资源简介

(共28张PPT)
第三节 条件概率
二、概率乘法公式
四、小结
一、条件概率的概念及性质
三、全概率公式与贝叶斯公式
一、条件概率的概念及性质
定义1：
世间万物是相互联系和作用着的，随机事件也不例外．我们经常会基于某个事件发生与否再去考虑另外一个事件，这就涉及到条件概率．
设 ，若在随机事件A发生的条件
下随机事件B发生的概率记作
是事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．
定义
则称
事件A发生的条件下事件B发生的概率
注1:
与 成反比（或与 成正比），而与
成正比，即与 成正比，
（即 ）可知比例系数是1．
当然，既然是事件A发生的条件下才去考虑事件
B ，所以要求事件A必须能发生，即
再通过概率的规范性
由定义知，条件概率也是概率，从而概率拥有
注2:
的性质条件概率也满足.
如：
袋中有大小和质地均相同的球共5个，其中黑
例1：
球有3个，白球有2个．从中不放回地取两个球，求已知在第一次取得黑球的条件下第二次也取得黑球的概率．
解：
记 表示第 i 次取得黑球，
方法一（定义法）：
在第一次取得黑球的条件下第
二次也取得黑球的概率是
在第一次取得黑球的条件
方法二（样本空间转换）：
下第二次也取得黑球的概率
因为在第一次取得黑球的条件下，第二次再取球
时，此时袋中只剩4个球且黑球还有2个（此即样本空
间转换），故结果显然．
很显然，方法二比方法一计算便捷，但并不是说方法一就没用，如将问题改成求已知在第二次取得黑球的条件下第一次也取得黑球的概率，此时方法二就失效了（因作为条件的事件比待考虑的事件晚发生，无法使用样本空间的转换），但方法一即定义法依然有效：
其中利用抽签公平性的结论直接有
当计算条件概率时，一般若作为条件的事件先发生，则可以采用样本空间转换的方法进行求解；否则，可以采用利用定义及古典概型公式进行求解．
方法总结
二、概率乘法公式
定理1：
设A,B为两个随机事件且
(1)
(2)
(1)和(2)都称为概率乘法公式．
推广：
设 为n个随机事件且
则
或者，若
则
则
袋中有大小和质地均相同的球共5个，其中黑球
例2：
有3个，白球有2个．从中不放回地取两个球，求两次均抽到黑球的概率．
解：
记“两次均抽到黑球”为A，
方法一（古典概型）：
方法二（概率乘法公式）：
球，i=1,2,
记 表示第i次取得黑
则
一个坛子中最开始放着a个红球和b个白球(大
例3：
小和质地均一样），任意从中取出一个，记下其颜色放回，并且再放入c个与它同色的球；接着再从坛中取出一个球，如此以往，这个模型被称作波利亚坛子模型（Polya's urn scheme）．求从坛子中先后取出的球的颜色是“红白红红”的概率．
记 表示第i次取得红球， ．则所求概
率是
解：
当 时，分别对应于不放回抽样和放回抽样．
一般地，对波利亚坛子模型的前n次抽取记录结
果记为事件 ，若其中红色球在结果序列中出现k
次，相应地白色球在结果序列中出现n-k次，则
其中符号 表示连乘．
三、全概率公式与贝叶斯公式
基于条件概率的乘法公式可以引申出来两个非
常重要的概率公式——全概率公式与贝叶斯公式．
定义2：
设Ω为随机试验E的样本空间，
为E的一组随机事件，若
（1）
（2）
则称 为样本空间Ω的一个划分（或完备事件组）．
也可以作为划分的定义．
注3:
设 为样本空间Ω的一个划分且
定理2：
则对于任意随机事件A有
上式称作全概率公式．
证明：
因为
所以
注4:
全概率公式突出了一个“全”，即任何随机事
件A发生的概率是其全部影响因素 的综
合作用效果，也即是其各个影响因素的加权平均，各
自的权重即是每个因素出现的概率
有三个盒子，每个盒子中均放有红、黑两种颜
例4：
色的小球，其中1号盒子中装有2个红球1个黑球，2
号盒子装有3个红球和1个黑球，3号盒子装有2个红
球和2个黑球．随机选定一个盒子并从中任取一球，
求取得红球的概率．
解：
记 表示球取自第i个盒子，i=1,2,3 ；
得红球．
A表示取
易知， 构成样本空间的一个划分，
则由全概率公式有
依题意，有
代入上式，有
全概率公式是全面衡量一件事情发生的可能性，而不是基于某个实现条件的概率，因此该公式是以当前具备的知识去综合预测或判断将来某件事情发生的可能性．
当然，有时我们又不得不根据当前已有结果去做过去认识的某些修正，这就涉及到贝叶斯公式．
设 为样本空间Ω的一个划分且
定理3：
则对于任意随机事件A且
有
上式称作贝叶斯（Bayes）公式．
证明：
利用概率的乘法公式及全概率公式即得结论．
贝叶斯公式是利用已有结论重新评估或修正各
注5:
个条件出现的概率，公式中的 和 分别称作原因或条件的先验概率和后验概率．
是在没有进一步信息（不知道事件A是否发生）的前提下认定的各条件发生的概率；在获得了新的信息（事件A已经发生）后，对先前各条件发生概率的修正，即形成概率 ．
有三个盒子，每个盒子中均放有红、黑两种颜
例5：
色的小球，其中1号盒子中装有2个红球1个黑球，2
号盒子装有3个红球和1个黑球，3号盒子装有2个红
球和2个黑球．随机选定一个盒子并从中任取一球发现是红球，求该红球来自2号盒子的概率．
则由贝叶斯公式有
解：
记 表示球取自第i个盒子，i=1,2,3 ；
得红球．
A表示取
易知， 构成样本空间的一个划分，
依题意，有
代入上式，有
同理可以求得
这些后验概率是在发现随机选定一个盒子任取一球而得到红球这个信息的基础上，重新对原有认识进行的修正.
临床记录表明，利用某种试验检查癌症具有如
例6：
下效果：对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占95%，对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者占96%，现利用该试验方法对某市居民进行癌症普查，若该市癌症患者数约占居民总数的0.4%，求（1）试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率；（2）试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率．
解：
记A为“被检查者实际上确实患有癌症”，
B为“被检查者试验结果呈阳性反应”．
则按题意，知
（1）依照贝叶斯公式有
而
于是
这表明试验结果呈阳性反应的被检查者实际上确实患有癌症的可能性并不大，还需要进一步检查才能综合评判最终是否确诊．
于是
这表明试验结果呈阴性反应的被检查者未患癌症的可能性极大．
（2）依照贝叶斯公式有
而
小结
1. 主要概念：条件概率，完备事件组
2. 定理：概率乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式

展开更多......

收起↑