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第四节 随机事件的独立性
二、伯努利概型
一、随机事件独立性的定义及其性质
三、小结
事件之间是相互影响的，因此一般来讲
乘法公式知，一般
即事件A的发生会影响到事件B的发生．
由条件概率的
一、随机事件独立性的定义及其性质
定义1：
若两个随机事件A,B满足
则称事件A、B相互独立，简称独立．
注1:
两个事件独立本质上是两个事件发生与否互不
影响，
这都表明
而当 时，有
或当 时
即
同理当 时， 也成立.
这样，利用 定义事件 的
独立性，就不必再要求 或 了.
亦即当 时
从而
成立；
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张牌，记A
例1：
为“抽到Q”，B为“抽到的牌是红色”，判断事件
A,B是否独立？
解：
故
所以事件A,B独立．
另解:
由题意
因
故事件A,B独立．
从事件独立性的定义，不难得到如下性质．
（1）必然事件Ω、不可能事件Φ与任意事件A独立．
（2）若A,B独立，则
由
知当A,B独立时， A与 独立．
同理可证其他情形．
均独立．
（3）已知 ，则“A,B独立”与
“A,B不相容”不会同时成立．
另外， A,B独立意味着各自发生与否互不影响 ，而A,B不相容恰好表明A,B之间的排斥特性（自然不独立）．
独立
相容
不相容
不独立
对于三个或三个以上事件的独立性，则应考虑到其任何局部之间都满足互不影响的特性．
定义2：
设有n个随机事件 ，
若其中任意k个事件满足
则称n个事件是相互独立的．
(*)
注2:
式(*)包含的等式数
上述定义中，若其中任意两个事件均满足式(*)，
注3:
当n较大时，判断相互独立的等式数非常多，因此实践中往往根据实际情况判断事件之间的独立性．
则称n个事件是两两独立的．
显然，相互独立必两两独立，两两独立不一定相互独立，也即两两独立是相互独立的必要而非充分条件．
在一个质地均匀的正四面体的表面涂上颜色，其
例2：
中三个面的每个面均涂一种颜色，分别是红色、绿色和蓝色，第四个面将三种颜色均涂上．随机地抛一次这个正四面体，将有一个面着地，试讨论各着地面颜色的独立性．
出现上述例题结论的原因是，只要两种颜色同时着地也就意味着三种颜色同时着地，即那个涂有三种颜色的面着地，从而表明两种颜色同时着地同另外一种颜色着地有联系（不独立）．
由题意易知
故R,G,B两两独立而非相互独立．
记R,G,B分别表示红色、绿色和蓝色着地，
解：
若事件 相互独立，则
（1）则其中任意 个事件也相互独立．
（2）则将其中任意 个事件换成它们的
对立事件，所得的n个事件仍相互独立．
n个事件独立的性质：
（3）则
甲乙丙三人独立地破译密码，已知各自能破译
例3：
出密码的概率分别是 和 ．问密码能被破译出来的概率是多少？
记A,B,C分别表示甲、乙、丙破译出密码，
解：
则依题意
二、伯努利概型
定义3：
互不影响，即每次试验结果出现的概率不依赖于其他各次试验的结果，这样的试验称为独立试验序列，特别当试验次数是有限的n次，称作n重独立试验.
将随机试验E重复进行，若各次试验的结果
定义4：
在独立试验序列中，若每次试验只有两个结
果A与 ，且 ，则这样的试验称为伯努利（Bernoulli）试验．将伯努利试验在相同条件下进行n次，称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验，或伯努利概型．
在n重伯努利试验中，事件A发生的概率
定理1：
该定理称作伯努利定理．
则A恰好发生 次的概率为
证明：
将n重伯努利试验序列表示为
且共有 k 个A和 n- k 个
其中
易知 有 种不同的序列，而每个
出现都是互不相容的，利用概率的有限可加性
则A恰好发生k次的概率为
对于指定出现序列，利用独立性，有
一份试卷是由5道选择题构成，每道题四个选项
例4：
且只有一个正确选项，如果某位同学每道题都是随机选择一个选项，那么这位同学最多能答对两道题的概率是多少？
解：
每道题随机选择一个选项，选对答案的概率是
则5道选择题做随机选择相当于做了5重伯努利试验,
故最多能答对两道题的概率是
又
所以
小结
1. 主要概念：
2. 性质：
事件A,B相互独立，
n个事件两两独立与相互独立，
伯努利概型.
两个事件独立的性质，
n个事件两两独立.
3. 定理：
伯努利定理

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