两两不相容事件
概率的性质：
（1）不可能事件的概率为0，即
分析：
利用可列可加性，知
于是
从而有
（2）有限可加性，即
由规范性及性质（2）易知，
（3）对于事件 A,B ，有
若
则
进而有
从而，对任意事件A ，有
（4）对于任意两个事件 A,B ，有
对于任意三个事件A、B、C，有
在1~2000的整数中随即取一数，求该数至少能
例8：
被5整除或6整除或8整除的概率是多少？
解：
记事件 A,B,C 分别表示该数能被5、6、8整除，
则该数至少能被5、6、8整除的概率为
回顾:
贝特朗奇论之所以会有不同的概率结果出现，是因为对于“任意选择”的不同理解导致求解概率时有不同的对应法则 ，从而出现了不同的“概率值”．
那么，古典概型或几何概型为什么只有一个概率结果呢？
我们可以从古典概型或几何概型概率的定义得知，满足公理化定义的概率测度（对应法则）是唯一的，从而对某一随机事件其概率值唯一．
小结
1. 主要概念：古典概型，几何概型，概率
2. 概率的性质

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